В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 15
Текст из файла (страница 15)
29). Действительно, рассмотрим точку на поверхности эллипсоида инерции, через которую проходит вектор угловой скорости ел г г = — ш. ш Подставляя этот вектор в уравнение эллипсоида, получим ,2 — ш .Тш — 1=0, „,г Отсюда следует Рис. 29 1 — = — = сопя<. У2Т ГЛ.8. СПЕЦИАЛЪНЪ|Е ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 88 Вычислим нормаль к эллипсоиду в этой точке: и = — = 2 7г = г-,ты = — К.
ф г 2 дг Лт Мы получили, что эта нормаль в процессе движения неизменна. Для того чтобы касательная плоскость к эллипсоиду в рассматриваемой точке была неизменной, осталось, таким образом, показать, что расстояние от нее до неподвижной точки постоянно, Это расстояние равно г К г 1 — = — щ К= 2Т = сопэс. к к ' к,/гт Поскольку через рассматриваемую точку проходит вектор угловой скорости, то это значит, что скорость этой точки тела равна нулю, т.е. тело, представляемое своим эллипсоидом инерции касается неподвижной плоскости без проскальзывания. Такое качение называется движением Пуансо.
Точка Р описывает в эллипсоиде инерции кривую, называемую полодией, соответствующая кривая на неподвижной плоскости называется герполодией. 6. Уравнение динамически симметричного тела в наблюдаемых переменных. Динамические уравнения Эйлера для симметричного твердого тела (когда, например, А = В) несколько упрощаются. Однако наличие у тела динамической симметрии может быть исге фс пользовано более существенно. Ниже мы получим уравнения, в которых динамические и кинематие ческие уравнения неразрывно сли- ты и которые после своего решеа ния не требуют геометрической интерпретации движения, поскольку записаны в переменных, непосредственно доступных наблюдению.
Введем следующие обозначения (рис. 30): е — единичный вектор оси динамической симметрии тела, С вЂ” момент инерции тела вокруг Рис. 30 этой оси (полярный момент инер- ции), А — момент инерции тела вокруг любой оси, перпендикулярной оси динамической симметрии (экваториальный момент инерции). Тензор инерции тела в главных ~ 19. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 89 осях имеет вид О А О Тензор инерции обладает следующими свойствами: ,УВ. = СВ, если В. и е, ЯВ.
= АВ., если В.~ е, т.е. направленные таким образом векторы являются собственными векторами тензора инерции, а моменты инерции А и С соответствующими собствеицыми числами. Все векторные величины, фигурирующие в задаче, удобно раскладывать по собственным векторам тензора инерции. Угловая скорость тела й = (р, 9, г) = те+ и (ы З.е). Момент внешних сил М = (МЕ, Мю Мс) = М<е+ п| (гп.3 е). Момент количества движения К =,Уй = 3(те + ы) = гСе+ Ащ = Не+ Аш, где через Н = тС обозначен так называемый собственный кинетический момент тела. Теорема об изменении момента количества движения дает ИК вЂ” = Не+ Не+ Аы = М. Й Исключим из этого уравнеиия производную от проекции угловой скорости на плоскость, перпендикулярную оси динамической симметрии мс Для этого по теореме Эйлера о распределемии скоростей в твердом теле запишем е=й хе=(ге+и) хе =ы хе.
Умножая зто равенство слева векторно на е, получаем е х е = е х [ы х е] = ы. После чего теорема об изменении К приобретает вид Не+ Не+ Аех в= М.. в зак. юз ГЛ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 90 Или, в проекциях на собственные векторы; < Н=М,, Ае х е+ Не = гп. Если, как это часто бывает, правые части полученной системы зависят только от ~, е, е, Н, то эта система оказывается замкнутой и достаточной для полного описания движения тела, поскольку для динамически симметричного тела его положение вокруг динамической оси симметрии интереса не представляет.
Рассмотрим в качестве примера свободное движение тела. В этом случае М< = О и гп = О. Из первого уравнения находим Н = сопвс, а второе уравнение принимает вид Ае хе+ Не=О, из которого следует первый интеграл Ае х е+ Не = К = сопзс. Умножив это равенство скалярно на е, находим Н = К е = К сову = сонэк Таким образом, тело движется так, что угол о между осью е н постоянным вектором К остается постоянным, т.е, ось е описывает коническую поверхность. Для того чтобы выяснить скорость движения по этой конической поверхности, умножим найденный первый интеграл векторно на е справа; ~Ае х е] х е = К х е, откуда следует е= — хе.
А Это означает, что вектор е движется по конической поверхности с постоянной угловой скоростью, равной К/А. Движение тела, в котором тело вращается с постоянной скоростью вокруг некоторой оси, которая, в свою очередь, движется с постоянной скоростью по поверхности прямого кругового конуса, называется регулярной прецессией. Таким образом, свободное движение динамически симметричного твердого тела полностью описано. ~ ~9. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 91 Выясним теперь, может ли тело совершать регулярную прецессию под действием внешнего момента тп. Подставляем условие регулярной прецессии е = и х е в уравнение Ае х е+ Не = гп, для чего предварительно вычислим е = и х е = и х ~и х е] = ии созд — еи .
После подстановки в уравнение находим Ае х иисозд+ Ни х е = п1. Таким образом, вызывающий регулярную прецессию момент напра- влен по вектору и х е и имеет модуль т = (Н вЂ” РАсозд)из1пй. 7. Волчок Лаграижа. Момент сил, вызывающий регулярную прецессию и вычисленный в п. 6, возникает естественным образом в случае, когда тело иаходится в поле тяжести, а центр тяжести его смещен вдоль оси симметрии на расстояние 1 от точки подвеса. Тогда уравнение движения волчка приобретает вид Ае х в+ Не = Мд1е х е. Здесь через М обозначена масса тела, у — ускорение земного тяготения, е — единичный вектор направления силы тяжести. Величина Н = Мд! называется неуравновешенностью.
Будем искать частное решение этого уравнения в форме регулярной прецессии с осью прецессии, направленной по оси тяжести; Е=РЕХЕ, где и — искомая угловая скорость прецессии. Подставляя это выражение в уравнение волчка, получим (Н вЂ” РАсовэ)и+И= О. Если ось динамической симметрии перпендикулярна направлению поля тяжести, то сов 0 = О и написанное уравнение для нахождения скорости прецессии и имеет единственное решение Р = — Д/Н вЂ” скорость прецессии направлена противоположно полю тяжести Если сов 0 ф О, то рассматриваемое уравнение имеет решение вида х~ 'хи'.~4Аы 8 2А сов 0 ГЛ. в. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 92 Отсюда видно, что если сов 0 > О, то имеются два решения. Если сов д < О, то два решения имеются, если Н > — 4Ад ~ов д.
В частности, если совд = — 1, то условие Нг > 4Ад известно как условие Майевского устойчивости вертикального положения волчка. Если Нг < 4Адсовд, то движений типа регулярной прецессии нет Во всех случаях существования двух решений одно из них Н.', ГО~+4А~ В и= -+ оо 1Н -г со) 2А сов.д имеет порядок роста Н при увеличении Н, другое г — г тттг 3 и= -г О 1Н вЂ” г оо) 2А сов д имеет порядок убывания 1(Н.
Первое решение носит название бмсгпрой прецессии, второе решение — медленная прецессия. Динамически симметричное твердое тело, имеющее одну неподвижную точку и достаточно большой собственный кинетический момент Н, называется гироскопом. Предположение, что Н вЂ” г со позволяет воспользоваться приближенной тлеорией гироскопа, получаемой, если в уравнениях Ае х е + Не = гп н=м, пренебречь членом Ае х е в сравнении с членом Не Не = пт. н=мс, Эти уравнения называются ураепеииями прецессионнод теории гироскопа скорость конца вектора собственного кинетического момента равна моменту внешних сил. В частности, если, как в предыдущем примере, к волчку в точке 1 на его оси приложена сила Р, то его прецессионные уравнения примут вид Н=О, Не=1ехР.
Из них следуют три основных свойства гироскопа; 1) гироскоп стремится сохранить направление своей оси неизменным в инерциальном пространстве, поскольку, несмотря на наличие Р, скорость е -+ О при Н -+ оо; з го. РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ 93 2) е1 Р— приложенная сила вызывает движение ие по направлению силы, а перпендикулярно ему, 3) гироскоп обладает свойством "безииерциовпости", т.е. при приложении силы Р или при снятии ее скорость е мгновенно принимает значение (1/Н)е х Р или обращается в ноль (гироскоп мгновенно останавливается). 2 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
