В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 23
Текст из файла (страница 23)
/дВ. ь бдт — + ест — = бдя 1 — (е ~ + Х) Ыттт + бд1 / — (Рь + Х) дтп. дйь дт11 / ддь ,/ дв В первой части суммируются члены с независимыми вариациями Бдю во второй части — с зависимыми вариациями бд1. Зависимые и независимые вариации, очевидно, связаны так; дат = а1ьддю что позволяет уравнение работ записать в виде Г д5 д5'1 1 т'дй, дй.'1 бах ~ — + ам —,. 1 = бах 1 '( — + аи,— ) (Р~+ Х) дтп. (,дд~ д1)1( ./ (,ддь дй1 т) В функции Аппеля можно исключить зависимые ускорения д1, если продифференцировать связь между скоростями: ттт = атьдь+71, где 71 обозначает члены, не зависящие от ускорений.
Обозначим через д' функцию Аппеля, появившуюся после такого исключения: 5 (дь) = 5[~)ю 4(ф)] Тогда дд" дд дд = — + а11— ддь дд~ дд1 Назовем реакции кинематических связей идеальными, если 1' т'дВ. дй.'1 д 11 / ~ — + ам — 11дтп = О, ь' (, ддь дд1 ) Тогда в силу независимости бдь из уравнения виртуальных работ получим дд* — = 1Ь», 11 = 1,..., и — пт, дд'ь !38 ГЛ.8 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ где Добавляя к найденным уравнениям уравнения связей, получаем систему и уравнений относительно и обобщенных координат Поскольку в этой системе п — пг уравнений второго порядка и пг уравнений первого, то порядок полученной системы равен 2(п — пг) + пг = 2п — гп. Пример.
Материальная точка массы пг, радиус-вектор которой В. = (х, у, г) с действующей на нее силой х' = (г„гю г',), подчинены идеальной кинематической связи х+ уг = О. Требуется составить уравнения Аппеля. Выразим зависимые переменные через независимые. х+ух ех ег = —— У Подсчитаем обобщенные силы иэ условия ег,.бх+ яэеу = г,ох+ гэбу+ г,ех = г, — — *) Бх+ Рему, Р,~ У откуда Я' О. = ~. — — ', о„=.р„. У Подсчитаем энергию ускорений о'= — (хг+у +гг)= — х +у + "' -г г -г '" ~-г -г / *+ Уг~ Уравнения Аппеля позволяют найти: х+уг г', пгх+пг( г ) у у пгу = г'„ х+ух =О.
З ЗЗ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ 1Зв 3 33. Уравнения Лагранжа для систем с неудерживающими связями 1. Удар в механических системах. Рассмотрим произвольную механическую систему и запишем ее уравнения движения в форме, указанной в и. 4 3 25: А4+ г(1, д, д) = О, где А — матрица квадратичной формы кинетической знергии.
Пусть на систему наложена идеальная односторонняя связь 1(г,ч) >О Пока система находится вне связи, так что выполняется строгое неравенство /(1, д) > О, ее движение описывается приведенными уравнениями. В те моменты времени, когда /(г, д) = О, система подвержена действию дополнительных мгновенных сил А/, представляющих собой реакции связей.
В эти моменты уравнения движения могут быть записаны в виде Запись такого вида содержит условность, связанную с понятием "мгновенная сила", что было предметом обсуждения в з 21. Виртуальные перемещения вдоль связи обязаны удовлетворять условию — 34=О д/ д4 (мы используем матричную форму записи условия, приведенного в и. 5 з 30). Матрица-строка д//дд = (д//ддн ..., д//дд„) определяет нормаль к поверхности /(1, 4) = О, компоненты единичного вектора нормали е имеют вид е;=— и условие на виртуальные перемещения может быть переписано так: е'Бд = О.
Для удобства дальнейших выкладок мы применяем матричные обозначения, в которых все векторы понимаются как матрицы- столбцы, а штрихи обозначают их транспонирование. Мо ГЛ.8. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ Из условия идеальности рассматриваемой связи, т. е. из ЛГ'6д = О, следует Лг = (Лг)е, т.е. реакция связи направлена по нормали к связи. Подставляя это выражение для реакции в уравнения движения и интегрируя уравнение за время удара Ь1, получим АЬд+ / Е(С, д, д)й = е ! )Л1)й. ./ о! /о~ Обозначая ударный импульс ! = 1д, !Л')й и полагая гз1 малым, так что в написанном уравнении можно пренебречь интегралом , Е(й, д, д) пг, маходим Агам = !е. Отсюда для приращения обобщенных скоростей в момент удара выводим: Ьд = 1А 'е. Для определения величины ударного импульса воспользуемся условием непрерывности кинетической энергии (Т = Т+).
Если кииетическую энергию до удара записать в форме 1ч Т = -д'Ад+ 6'д+ Те, то после удара она приобретает вид Т+ — -(д+ Лд)'А(д+ Лд) + 6'(д+ Лд) + Т,. 2 Приравнивая эти выражения друг другу и сокращая одинаковые члены, получим Ьд'Ад'+ -Ьд'Ад+ 6'Ьд = О. 2 Подставляя в это равенство полученное выше выражение для приращения скоростей Ьд, получаем уравнение для нахождения величины ударного импульса 1: 2 г — 1 !е'д+ -1~е'А 'е+ !6'А 'е = О.
2 6 33. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ 141 Исключая нулевое решение, находим е'(д + А '6) еА 1е что позволяет получить окончательную формулу для приращения обобщенных скоростей в момент удара: Ь' = — 2е (9+ А '6) е'А 'е Эта формула и представляет собой общее решение задачи определения послеударного состояния произвольной механической системы по известному доударному в случае идеального удара (идеальных связей). Здесь д — доударные скорости, е+ Лд — послеударные, е — единичный вектор нормали к связи в точке удара, А матрица квадратичной формы кинетической энергии, 6 — коэффициенты линейной формы кинетической энергии, возникающие в случае нестационарной параметризации.
Если параметризация стационарная, то 6 = О и формула для приращения скоростей принимает более простой вид: Лу= — 2 А 'е. е'д е'А 'е Остановимся на некоторых свойствах идеального удара в лагранжевых механических системах, вытекающих из полученных формул. Свойство 1. Для того чтобы падающая скорость д и отраженная скорость «+ Ьу и вектор нормали е в точке удара лежали в одном линейном многообразии размерности два при любых д, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали был собственным вектором матрицы кинетической энергии в этой точке.
,Чоказательство. Двумерное многообразие, натянутое на векторы д и д + Ьд, имеет вид Л= Лд+дА 'е, где Л и р — произвольные числовые коэффициенты. Если вектор нормали е принадлежит этому многообразию, то найдутся такие Ло и ра, что Лед+ доА 'е = е При произвольном д отсюда следует, что Ло = О и раА 'е = е, т.е.
рв — собственное число матрицы А, соответствующее собственному вектору е. 142 ГЛ. 8 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ Таким образом, эффект стесненного идеального удара, проявляющийся в нарушении закона "угол падения равен углу отражения", определяется структурой матрицы квадратичной формы кинетической энергии в точке удара. Свойства 2. Для стационарных систем (6 : — О) проекция на нормаль в точке удара е падающей скорости д равна прекции на эту нормаль отраженной скорости й Р Ьд по модулю и противополжиа по знаку. е'д = — е'1ч+ Ьд) Доказательства получается прямой подстановкой в это равенство формулы для приращеиий скоростей Ьд при 6 = О. Свойство 3 1Теорема Аппеля). Обобщенные импульсы, соответствующие обобщенным координатам, па которые не наложена неудерживающая связь, в момент выхода системы на связь, непрерывны.
Доказательство. Обобщенные импульсы имеют вид дТ р= —,=Ад+6. дд Поскольку в момент удара координаты непрерывны, то 23р = АЬд' = !е. Пусть связь наложена на координату йн т.е. а2>0, тогда единичиый вектор нормали е имеет следующие компоненты: О, 1ф1, е< = 1, 2=1. Следовательно, и (О, мФ|, В заключение этого пункта приведем решение задачи о стесненном ударе, сформулированной в 221 для системы, изображенной на рис. 33. Кинетическая энергия изображенной на рисунке системы может быть записана следующим образом: г Т = т ~к + у + 11у соз уг — к з1 и у) у + — ~6 2 .2 г1 2 г 33 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ нз так, что матрица кинетической энергии получается такой 2т 0 — т1яп р о 2т гп1 сов р — т1 яп 1р т1 сов уг т1г Вычисление обратной матрицы дает 1г(2 — совг зг) — 1г яп у сов ~р 21яп у — 1 япугсозр 1г(2 — яп р) — 2!созчг 21з1п зг — 21 сов р 4 1 А 2т1г — + вектор обобщенных координат Поскольку система стационарная, то 6 = 0 и вычисление приращения скоростей производится по формуле Ьх Ьу Ьр = — 2 — А е е'д е'Ае В этой формуле е 4 = (О, 1, О) у Ф 1 у, е'А 'е = — (2 — япг р), 2т 1 — — япрсозр 2т г — (2 — яп ~р) 2т 1 — — соз уг т1 А 'е= Отсюда следует: 2у з!п Зг соз вг, 2 — з1пг чг — (2 — в1п р) = — 2у, 2у' 2 — в1пг р 4у сов р 1(2 — яп р) Ьу= Поскольку уравнение связи имеет вид у > О, то вектор нормали получается таким.
г44 ГЛ.э. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ Приращение горизонтальной составляющей скорости равно нулю для горизонтального и вертикального положений стержня в момент удара. Если 1 -+ со, то стержень движется поступательно (Ь1о = О), однако имеется разрыв как вертикальной составляющей скорости, так и горизонтальной. 2. Негладкая регуляризвция. Как следует иэ изложенного выше, в момент выхода системы на идеальную неудерживающую связь обобщенные скорости в общем случае терпят разрыв первого рода как функции времени.
В системе возникает удар, движение ее может быть описано дифференциальными уравнениями только в промежутке между двумя ударами. В моменты ударов требуется пересчет начальных условий. Между тем существует возможность посредством подходящей замены обобщенных координат исключить удары в системе, после чего дифференциальные уравнения движения оказываются пригодными на бесконечном интервале времени. Такая замена переменных называется регуляризацией исходной системы. Аналитический смысл излагаемой регуляризации заключается в том, что негладким преобразованием обобщенных координат мы можем в системе с неудерживающиг ми связями эти связи исключить.
Рассмотрим идею такой замены т вначале на простом примере. Пусть 12, изучается плоское движение материальной точки под действием сил г произвольной природы (рис. 47). Ч Обозначим декартовы координаты плоскости как дн дг, а силы, зависящие от времени, координат Рис. 47 и скоростей материальной точки, Щ, 1Зг. Пусть точке запрещено пребывание в левой полуплоскости, ось координат дг —— 0 представляет собой идеально отражающую стенку.
Формализация описания рассматриваемой механической системы в терминах теоретической механики исчерпывается заданием выражения для кинетической энергии, обобщенных сил и уравнения связи: 1) кинетическая энергия Т = гп(д~ + д~)/2, 2) обобщенные силы 1~г(1, д, д), Яг(1, д, 4); 3) идеальная неудерживающая связь 4г > О. Выполним негладкую замену переменных (дндг) — ~ (х, у); 4г=Ф, Чг=у В силу этой замены скорости преобразуются следующим образом; д~ — — гэ1кпх, йг = у 3 33. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ ду1 дуг х = — д1+ — дг, дх дх дд1 дуг У = — 1е'1+ — 1ег, ду ду откуда Х = 01318пх, У = ь12, Осталось выяснить, как преобразуется выражение неудерживающей связи. Поскольку е1 = )х) > 0 выполняется прн любых х б (-оо,со), то на новые переменные никаких ограничений не наложено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
