В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Термин "инвариантность" в механике и в физике существует наряду с термином "ковариантность". Оба эти термина отражают различные свойства уравнений движения и их не следует путать. Попытаемся пояснить точный смысл обоих терминов. Рассмотрим в общем случае произвольмую систему дифференциальных уравнений: ВВЕДЕНИЕ Выписанная система дифференциальных уравнений называется инварионтпной по отношению к этому преобразованию переменных, если после подстановки замены в уравнения для новых переменных можно получить уравнения с теми же самыми функциями г;; ду ау ду "~д,,ь/ Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение с(о о — 1 — — (д — скалярная переменная) . д1 д+г Осуществим преобразование переменных (1, д) -+ (1', д'): "=у +1 у=у Прямая подстановка этой замены в уравнение дает: После разрешения этого соотношения относительно производной получаем й~' д' — 1' др д +у' Таким образом, в новых переменных дифференциальное уравнение имеет тот же вид, что и в старых переменных.
Преобразования, относительно которых дифференциальные уравнения инвариантны, называются симметриями этих уравнений (см. 251). Симметрии обладают тем очевидным свойством, что они переводят решения системы в решения той же системы. Пусть, например, мы нашли некоторое решение о = 2 11) уравнения Подставим это решение в замену: у' — д = У (1'+ у') Разрешим это уравнение относительно д'. з 2. ИНВАРИАНТНОСТЪ И КОВАРИАНТНОСТЪ УРАВНЕНИЙ 13 Тогда можно утверждать, что д = д(~) есть еще одно решение рассматриваемого уравнения. В принципе относительности Галилея речь идет об инвариант- ности законов классической механики, а не об инвариантности тех конкретных дифференциальных уравнений, которые могут быть получены в силу этих законов в разных конкретных задачах.
Инвариантность закона означает неизменность правила составления дифференциальных уравнений, но не самих уравнений. В частности, инвариантность второго закона Ньютона по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой означает, что в новой системе мы должны по-прежнему приравнять ускорение точки, умноженное на ее массу, той же самой силе, действующей на точку. При этом в новых переменных эта сила может иметь иное аналитическое выражение. Инвариантность правила составления дифференциальных уравнений по отношению к переходу к новым переменным и называется ковариантпносглью самих дифференциальных уравнений: ковариантность инвариантность закона, дифференциальных уравнений в силу которого они составлены. В дальнейшем мы встретимся с ковариантностью дифференциальных уравнений, составленных в форме уравнений Лагранжа, по отношению к любым заменам обобщенных координат и с ковариантностью уравнений, составленных в форме Гамильтона по отношению к каноническим преобразованиям.
И в этих случаях речь идет об инвариантности правила составления дифференциальных уравнений, а не об инвариантности самих составленных уравнений е В прекрасном учебнкке В.И.Арнольда "Математические методш класснческой механики" дается ашнбочное толкование прннцнпа отнаснтельностн Галилея, возннкшее нз-за смешення поняткй "кнварнантность" н "коварнантность" Часть 1 Кинематиха Глава 1. Кинематиха точки й 3.
Основные определения Положение материальной точки считается известным, если задав радиус-вектор г этой точки в некоторой зараиее фиксироваииой декартовой системе координат. Движение материальной точки задается явной функцией времени г(2), что соответствует задаяию трех скалярных функций времени х(1),у(2),2(2) при рассмотрении радиуса-вектора в некотором базисе 2, 2, 1с: г = х(2)) + у(2Ц + 2(2)1с. Кривая, описываемая движущейся точкой, называется траек2пори- ей. Скоростпь2о точки иазывается вектор Нг Йх, оу. ох ъ(2) = — = — ) + — ) + — 12. о'2 й й й Функции времени Нх Ну Их Вг — —, 6 = —, Вд й' " й' ' й являются проекциями вектора скорости иа оси х, у, 2 Модуль скорости Ускорением точки яазывается вектор ~2х.
и (2) = — = — ) + — ) + — 1с. Й Й2 Й2 Й2 Проекции ускорения иа оси х, у, 2 есть р 2О г ~22' п22 2О, = —. Й2 Изх 2О~ й2' Задачей кинематики точки является определение таких понятий как положепие точки, скоросп2ь и ускорение точки, а также устаяовле- иие связи между этими характеристиками при различных способах описания движения точки. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ В ЕСТЕСТВЕННОЙ СИСТЕМЕ ОСЕЙ 1э Модуль ускорения Если скорость точки как функция времени задана и требуется найти ее положение, то для этого необходимо решить три дифференциальных уравнения вида пх пу пх — = е (~), — = х (~), — = е,(~), й ' ' ш' " ' й называемых кинематпическими уравнениями движения точки, в отличие от уравнений Ньютона, называемых динамическими уравнениями.
Решение этих уравнений определяет закон движения точки г' г' гс х(Е) = хо+ / х (1) й, у(й) = ус + / еэ(й) й, х(й) = хо+ / э(й) й, о а о одновременно представляющий собой уравнения траектории, задан- ные в параметрической форме. В 4. Кинематика точки в естественной системе осей Пусть закон движения точки задан: х = х(1), у = у(1), х = х(1). Выберем на траектории произвольную точку, от которой будем отсчитывать пройденный рассматриваемой точкой по траектории путь э(~). Рассматривая з в качестве нового параметра траектории, получим следующее выражение для скорости точки: Иг оз Пз ч = — г[з(1)] = — — = т —, Й пбй ш Из дифференциальной геометрии известно, что модуль вектора пг т =— пз равен единице, а сам вектор определяет направление касательной к траектории в рассматриваемой точке.
Следовательно, модуль скорости определяется производной от пути: Нз е =)г) = —. й ГЛ.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 1б Вычислим ускорение точки: Нч Ы Не Йт 1)з Йи 1йт и = — = — (ит) = — т+ е — — = — т+ е —. м а Ы1 Ь )1 а Ь Вектор 11т/пз называется вектором кривизны. Он связан с единичным вектором нормали к кривой и следующим образом: от 1 — = -и, <Ь где величина Р называется радиусом кривизны траектории в рассматриваемой точке. Таким образом, вектор ускорения ж оказывается разложенным на два взаимно перпендикулярных единичных вектора т и и сле- дующим образом (рнс.
1): с Не вх и = — т+ — и. о'1 р Дополнив векторы т и и тре- Ю тьим ортогональным им единичв ным вектором Ь таким образом, чтобы построенный базис из трех г(н ч векторов оказался правым, мы и получим то, что называется естественным, или сопровождающим трехгранником траектории. У Проекция ускорения ж на ось т называется тангенциальным, или х касательным ускорением: Рнс. 1 Ию с1 Проекция ускорения на нормаль называется нормальным ускорением: Ю шл— Р Проекции на вектор Ь (вектор бинормали) ускорение ж не имеет. Пример.
Точка движется по винтовой линии х = Лсоз1, у = Лз1п1, с = В. Путь, пройденный точкой, Перепишем уравнения траектории, выраженные через новую неза- г з. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕИНЪ|Х КООРДИНАТАХ |7 висимую переменную: Б Ь у= Лап ) Дг + |г ' /Лг +|г ' з = Л сов ,Дг+ |г Вычисляем базисные векторы сопровождающего трехгранника: ш з Л 3 з|п соз Дг «р Дг «р' /у+р Дг+|г' /у+р Йт ) з Лг+|г <|з $,, ~Лг+ р' 1/у+!г' ~ ' Л Ъ=тхп < Л /Лг | |г Д2+|г' Д2 | |г /Лг+|2' .Д2+|г Проекции скорости на оси сопровождающего трехгранника: и, = ъ/И'+!', е„= О, щ = О. Проекции ускорения на зти же оси: ш„= — = Л, Р Не, ш = — =О с й \ па = О.
5 5. Кинематика точки в криволинейных координатах х = з(Ч| Чг Чз)~ У = У(Чг Чг Чз) г = г(Ч| Чг~ Чз). Для того чтобы соответствие между тройкой новых переменных и тройкой декартовых координат было взаимнооднозначным, требуется невырожденность соответствующего отображения, а чтобы 3 зак 233 Положение материальной точки г = (х, у, г) можно задавать не только при помощи декартовых координат в, у, г, но и любых ДРУгих пеРеменных Ч|, Чг, Чз, чеРев котоРые ДекаРтовы кооРДинаты могут быть однозначно выражены: ГЛ. 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 18 вычислять в дальнейшем скорости и ускорение, надо потребовать его дифференцируемость нужное число раз, Если точка движется, т.е, г(1), то новые координаты являются функциями времени: Наша задача состоит в том, чтобы выразить скорость точки ч(1) и ускорение 1ч(1) через производные по времени от новых координат н при этом представить эти векторы в проекциях на локальный базис, связанный с новыми координатами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
