В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 10
Текст из файла (страница 10)
5 Э. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА 55 -.'..:.'.:) (!). + — 51пу сову О О + О со = — 51пу сову О О р р = ~Ввспув|пд+ дсову, со = в ', е = усовув!п — Вв!пу, г = усовВ+ у. Если нам задана угловая скорость тела р(С), в(й), г(М) и необходимо найти его положение в углах Эйлера, то следует решить систему дифференциальных уравнениЯ рв1пу+ усову Фс" В Ф'= 51п В В = р сов у — е 51п у, у = г — (раппу+ д сов у)стйВ. Ф Перед нами система нелинейу ных уравнений с переменными У" коэффициентами, имеющая осо- В В бенность в точке В = О. Ф у' Более удобными уравнения- х М ми для решения задачи нахо- х,х ждения положения тела по его скорости являются Рис. 17 5.
Уравнения Пуассоиа. Пусть вращение тела описывается в основных переменных, определяющих положение тела с одной неподвижной точкой, т.е. в элементах группы оО(3): А(1). Тогда положение любой точки тела в пространстве яуг есть г' = А(1)г, а ее скорость г' = А(М)г = А(М)А (С)г'. Воспользовавшись формулой Эйлера в матричной форме, получим Пг' = А(~)Ат(~)гг Эти скорости надо сложить, предварительно спроектировав их на оси Щ: ГЛ. 2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА откуда следует А = ЙА Это и есть уравнения Пуассона в проекциях на оси луг.
Для записи его в проекциях на оси (0~ достаточно заметить, что ш, 0 — ы, =А г 0 — р А И в проекциях на собственные оси получаем А = АП, Эти уравнения обладают существенными преимуществами по сравнению с кинематическими уравнениями Эйлера — ояи линейны и не имеют особенностей. Их недостатком является более высокая размерность по сравнению с последними. Линейные кинематические уравнения минимальной размерности можно получить в кватернионах. Как следует из п. 1 настоящего параграфа, эти уравнения имеют вид 2Л=ыоЛ в осях вух, 2Л = Лош в осях Щ.
Основным свойством уравнений Пуассона является то, что в отличие от общего случая линейных систем, когда для построеиия общего решения яеобходимо знать столько линейно независимых частных решений, каков порядок системы, здесь для построения общего решения достаточно знать единствениое частное. Покажем зто. Пусть известно какое-то частное решение А,(1). Будем искать общее решение в виде А(1) = САг(1), С вЂ” некоторая постоянная ортогональная матрица.
Общее решение будет найдено, если можно найти С так, чтобы удовлетворить любым наперед задаяиым начальным условиям А(0) = Ао.. А(0) = СА (О) = Ао => С = АаАТ(0) Следовательно, общее решение имеет вид А = АоА~(0)А,(1). 1 9. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА Таким образом, оказывается, что все решения конгруэнтны друг другу, поскольку получаются одно из другого преобразованием поворота, б. Теорема о телесном угле*. Как следует из изложенного выше, кинематические уравнения твердого тела, записанные в любой форме, имеют существенно более сложную структуру, чем кинематические уравнения материальной точки 1 = о,(г). я = о,(г), у = ор(г), Если проекция скорости точки на какую-либо ось равна нулю (например, о,(г) = 0), то и изменение соответстующей координаты (в данном случае я) отсутствует.
Не так дело обстоит с твердым телом. Если угловая скорость тела в проекции на какую-либо ось равна нулю, то тело вокруг этой оси неподвижным не остается. Прежде чем сформулировать этот факт точно, заметим, что он связан с тем, что в отличие от материальноЯ точки, конфигурационное многообразие которой есть трехмерное евклидово пространство, многообразие положениЯ тела с одной неподвижной точкоЯ евклидовым не является.
Теорема. Если некоторая ось 1,жестко связанная с телом, описала в процессе движения тела замкнутую коническую поверхность и при этом проекция угловой скорости тела на эту ось была равна нулю; 1 ог = О, то после возвращения оси 1 в исходное положение $ тело оказывается повернутым во- Е круг нее на угол, равный телесному углу описанного конуса. Г М Доказательство удобно про- Ф вести, воспользовавшись для задания подвижного триедра Щ "географическими" координатами (рис.
18) . Положение подвижно- У го триедра Щ относительно неподвижного яуг задается тремя углами: Ф вЂ” долгота, у — широта и — азимут. Чтобы не загромо- Рис. 19 ждать рисунок, центр подвижного трехгранника смещен из центра неподвижного. Ось 1, о которой идет речь в теореме, совпадает с осью г, и описывает на поверхности единичной сферы замкнутую кривую Г. Внарвыа доказана А.Ю,Иоганновны в 1952 а 4 Зак 233 ГЛ, 2.
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Выразим явно через введенные углы 4~, 1о, т условие ы 1 = = О. Воспользуемся правилом сложения скоростей. Скорость у перпендикулярна плоскости меридиана и, следовательно, проекции на ось ч не имеет. Проекция скорости 4~ на эту ось равна 4в1пу. Скорость ( проектируется в натуральную величину. Следовательно, ы 1= г = у+ 4з1п~р = О. Отсюда имеем х = — ~з1п уды.
уг Воспользовавшись теоремой Грина, получим к = ~/ ~~~~1 = /~ Ы5 = Я вЂ” площадь участка поверхности сферы внутри кривой Г. По определению это и есть телесный угол конуса с образующей Г. Теорема доказана. Теорему нетрудно проиллюстрировать. На рис. 19а изображено тело в начальном положении. Жестко связанная с телом ось будет описывать замкнутую коническую поверхность.
Полное движение, в котором ось ~ возвращается в исходное положение, состоит из трех простых поворотов (рис. 19б — г). На каждом этапе выполнено ы.1.Г. Кривая Г, которую описала ось ~ на единичной сфере, представляет собой восьмушку сферы. По доказанной теореме поворот вокруг оси ~ должен быть равен х/2, что хорошо видно на рисунке. Доказанная теорема допускает небольшое обобщение. Если в условиях теоремы проекция абсолютной угловой скорости ш на ось 1 является известной функцией времени. ы 1=ьч(1), то уравнение для нахождения угла поворота тела имеет вид т+ фз1пу = ьч(1).
Отсюда гт т = — ~з)п~оН4+ / ьЛ(1)й, уг Л где Т вЂ” время обхода контура Г. И, окончательно гт Х = ~+ / ьч(!)сй. о Результат, аналогичный доказанному, имеет место и в том случае, если ось, в проекции на которую угловая скорость тела задана, является неподвижной не в теле, а в неподвижном пространстве. 9 9. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА Рис. 19 Теорема. Если тело движется так, что некоторая неподвижная в пространстве ось (например, г) описала в теле замкнутую коническую поверхность и проекция угловой скорости тела на эту ось задана: ы, = м,(1), то угол поворота тела вокруг этой оси равен т ы,(1)й — о, о где о' — телесный угол конуса, описанного неподвижной осью в теле, а Т вЂ” время обхода конуса.
,0оказотельстео легко получается, если принять неподвижным вращающееся тело и считать вращающимся вокруг него ранее неподвижное пространство. Тогда угловая скорость пространства ео ГЛ. 3, КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЪНОГО ДВИЖЕНИЯ относительно тела равна угловой скорости тела относительно пространства, взятой с обратным знаком; — ш. Для определения положения пространства относительно тела справедлива доказанная выше теорема: т Х = о "'*(~)ш о а поскольку угол поворота пространства относительно тела равен углу поворота тела относительно пространства, взятому с обратным знаком, то это и завершает доказательство.
Глава 3. Кинематика относительного движения Рассмотренные выше раздельио кинематика точки и кинематика твердого тела сочетаются в настоящей главе, в которой мы задаемся вопросом; как подсчитать скорости л и ускореиия материальной точки относительно некоторой неподвижной системы отсчета яуг, если мы г знаем, как движется точка в неко- торой подвижной системе отсчета О Щ, причем движение Щ относи- тельно яуг тоже известио (рис. 20). гО Мы будем полагать известными 4 в проекциях иа подвижные оси (система отсчета наблюдателя) следующие величины; х у тв(~) — скорость точки О; р.го шэ(~) — ускорение точки О; ы(1) — угловая скорость системы Щ отяосительио системы зуг; Ы г = и — положение точки в подвижной системе; М ч„„= г = и — скорость точки в подвижной системе; С Ы эг„„ = г = й — ускорение точки в подвижной системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
