В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Левую часть полученного равенства можно представить так: /- — = л аз г а'г 1 Н аг (г — го) х — Нт = — / (г — го) х — ат — / — (г — го) х — йт. йэ й/, й,/,й й Первый член суммы представляет собой производную от момента количества движения отиосительио точки О, а второй член преобразуется следуюшим образом: /; —— Н Нг )' Нго Иг Иго — (г — го) х — ат = — / — х — с~т = — — х р. вй ' й /зй й й з ЕЬ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА Бэ И, окончательно, мы получаем: дК г, дго — = / (г — го) х Р'дт — — х р 5 — закон изменения момента количества движения: скорость изменения момента количесгпва движения относительно некоторой точки некоторой О равна моменту всех внешних сил, вычисленному относитпель»о той же точки, минус скоростпь точки О, векторно умноженная на количество движения системы. Теорема об изменении момента г количества движения известна и в го другой форме.
Введем понятие относительного момента количества движения. Свяжем с подвижной точкой О $ систему координат С и ~, поступательно движущуюся относительно системы хуг (рис. 23). В опреде- Рис. 23 ленин количества движения скорости точек будем рассматривать не относительно системы хуг, как в предыдущем случае, а относительно подвижной системы ~ц~: др Кьг» = Р х — дт. а В этом случае, проделывая выкладки, аналогичные предыдущим, получаем "'=! дг(га + Р) дгго дК » Г р х дт = Мр, х — + — = г р х Р'ат, ,йг ' йг и уравнение для относительного момента количества движения принимает вид дКот» — г р х Р' ат — Мр, х чга а -Л вЂ” скорость изменения относительного кинетического момента вокруг точки О равна моменту внешних сил относигпельно той же точки минус момент силы инерции переносного движения Мчга, вычисленный относительно центра масс системы.
В последнем результате дополнительный момент сил инерции равен нулю, если система с й~ движется равномерно — ио = О, или, если точка О совпадает с центром масс — р, = О. ГЛ.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ 70 Е 13. Теорема об изменении энергии Вычислим производную по времени от кинетической энергии системы: Учитывая закон Ньютона ач/й = Р, получим Элементарная работа всех сил, приложенных к точке на перемещении точки дг, равна Р дг. Отношение этой работы к интервалу времени дт, за которое она была совершена, называется мощностью силы Р. Полученный результат может быть сформулирован так. производная по времени от киметической энергии систпемм равна мощности всех сил, приложенных к ней.
В дифференциальной форме теорема об изменении энергии может быть записана так: ЙТ= ( дг Рдт гэ — приращение кинетической энергии равно элементарной работе всех сил, приложенных к системе. Сила, приложенная к точке, называется потемциальмой, если существует такая функция координат этой точки и времени— У(1, х, у, г), что проекции Р на оси могут быть вычислены как дУ дУ дУ дх ' " ду ' * дг или, в краткой форме: дУ Р = —. дг' Если потенциал тт' от времени не зависит, то выражение дг Р представляет собой полный дифференциал функции бт: Потпенциальной эмергией всей систпемм называется величина 1 14.
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 71 Для случая потенциальных и не зависящих от времени сил теорема об измении кинетической энергии в дифференциальной форме принимает вид дТ = -дП, откуда следует Т + П = сопз1. Сумма Т+ П называется полной механической энергией системы. Таким образом, установлено: полная механическая энергия системы не изменяется во времени, если все действующие силн потенциальны, а их потпенциал от времени не зависитп.
Этот закон называется законом сохранения энергии. 2 14. Первые интегралы Понятие первого интеграла более подробно будет обсуждаться в г 26 Здесь же мы дадим лишь предварительные сведения. Функция, зависящая от координат и скоростей точек механической системы и не являющаяся тождественной константой, называется ее первым интегралом, если она не изменяется во время любого движения системы. Доказанные выше теоремы позволяют установить условия существования трех основных типов первых интегралов. Если внешние силы отсутствуют, то не меняется во времени количество движения системы, называемое в этом случае интегралом количестпва двиэюения.
Если момент внешних сил равен нулю, то не меняется кинетический момент системы, называемый в этом случае интпегралом момента количества двизюения. Наконец, если все действующие силы потенциальны и не зависят от времени, то полная механическая энергия является интегралом энергии рассматриваемой системы. В 15. Теорема Кенига Введем понятие относительной кинетической энергии системы 5. Это энергия, вычисленная в движении системы относительно подвижной системы координат 671~ 1см. рис.
23): 1 1 ар ттР Тот„= — ~ — — дт. 2,/ дг д1 Рассмотрим частный случай, когда начало координат подвижной системы помещено в ее центр масс, и вычислим полную кинетическую энергию системы: 1 аго аго 1 аго 1ттР 1 Тдр аР— — ~ дт+ — э~ — дт+ — эт — — дт. 2 д1 Й,/ Й,/ а'1 2,/ д1 Й ГЛ.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ 72 Первый член в полученной сумме представляет собой кииетическую энергию материальной точки, помещенной в начало координат подвижкой системы и имеющей массу, равную массе системы. Второй член равен нулю, поскольку предположено, что центр масс лежит в точке О и, следовательно, ) рдт = О, Третий член равеи относительной кинетической энергии системы.
Таким образом, установлена теорема Кеиига: кинетическая энергия системы есть энергия движенил ценгпра мосс (в определенном выше смысле) плюс энергия движения относительно центра масс. '2 16. Теорема о вириале Рассмотрим систему Ф материальных точек, кинетическая энергия которой есть н Т=-У тиг ин 2 ~-~ 1=1 Заметим, что кинетическую энергию можно представить в следующей форме: и Т = — чг рг иг, 2 '- где р, — количество движения Ей точки. Запишем очевидное тождество: 1 дгг 1 д 1 дрг 2, ' д! 2д1,, ' 2,, сй Таким образом, учитывая закон Ньютона дрг/д1 = Рг, для кинети- ческой энергии получаем 1 д 1 Т= — — ) рг г,— — ~ ~г, г,.
2дг, ' 2 Вычислим среднее значение по времени от обеих частей равенства, введя для среднего значения обозначение (Т) = !пп — / ТЙ. Будем предполагать, что движение материальной системы осуществляется в ограниченной области пространства и с ограниченными З мь ТЕОРЕМА О ВИРИАЛЕ 73 скоростями. Из этого следует, что сумма 2,'1 1р, -г; ограничена, а 77 следовательно, < — рг г, = 1пп — / — ~~1 р; г1 й == 1пп — ~~~ р; г,~ = О. аг Г.ЧаЗ Т а й ~.ЧСа Т 10 1=1 1=1 1=1 Значит, для среднего значения кинетической энергии получаем Среднее значение кинетической энергии системы равна среднему значению ее вириала Если действующие силы Е, потенциальны, т,е.
дП Е1 = —— дг, ' где П вЂ” потенциальная энергия, то написанное соотношение при- обретает вид (Т) = — ~~ — г; Если потенциальная энергия есть функция и-й степени от всех радиусов-векторов г„ то (Т) = -(П). Поскольку полная энергия Е = Т + П, то (П) = Е, (Т) = — Е п+2 ' и+2 (в силу закона сохранения энергии Е = сонат и (Е) = Е). Если и = 2 (потенциальная энергия сил, линейно зависящих от г;) то (Т) = (П) — среднее по времени от кинетической энергии равно среднему по времени от потенциальной. Если и = — 1 (потенциальная энергия частиц, взаимодействующих по закону всемирного тяготения), то 2(Т) = †(П). ГЛ С ОБШИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ 3 17.
Общее уравнение динамики системы связанных материальных точек Рассмотрим систему Ат материальных точек. Будем предполагать, что между точками системы существуют связи, математически выражающиеся в наличии соотношений типа ~, [1, гт, ..., гн) = О, т = 1, ..., и < 31у, или типа У [1, гт,,, гн, гы..., гн) = О, 1= 1,, и < ЗАт. Связи первого типа называются голономными, второго типа кинематическими [см. также з 30). Связи тождественно выполняются для любого момента времени и для любых движений системы. Действие связей на материальные точки эквивалентно появлению дополнительных сил, называемых реакциями связей, так, что уравнения Ньютона системы связанных материальных точек могут быть записаны в виде тлггг = Рг + Ню lс = 1,..., И.
Здесь Рг — так называемые активные силы, В.г — реакции связей. Введем определение. Вирптуальным перемещением системы называется такое перемещение бгг, которое удовлетворяет линеаризованным в момент времени 1 связям [см. также 123): дут — бгг = 0 в случае голономных связей, дгг дат —.' . бгг = 0 в случае кинематических связей. в=1 дгг Понятие виртуального перемещения' обычно противопостовляется понятиям дейспгвитпельного перемещения и возможного перемещения. Действительным перемещением называется перемещение бгы удовлетворяющее и уравнениям движения, и уравнениям связей. Возможным перемещением бгг называется перемещение, удовлетворяющее уравнениям связей: ~т[1, гт + бгы ..., гн + бгн] = 0 (т' = 1,..., п) или Д[1, гт+ бгт,..., гн+ бгвт, гт+бгд,, гтг+ бгн) = О.
г 18. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Связи называются идеальными, если их работа на любых виртуальных перемещениях равна нулю: и» бг» = О. Если выразить из написанных выше уравнений Ньютона реакции связей и подставить их в это соотношение, получим уравнение (тл»г» — г») бг» = О называемое общим уравнением динамики.
Это уравнение выражает принцип Даламбера-Лагранжа: сумма работа актливных сил и сил инерции на любых виртпуольных перемещениях равно нулю. Пример. Найти ускорение груза тлт (рис. 24). В блоках отсутствует трение, нить невесома и нерастяжима. Решение. Система двух материальных точек тлт и тлг подчинена связи 2х+у = сопвс. Вид общего уравнения механики в этом случае (пттх" — тату)бх+ (тлгу — тгу)бу = О Виртуальные перемещения бх и бу и ускорения х и у связаны уравнением связи; бу = — 2бх, у = -2х. Подставляя эти соотношения в общее уравнение, имеем (птт(х — д) — 2птг(-2х — д))бх = О. Поскольку бх — произвольно, то тлт(х — д) — 2тлг( — 2х — д) = О, откуда находим д(тпт — 2тлг) птт + 4тлг Р.гв Глава 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
