В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Требуется найти в проекциях иа подвижные оси полную скорость точки относительно системы яуг и полное ускорение этой точки относительно той же системы. Пусть А есть ортогональная матрица 61 Вычисляем полную производную: ж Иго — = — + Аг+ Аг. о'а и'г А — = А — + А Аг+г. тм того т . о'г <й Введя обозначение для полной скорости в проекции иа подвижные оси Ат ~~ гй ' а также имея в виду, что А — =но и АТАг=ы хг, т ого Й Ъ' = но+ а х Г+ инта. Скорость то + ш х г = чннр называется переносной скоростью. Опа определяет скорость той точки системы Щ, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка.
Для вычисления ускорения вернемся в последнем соотношении к проекциям на неподвижные оси: оп. ого — = — +А(ы х г+ч н), Й Й ГЛ. З. КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ преобразования от системы я'у'г' к системе Щ (система имеет общее начало с системой Щ, а оси параллельны осям Тогда связь между изображенными па рис. 20 векторами такой. К=го+Аг, К= У, го= у, г= Перепроектируем это равеиство иа подвижные оси: получим искомое выражение для скоростей. Дифференцируя это соотношепие, находим РВ, И'го — = — + А(го х г+ чнтн) + А(ы х г+ ы х г+ Уонн) Щ2 Щ2 ! ! Ф яуг).
будет вт ГЛ. 3. КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Перепроектируя на подвижные оси, получаем А — = А — + А А(щ Х г+ иотн) + со Х г + о ~ Х г + иотн та Н т" го т ' йо йо или тт' = 'тт'о + со х (ит х г) + ы х г + 2оо х ио,н + нн тн. Мы получили, что полное ускорение может быть представлено в виде суммы трех частей. Первая часть называется переносным ускорением тт мор = то~о + щ х (ы х г) + 4 3 х г.
Оно получается из полного ускорения в предположении, что рассматриваемая точка в системе Щ неподвижна: иота он О, онотн сн О. Вторую часть представляет собой относительное ускорение, Оно совпадает с полным тогда, когда система ДО~ относительно системы еуг двиясется равномерно и поступательно, т,е.
зро = О, оо = О. Третью часть представляет собой ускорение, называемое кориолисовым: тимор 2он х но,н, Пример. Определить абсолютное ускорение точки, движение которой наблюдается относительно Земли в связанной с нею местной системе координат, оси которой на- с правлены на восток, север и в зеАо нит (рис. 21). г Полагая ускорения, связанные т с движением центра Земли по орбите вокруг Солнца, малыми, будем считать, что этот центр неподвижен в инерциальной системе го р координат яуг, относительно которой Земля вращается с угловой скоростью суточного вращения ы, Роль подвижного трехгранника х Щ здесь играет репер, ориентированный по сторонам света ЕЛГл. Наблюдается и считается известным движение точки в этом трехРис. от граннике: г(г) = О(г), ното = О ю ннотн = Требуется определить абсолютное ускорение этой точки в проекциях на эти же оси.
Исходим из формулы тр — триер + тнотм + нгнор ГЛ.З. КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ бэ Подсчитаем переносное ускорение. Ускорение точки 0 в проекциях иа хех есть 0 тто = — ш тесову 0 Или, в проекциях иа оси ЕУт' Х; 0 иго = ы~госовув1пу — м тесов у г Здесь у — широта места. Поскольку предполагается, что Земля вращается равномерно, то ш = О. Скорость вращения Земли в проекциях на ЕЛ/А ш = ы сову ыв1п у Подсчитаем ы х (ы х г): — ы с 2 ш х (ы х г) = ш~(~ сов у — Ов1п у) вш у — м (~ сов у — и в1п у) сов у Складывая это ускорение с ускорением ив, получаем переносное ускорение; -м с 2 Ж„,р — — ы ((~+ гв) сову — пв1п у]в1пу — шв ((~ + ге) сов у — О в1п у] сов у Подсчитаем кориолисово ускорение: ~а~ сов у — пм в1 п у У~кор = 2< ~ х тати = 2 ы~ в1п у — ьС сову Складывая переносное, кориолисово и относительное ускорения, получим полное ускорение в проекциях иа оси ЕЛ/Я: шг — — — м (+ 2ь~(~сову — пв1пу) +с, шА = ы~[(~+ го) сову — пв1пу]в1пу+ 2м(в1пу+ й, шг = — и'((~+ ге) сову — цв1пу]сову — 2ь(сову+ ~.
64 ГЛ. 3, КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЪНОГО ДВИЖЕНИЯ Воспользуемся этими выражениями, чтобы ответить на вопрос, куда падает из состояния покои материальная точка, поднятая на высоту 6 над Землей, Для этого надо решить уравнения шв=0, шл'=О, шя= — д при начальных условиях б = и = О, ~ = 6, б = и = ~ = О. Относительно искомых переменных эти уравнения линейны и могут быть решены точно. Однако полагая, что ы — малая угловая скорость и пренебрегая в решении квадратом этой скорости, можно сильно упростить выкладки. Решаем систему с + 2м (~ сов у — 11 в1 и ~р) = О, 6+ 2ь(в1п д = О, ~ — 2м(в1п у = — д с указанными выше начальными условиями методом последовательных приближений.
В нулевом приближении ы = 0 и из системы получаем ( = О, г1 = О, ь = 6 — д1з/2. Подставляя это решение в члены, содержащие множителем ы, и еще раз интегрируя, получаем решение первого приближения. з дз ~ = -ыд1з сов у, и = О, ~ = 5 — —. 3 2 В момент падения на Землю ~ = О, откуда 1 =,/2И(у. Отклонение точки к востоку в момент падения равно 2/, з1з 3 При значениях параметров, равных ш = О, 00007 с ', д = 1000 см/сз, сов р = 1/2, И = 10 м, отклонение к востоку составит 3,3.10 з см. Часть 11 Динамика Глава 4. Общие теоремы динамики 0 10.
Определения рассматривается совокупность (дискретная или континуальная) материальных точек, образующая механическую систему Я. На каждую точку системы действует сила с массовой плотностью Р (рис. 22) . Сила, действующая на элемент массы Ит, равна кот. В дальнейшем будем иметь в виду е следующие основные определения. Силы, которые действуют на рассматриваемую точку системы 5 со стороны других точек этой же Ю системы, называются внутренни- Г ми. Силы, действующие со стороны материальных точек, лежащих г вне рассматриваемой системы, называются внешними. Количесп!вом движения изолированной материальной точки мас- х У сы т, движущейся со скоростью ч, называется вектор Рис. 22 р = тк, Количеством движения системы !ч' изолированных материальных точек называется сумма количеств движения всех составляющих систему точек: !ч р=~~ тч;. !гы Количеством движения непрерывной системы материальных точек называется интеграл р = чдт.
Моментом количество движения, или кинетическим момен!лом, изолированной материальной точки относительно точки О, радиус-вектор которой есть го, называется вектор К = т(г — го) х ч. ГЛ. 4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ Моментом количества движения системы Ф изолированных мате- риальных точек называется сумма эт К = ~ ~та!(г, — го) х ч!. В непрерывном случае этот вектор имеет вид К = / (г — го) х о т)тп. Конев!оческов энергией материальной точки называется скалярная неотрицательная величина 1 Т = -пто ъ.
2 Кинетической энергией системы 1т' изолированных материальных точек называется сумма А! Т= — 7 тптч;.ч;. В непрерывном случае эта скалярная величина имеет вид 1 Т= — / ч чт1тп. 2/, ' Пентпром масс системы 1т' изолированных материальных точек называется точка, радиус-вектор которой вычисляется по формуле Или, в непрерывном случае: гь —— — / гсЬп (М = Йп), 1 М,/з 5 Импульсом сильь за время 1т — 1! называется интеграл и г, = — ~~! тп;г, ~=! 1М = ~~ тп;). т=! 1 ы. теОРемА ОВ изменении кОличестВА ДВижениЯ 67 в случае, если Р— дискретная сила. Если Р— массовая плотность силы, то этот интеграл называется массовой плотностью импульса силы.
Работой силы иа перемеШеиии т называется интеграл Вириалом материальной точки называется выражение 1 — -Р г, 2 где г — радиус-вектор точки, Р— приложенная к ией сила. Вириал системы материальных точек: я Р; г; Таковы основные определения. Добавим, что количество движения и кинетическая энергия называются соответственно векторной и скалярной мерой движения системы. З 11. Теорема об изменении количества движения Представим массовую плотность сил Р в виде суммы плотности внутренних сил Р' и плотности внешних сил Р' и запишем уравнение Ньютона а'~ г — = Р+ Р*.
Щ2 Проинтегрируем это уравнение по всей системе о', учитывая, что в силу третьего закона Ньютона интеграл от плотности внутренних сил равен нулю: Если масса системы от времени не зависит (система постояииого состава), то из этого соотношения выводим Этот результат формулируется так: проиэводяиая от количества двиясения системы равна сумме всех виешиих сил, действующих иа систему.
ГЛ. ч, ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В частиости, если внешние силы равны нулю, то количество движения системы измениться ие может: р =сопвш Для системы постоянного состава количество движения системы может быть выражено через скорость движения ее цемтра масс: /Ыг И У Иг, р = / — ат = — / гйл = М вЂ”. 5й й 5 Поэтому, если иа систему внешние силы ие действуют, то центр масс ее движется равномерно и прямолинейно: дг, — = сопИ. й Иными словами, никакими внутренними силами привести центр масс механической системы в ускоренное движение невозможно. Проинтегрируем по времени уравнение ар/й = / Р~ ат: ь=/(/г~) Это соотиошепие называется законом изменения количества движеиия в интегральной форме и звучит так: изменение количества бвижения системы 5 за время ~т — 11 равно импульсу внешниг сил за зто же время. Замечание. В совремеипой литературе термины "количество движения" и "импульс" часто выступают как синонимы 2 12, Теорема об изменении момента количества движения Умиожим уравнение Ньютона аэг/йт = Р'+ Р' векторно иа г — го и проинтегрируем результат по всей системе Я: / Дэг (г — го) х — Нт = ( (г — го) х Р'Ит 5 й (как и в предыдушем параграфе мы использовали здесь третий эакои Ньютона, что привело к исчезновению внутренних сил).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
