В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Множество М называется конфигуранионньсн многообразием механической системы, если указанное соответствие дифференцируемо в обе стороны (под дифференцируемостью понимается Ькратная непрерывная дифференцируемость, при этом конкретное значение Й несущественно) Пример 1.
На рис. 38 изображен двухзвенный маятник, состоящий из двух материальных точек 1 и 2, соединенных невесомыми, нерастяжимыми стержнями. Конфигурационное многообразие этой системы является тором (рис. 39). Откладывая углы а и Р от произвольно выбранных за 3 ЗЗ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 107 нулевые меридиана и параллели, убеждаемся в наличии взаимно- однозначного соответствия между точками тора и положениями Рис.
33 Рис. 39 двухзвенного маятника. Сам тор в тсз может быть задан, например, таким уравнением: 1я1 + яз + *з 5) + 16*э = 16. Пример 2. Тонкий абсолютно жесткий стержень длиной 1, один конец которого занимает произвольное положение на оси у (рис. 40), Рис. 41 Рис. 40 угол наклона стержня к оси я также произволен, Конфигурационным многообразием этой системы является бесконечный цилиндр гов ГЛ.6. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ (рис.
41), уравнение которого может быть задано в виде г+ г вз произвольно. Пример 3. Абсолютно твердое тело (рис. 42). В качестве номера точки, принадлежащей телу, можно взять ее декартовы координаты в некотором, жестко связанном с телом декартовом трехграннике (и — в этом случае вектор). В г б было показано, что конфигурационным многообразием твердого тела, одна точка которого неподвижна, является группа оО(3). Если А — матрица, определяющая ориентацию трехгранника (гу, относительно трехгранника вуг: вв хт вг вв хв ВЗ Хв Вэ то это многообразие задается в пространстве 116 уравнениями в!вв + вгхв + хзвв = О, .г+ г+ .г в~ ~+ вв + хг 1, бег А = 1. Если точка 0 не закреплена и Рис. 62 ее координаты во, уо, го произ- вольны, то конфигурационное многообразие такого тела представляет собой гтз произведение группы 50(3) на трехмерное пространство. Числом степеней свободы механической системы называется размерность ее конфигурационного многообразия.
Напомним, что размерностью многообразия называется разность между размерностью пространства, в которое оно погружено, и числом уравнений, задающих многообразие аналитически, В примерах 1 и 2 число степенй свободы равно двум, в примере 3 — шести. (Условие дегА = 1 не ограничивает размерности многообразия, поскольку в общем случае ортогональных матриц дегА = Ы и это условие представляет собой лишь выбор одной из полостей в общем случае несвязного многообразия.) Параметризациеп механической системы с конечным числом степенй свободы называется введение конечного числа параметров дм, д„, задание которых однозначно определнет положение системы: К=В.(и,г,ч1, ...,6 ). Сами паРаметРы дм, в„называютсн лагРангюевмми паРаметРами.
2 23. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 109 — е1;бО, '21е1 ( е; = 1) . В противном случае будет существовать такая вариация локальных координат, которая не приводит к вариации положения, что вступает в противоречие с требованием непрерывной дифференцируемости обратного отображения. Геометрически независимые параметры д„задающие локальную параметризацию, называются локальными хоординапгоми конфигурационного многообразия или обобщенными координапгами рассматриваемой механической системы. В примере 1 локальная параметризация может быть такой: В(1 ) 11 соз Д1 ~ гь(2 ) !1 соз 91 + 12 сов Д2 11 91п 91 ( 11 91п 91 + 12 91п Д2 где 91 = а, уг = р.
В примере 2 локальная параметризация может быть записана так: К(п,д)=, ', иб[0,1], (1г91нд1+ 02 где 91 —— а, дз = а. В примере 3 локальная параметризация имеет следующий вид: Ч1 92 Чз гг б телу, Очевидно, в качестве таких параметров можно взять координаты того Н, в которое погружено конфигурационное многообразие рассматриваемой системы: д; = ги (1' = 1, ..., пт), тогда запись К = В,(и, 2, 0), д б М С Я определяет глобальную параметризацию. Однако если взаимно-однозначного соответствия между положениями системы и точками ее конфигурационного многообразия требовать не всюду, а лишь в некоторой окрестности выбранного положения, то, используя уравнения многообразия, можно уменьшить число параметров д, до минимального, равного числу степеней свободы. Такая параметризация называется локальной.
Функция В. = В(и, 1, 91, ..., 0„), задающая локальную параметризацию, должна обеспечивать взаимно-однозначное и взаимно непрерывно дифференцируемое соответствие между точками указанных окрестностей. В частности, не должно существоать такого направления (е;), производная вдоль которого равна нулю тождественно по всем точкам системы, т.е.
по и. Следовательно, должно быть выполнено 110 ГЛ.6. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЪ|Х СИСТЕМ где А — ортогональная матрица, выраженная, например, через углы Эйлера Я б). При этом дз = Ф, д4 — — д, да = 1а. Если параметризация В. = В.(и,1, д) от времени явно не зависит, то такая параметризация называется стационарной. В противном случае параметризация нестаиианарнав.
Во всех предыдущих примерах параметризация была стационарной. Пример 4. Пример нестационарной параметризации доставляет система, изображенная на рис. 43. Она представляет собой математический маятник, который может занимать произвольное положение в плоскости П (угол а — произволен). Сама же плоскость П принудительно вращается вокруг оси х с постоянной угловой скоростью ы. Конфигурационным многообразием этой системы является окружность.
Угол о можно взять в качестве ее локальной координаты д| —— а. Положение маятника однозначно задается следующим образом: 1 в|в д сов |а1 1 а| п д в1 и ы1 Л вЂ” 1совд Я.(1, д) = Рнс. 43 д1 = д|(|) (1 = 1,..., и). Если в движении системы локальные координаты не стеснены никакими дополнительными условиями типа Уь(|,д,д)=0, к=|,...,з, связывающими производные от обобщенных координат, то такие координаты называются кинематически независимыми, а сами механические системы — галанамнмми. Виртуальным перемещением механической системы, локальная параметризация которой — Щи, |, д), называется полный дифференциал этой функции при фиксированном времени: бВ.
= ~~~ — бд1. дВ. дди (зависимости от номера нет, так как точка одна). Если механическая система движется, то локальные кординаты конфигурационного многообразия д являются функциями времени: э' 24. Вь$ВОД УРАВнений лАГРАнжА 2 24. Вывод уравнений Лагранжа Рассмотрим в механической системе малую окрестность некоторой точки й. Расположенный в этой окрестности малый элемент механической системы имеет массу Пгп' и находится под действием сил с массовой плотностью Р, так что сила, действующая на рассматриваемый элемент, есть Р пгп. В соответствии со вторым законом Ньютона нпгп = Ранга получаем Рассмотрим виртуальное перемещение системы бй, и вычислим работу силы Р сЬп на этом перемещении: бй Р дтп.
Полная работа всех сил, действующих на точки системы на виртуальном перемещении бй., есть Интегрирование ведется по всей массе системы. Подставляя сюда выражение для виртуального перемещения, находим бА = ~ ~бд< / — Ранга = ~~~ у;бд;, /' дй. '/ дд; где Гдй р; = ) — Рбгп / дв, — коэффициенты линейной формы вариации положения бд механической системы в конфигурационном многообразии, Действующие на элемент пт силы с массовой плотностью Р могут быть разбиты на два класса — реакции связей, плотность которых обозначим Р', и все остальные с плотностью Р". Реакции связей представляют собой силы взаимодействия между точками системы или с внешними по отношению к рассматриваемой системе точками, которые неизвестны заранее как функции времени, положения и скорости точек и должны быть определены из условий, наложенных на взаимное положение этих точек.
Все прочие силы задаются в виде функций: Р~ = Р~(1, К, й.). Если в примере со стержнем (рис. 40) предположить, что он находится в однородном поле тяжести с силой тяжести, направленной вдоль оси я, то Ра э О где д — ускорение силы тяжести. Нт ГЛ.В. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЪ|Х СИСТЕМ Реакции связей в этом примере представляют собой силы двух видов: внутреннее напряжение в стержне, вычисляемые из условия, что он абсолютно недеформируем, и сила реакции в точке стержня и = О, вычисляемая из условия, что эта точка не покидает ось у. Эта сила является сосредоточенной, и ее массовая плотность представляется с помощью дельта-функции Дирака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
