В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Решить уравнение х~+ х+ 1 = О. а) В вещественнык числах решений нет. б) В комплексных числах решений два; .,Гз х = — — ~1 —, 2 2 в) Найдем все решения в гицеркомплекснык числак х = хо+ к: х~ = (хэ + х) о (хэ + х) = хо ~— х + 2хэк. Подставляя это соотношение в уравнение, получаем х~ ~— х + 2хэк+ ха + х+ 1 = О. Кватернион равен нулю тогда и только тогда, когда равны нулю отдельно его скалярная и векторная части; хэ — хз + хо + 1 = О, (2хо + 1)х = О. ГЛЛЬ КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Зб Если х = О, то уравнение для хо неразрешимо, если х ф О, то хо = -1/2 и из первого уравнения находим г 3 х 4 Таким образом, решением предложенного уравнения является любой кватернион вида 1 х = — -+х, 2 где )йхй = ~/3/2.
Решений бесконечно много. Основная теорема алгебры о том, что решений в комплексных числах столько же, каков порядок уравнения, здесь не имеет места. Использование кватернионоа для задания положения твердого тела с одной неподвижной точкой основано на свойствах вводимого ниже присоединенного отображения: Е -а Е'. й' = Адй = Л о Е о Л.
Это отображение алгебры кватернионов в себя (й — произвольный кватернион) определяется фиксированным кватернионом Л, имеющим единичную норму йЛ)~ = 1. Присоединенное отображение обладает следующими свойствами. Свойство 1. Отображение Е' = Адй не меняет скалярной части кватерниона: Л о и. о Л = Л о (го + г) о Л = Л о го о Л + Л о г о Л = га + Л о г о Л. Остается показать, что Л ого Л не имеет скалярной части, Действительно, Л о г о Л = Л ого Л = — Лог о Л.
Сопряженный кватернион равен исходному со знаком минус, если у него нет скалярной части. Свойство 2. В силу свойства 1 присоединенное преобразование действует так, что векторная часть кватерниона подвергается линейному преобразованию: г' = Аг. При этом А является ортогональной матрицей. с вВ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 57 Действительно, рассмотрим норму )(Я'(( = ОЛ о !с о ЛО = ))Л)) (Щ( ((Л(( = (Щ.
Следовательно, то + т, + тв + тв = то + т, + тз + тз. Поскольку г2 !2 гз г2 2 2 2 2 то = то то )(г )! = ((г)(. Таким образом, ортогональные преобразования можно задавать наряду с ортогональными матрицами также и единичными кватернионами: ОЛО = 1. Запишем такой кватернион в форме Л = Ло + Ле, где Л вЂ” модуль вектора А, а е — единичный вектор его направления. Из условия ОЛО = 1 следует Л~ д+ Л = 1. Два скаляра, удовлетворяющие уравнению единичной Окружности, всегда могут быть представлены в виде.
Ао = сов(!Р/2), Л = 5!и(!Р/2), Тогда Л = сов(!Р/2)+ев!и(!Р/2) с условием (е~ = 1 представляет собой общий вид кватерниона единичной нормы. Теорема. Поворот, определяемый кватернионом Л в Ев, есть поворот вокруг вектора е на угол Р (Рис. 9). ,Показательство состоит в нег посредственном вычислении матри- !1 цы поворота А по заданному кватерниону сов(!Р/2) + ев!и(!о/2). В соответствии со свойством б (см. п.
2) столбцы матрицы А предстаРис. 9 вляют собой образы ортов исходного базиса. Вычислим эти образы. При этом исходный базис выберем так; 1! = е, 12,!з 1. е, (Свободу в выборе базиса в Ез нам гарантирует свойство 4 операции умножения кватернионов.) Тогда Ю'! 1! 5!и — т! =11, 2/ 'Р ! 1! 51п — / = 12 сО5 !Р + 15 51п !Р, 2/ !Р ! 1! 5!П вЂ” / = 12 51П !Р + 13 СОВ'Р. 2/ — + 1! вш — ) о !! о (сов —— — +1! 51П вЂ” / О!2 О (СО —— 2 2/ '! 2 — + 1! 5!П вЂ” / О 15 О (Сов— 2 2/ ! 2 1, = (СОВ ! 12 — — (Сов 'Ф !з = (сов Следовательно, 1 О О А = О сову — в!ну О в!п!Р сов у что и требовалось доказать.
гл.г. кинкмлтикл твкрдого тклл зв вр У 'Р1 Л = (соз —, х ап —, увпп —, х звп — в . 2' 2' 2' 2в' Коэффициенты этого кватерниона Лв — — хзвп —, Лв — узвп —, Лз — хвпп— 'вв у 2' 2' 2 Ле — — соз —, У 2' носят название параметпрое Родриго-Гамильтона конечного пово- рота. 4. Спииовые матрин;ы Паули. Спиновые матрицы Паули позволяют дать мапвричиую инпверпрепвацию алгебры кватернионов, в которой правила, определяющие перемножение ортов, представляются наиболее естественным образом.
Дадим для этих ортов следующую матричную интерпретацию: во = и 1 , вв = б 1 вв = 1 р , вз = Здесь в = в/ — Т. Можно проверить, что если под произведением понимать обычное матричное умножение, то введенная ранее таблица умножения ортов оказывается выполненной.
Кроме того, выполненными оказываются и все остальные аксиомы алгебры кватернионов. Следовательно, любой кватернион может быть переписан так: Л = Ла + Лв , + Лв + Лз Конкретные интерпретации обладают рядом свойств, лежащих вне исходных аксиом, которыми можно с успехом пользоваться. В данном случае матрицы можно сложить и записать кватернион так: Л о + вЛз -Лв + вЛв 1 Лв + вЛв Ле — вЛз / ' после чего перемножение подобных кватернионов осуществлять как обычное умножение матриц. Сопряженный кватернион имеет вид — ( Ло — вЛз Лв — вЛв ~ в -Лв — вЛв Лэ + вЛз / ' Таким образом, в записи единичного кватерниона соз(вр/2)+ +е ввп(ув/2), определяющего присоединенное отображение, е есть единичный вектор оси эйлерова поворота Ез, а вр — угол этого поворота. В покомпонентной записи в соответствии с ранее полученным этот кватернион имеет вид о В.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 39 Видно, что сопряженный в ранее определенном смысле кватернион, рассматриваемый в матричной форме, представляет собой эрмитово-сопряженную матрицу (комплексно-сопряженную и транспонированную); Л = Л". При этом норма кватерниона равна детерминанту соответствующей ему матрицы ))Л)) = с)есЛ. Так что кватернионы единичной нормы, служащие для определения положения твердого тела, описываются комплексными матрицами 2 х 2, удовлетворяющими двум условиям ЛЛ* = Е, с)есЛ = 1. Элементы таких матриц, являющиеся комплексными комбинациями компонент кватерниона, называются лараметрамп Кейли-Клейна: а = Ло + сАз, Ь = Лг + сЛП В этих обозначениях матричная интерпретация кватерниона приобретает вид с а(' Некоторые представления о других свойствах параметров КейлиКлейна дают 5.
Дробно-линейные преобразования. Рассмотрим поворот твердого тела как преобразование единичной сферы в себя (рис. 10). Рис. 10 Поворот осуществляется вокруг оси, задаваемой единичным вектором е, на угол 1о, т.е. описывается следующим кватернионом: Л = = соа(1о/2) + ез(п(1о/2). При стереографическом проектировании сферы на плоскость яу повороту сферы будет соответствовать некоторое преобразование плоскости. Выясним, какое именно. Покажем, что любая ГЛ.2.
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 40 окружность на сфере при стереографическом проектировании переходит в окружность (при этом прямые считаются окружностями, которые проходят через бесконечно удаленную точку). Для этого рассмотрим в плоскости лу произвольную окружность и проведем через нее коническую поверхность с вершиной в полюсе С. Этот конус пересекает сферу по кривой, являющейся прообразом рассматриваемой окружности при стереографическом проектировании. Если окружность в плоскости лу проходит через бесконечно удаленную точку, те является прямой, то конус превращается в плоскость н сечение сферы плоскостью есть всегда окружность.
В общем случае рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через ось конуса и перпендикулярной плоскости ху. Это сечение изображено на рис. 11. Точки Ь и М, лежащие в этом сечении, принадлежат и конусу, и сфере. Проведем через эти точки плоскость П перпендикулярно плоскости сечения Поскольку угол Рнс. 11 АВС равен половине угла, стягиваемого дугой С1,, а угол СМЬ опирается на эту дугу, то эти углы равны.
Следовательно, плоскость П ориентирована по отношению к конусу так же, как и плоскость лу (поворотом вокруг оси конуса на угол л плоскость П переводится в положение, параллельное плоскости ху). Следовательно, сечение конуса плоскостью П вЂ” тоже окружность. Плоскость П сечет сферу по окружности, поскольку точки Е и М у этих окружностей общие, то они совпадают. При повороте сферы, задаваемом кватернионом Л, любая окружность на ней переходит в другую окружность.
По доказанному, образы этих окружностей на плоскости также являются окружностями. Но это означает, что преобразованию поворота сферы соответствует такое преобразование плоскости, которое любую окружность переводит в окружность. Из теории функций комплексного переменного известно, что такими преобразованиями являются ~ 7, СЛОЖЕНИЕ ПОВОРОТОВ ного переменного известно, что такими преобразованиями являются дробно-линейные преобразования х = х + 1у -+ и = и + ю: у+у гп+ пх Представляет интерес найти связь между компонентами кватерниона Л и параметрами дробно-линейного преобразования р, д, т, п. Для того чтобы это сделать, достаточно знать, как преобразуются три произвольные точки плоскости. В качестве таких точек удобно взять две неподвижные точки, получающиеся стереографическим проектироваяием точек пересечения прямой е со сферой и одну из точек х = 0 или х = со, соответствующих проектированию нижнего или верхнего полюса.
Опуская эти, не представляющие микакого интереса выкладки, получаем ах — Ь ш= вх+ а То есть параметры Кейли-Клейна и определяют то дробио-линейное преобразование, которое является стереографическим образом конечного поворота. 5 7. Сложение поворотов В предыдущем параграфе изложены три основных способа задания положения твердого тела с одной неподвижной точкой; углы конечного вращения (с обязательным указанием последовательности воображаемых поворотов), ортогональные матрицы, отображающие базис неподвижной системы координат в базис, жестко связанный с телом, и кватернионы, выполняющие ту же роль, что и матрицы, но с меньшим числом параметров. Задание поворота параметрами Кейли — Клейна или дробно- линейными функциями по сути своей эквивалентно заданию его кватернионом, имеется лишь некоторое отличие в правилах оперирования с этими параметрами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
