В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Реактивиое движение Системы, рассмотренные в гл. 4, состояли из неизменного числа точек, каждая иэ которых обладала неизменной массой. Такие системы называются системами постоянного состава. Нередко, однако, приходится иметь дело с ситуацией, когда в процессе движения масса системы меняется. Если рассматривать системы, в которых за малые промежутки времени и масса изменяется мало, т.е. системы с непрерывным изменением массы, тогда система переменного состава может быть представлена как система постоянного числа точек, обладающих переменной массой В этом случае в число внешних сил, действующих яа каждую точку, следует включить так называемые реактивные силы, обусловленные изменением массы, к вычислению которых мы и переходим.
Материальная точка (материальное тело, размерами которого можно по смыслу задачи пренебречь) может иметь переменную массу тогда, когда к ней непрерывно присоединяются или его непрерывно покидают частицы исчезающе малой массы. рассмотрим два состояния материальной точки массы т в момент времени 1 и в близкий момент времени 1+ Ы. За время Ь1 к этой точке присоединилась частица массы Ьтн имевшая перед присоединением скорость иг, и точку покинула частица массы Лтг со скоростью иг. Подсчитаем количество движения системы точка и две частицы в моменты времени 1 и 1+ Ь1.
В момент времени 1 р = тч + Лтгиг. В момент времени 1 + 1з1: р + Ар = (гп + Ьтг — Лтг)(ч + апач) + Ьтгпг Изменение количества движения равно импульсу всех внешних сил, действующих иа точку и частицы: .с+а1 Ьр = (т+Ьтг — Ьтг)(ч+Ьч)+Лтгиг — гич — Ьт,иг = / Р'Н1. 6 Разделив это соотношение па Ь1 и устремив Ь1 к нулю, находим: Нч Ытг ~1тг т — + — (ч — и,) — — (ч — пг) = Р' Й Й Й ГЛ.
К СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ Или Иъ т — = Р'+Н, сй где реактивная сила имеет вид с1тпт фиг гс = — (пт — и) — — (пг — ч) . й Й Выражения пт — и и пг — ч представляют собой относительные скорости соответственно присоединяющейся и отделяющейся частиц. Полученное уравнение, обобшающее уравнение Ньютона на случай переменной массы, называется уравнением Мешерского.
Использование реактивных сил для движения описано в "Пневматике" Герона (1 век н.э.). Первое вычисление реактивной силы выполнено Д Бернулли в его "Гидродинамике" в 1738 году. Пример (обменные силы). Рассмотрим две достаточно длинные платформы, движущиеся параллельно друг другу (рис. 31). Платформы имеют одинаковую массу М и равные начальные скорости. Когда одна из платформ т догоняет другую, платформы начинают обмениваться грузом; причем количество массы, покидаюРис. 31 тцей платформу в единицу вре- мени, равно количеству массы, добавляющейся к платформе за это же время.
Будем полагать для простоты это количество постоянным. Скорость отделяющейся массы вдоль оси платформы равна скорости платформы (груз кидают перпендикулярно оси движения). Требуется определить движение платформ на интервале времени, в течение которого описанный обмен происходит в предположении, что никакие внешние силы на платформы не действуют.
Решение. Напишем уравнение Мещерского для каждой платформы: Нта, Итп Мх = — (ит — й) — — (иг — к), й й Итп Нтп Му — (ит — у) — — (иг — у). Й й По условиям задачи птп/пг = сопас, М = сопас, скорость частиц, прибавляющихся к первой платформе ит, равна скорости второй платформы: ит — — у и, наоборот, ит — — х, скорость частиц, покидающих первую платформу, равна скорости этой платформы: -иг = х и, аналогично, иг — — у. Поэтому написанная система принимает вид 1 Нтп'1 й=р(у — х), у=р(х — у) р= — — ).
М й) 1 2к теОРиЯ УДАРА Яз Реактивные силы, появившиеся в правых частях уравнений, носят название обменных сил, они приводят к выравниванию скоростей платформ. Действительно, общее решение написанной системы уравнений имеет вид т = А+ С1+ Ре г"' х = С вЂ” 2дйе г"' у =В+С1 — Ве г"', у=С+2рОе Произвольные постоянные А, В, С, В определяются начальными условиями. Видно, что если время действия обменных сил достаточно велико, то скорости х и у стремятся к общему значению: С = — [х(0) + у(0)].
1 й 21. Теория удара 1. Понятие об ударе. Ударом называется процесс мгновенного изменения скорости материальиой точки под действием мгновенных сил. Понятия мгновенного изменения скорости и понятие мгновенной силы являются весьма удобными в расчетах идеализациями той ситуации, когда конечное изменение скорости происходит за малые промежутки времени при кратковременном действии больших по величине сил.
Понятия "большая сила" и "малый промежуток времени" имеют смысл, когда зта сила сравнивается с какими-либо другими силами, действующими на точку, а время — с характерными временами, такими как, например, период собственных колебаний, время затухания переходного процесса и т.п. Кроме мгновенных сил иа точку могут пе действовать никакие другие. Тогда идеализация при помощи удара имеет субъективный характер: время действия мало по сравнеию со временем наблюдения, а сила считается большой потому, что за малое время приводит к конечным изменениям скорости.
Рассмотрим действие мгновенных сил на материальную точку. Движепие свободной материальной точки под действием силы Р подчиняется дифференциальному уравнению <Рг пг — = Р. йг Изменение количества движения материальной точки за время от 1в до 1 равно пгг — пгго = РЙ, гы ГЛ, Э. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ Векторная величина, равная с' Л=/ Рд1, м Этот предел и называетси ударным импульсом. Изменение количества движения материальной точки при этом равно Л(тг) = Л. То есть скорость рассматриваемой точки в момент времени 1о, в который действует ударный импульс, изменяется скачком. Заметим, что мгновенная сила за время своего действия ие производит перемещения материальной точки. Действительно, если еще раэ проинтегрировать исходные дифференциальные уравнения, то получим гс гс тг — тго —— тго(8 — 8о) + / Й / г Й Ха м и при переходе к пределу 1-+ го имеем тг — тго = О, поскольку 6 и а1 — ~ Л, м Лд1 — + О.
м 2. Общие теоремы теории удара. Общие теоремы динамики системы материальных точек могут быть переформулироваиы для случая, когда среди действующих па систему сил присутствуют мгновенные силы, следующим образом. Теорема об изменении количества движения при ударе. Аиалитическое выражение теоремы в общем случае называется импульсом силы за промежуток времени от 8о до Я 10).
Мгновенной силой, действующей па материальную точку в момент времени 1о, назовем такую идеализацию большой силы г, действующей на малом промежутке времени 1 — 8о, при которой следующий предел имеет конечное значение: э ак ТЕОРИЯ УДАРА 97 в котором в левой части стоит производная от количества движения системы материальных точек, а в правой части — сумма всех внешних сил, действующих иа эту систему, после интегрирования от 19 до 1 принимает вид При с -э 29 импульсы обычных сил стремятся к нулю, импульсы мгновенных сил, в соответствии с принятой выше идеализацией этих сил, стремятся к ударным импульсам: Р Ро=~' Зн Изменение количества движения системы матпериальных точек в момент удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему в этот момент.
Теорема об изменении моменгпа количества движения при ударе. Проинтегрируем от го до с аналитическое выражение для этой теоремы, записанное в общем случае в виде НК Н (~ — — '5 т,г„х г, =~ г„х Р.— Мг, х ччо, а — дг~- где ио — ускорение той точки (полюс), относительно которой вычисляются момент количества движения и момент внешних сил, г, — координата центра масс в системе, начало которой совпадает с подвижным полюсом, г„— координаты точек в этой системе. В результате интегрирования имеем К вЂ” Ко = / ~~~ г„х г „ас — / Мг, х ч~о дб зм зм При с -+ го в правой части остаются лишь моменты от внешних мгновенных сил.
Ко=~г хэ о Изменение момента количества движения системы материальных точек относительно произвольно движущегося полюса в момент удара равно моменту внешних ударных импульсов. Подчеркнем, что эта теорема имеет одинаковый вид независимо от того, подвижен или неподвижен полюс, совпадает ли ои с центром масс или иет.
ГЛ. 8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 98 Общее уравнение динамики системы материальных точек лри ударе. Общее уравнение динамики системы некоторого числа связанных материальных точек [(т„х„— Р „)бх„+ (т у„— Г„,)бу + (тл,г — Р„)бг ] = О для описания процесса удара может быть видоизменено следующим образом. Пусть среди сил Р присутствуют мгновенные силы. Обозначим эти силы через (л, и выделим их из сил Р„; Р„= С„+Ф где Ԅ— прочие, "обычные" силы Общее уравнение динамики будет справедливым н в случае, если гипотезу Лагранжа об идеальных связях распространить н на случай удара.
Осуществляя интегрирование за время удара, запишем 1 "-. =. -/. -/ . ( ( т( (т,г'„— Р„) й = т ТАг„— / Ф, й — / С„й. (а (а (а Поскольку Г . т' Ф, й -т О, / С„й + д„(~ -+ го), (а (а то общее уравнение динамики можно переписать в виде (тл Ьг„— Л ) бг =О, называемом общим уравнением теории удара. Теорема Ь'арно. В теореме Карно рассматривается система связанных материальных точек, на которую не действуют внешние ударные импульсы а„= О, но которая в некоторый момент времени подвержена внезапному наложению дополнительных связей, сохраняющихся в дальнейшем.
Такие связи называются неулругими, Общее уравнение теории удара в зтом случае имеет вид т„(гг бг = О. а Положим, что связи не зависят от времени. Тогда можно выбрать бг„ = (((г, и из написанного уравнения получим тл,(ㄠ— г„,)г = О. Е 1 эк теОРиЯ УДАРА Поскольку (г„— г„,)г„= (1/2)(г, — г„,)г + (1/2)г~ — (1/2)гг„то 99 т чг — =Т,— Т,, 2 где коэффициент сс, называемый коэффициентом восстановления, лежит в пределах О < /с < 1. Косой удар (рис.
32). Если скорость материальной точки перед ударом ие направлена по нормали к поверхности, то следует рассмотреть изменение обеих ее про- У екций (движеиие предполагается плоским). Для проекции иа кармаль используется, как и в случае прямого удара, гипотеза Ньютона; и+ = — сси г+ э г Для того чтобы связать доудариые и послеудариые значения составляющей скорости вдоль пре- Р..Зг пятствия, требуется новая гипотеза. Употребительными являютсядве гипотезы. Первая использует закон Кулона, связывающий нормальное и касательное усилие при сухом трении (гипотеза Рауса), что приводит к соотношению и~ — и, = /(и+ — и„) — приращение скорости в касательиом направлении пропорцио- нально приращению скорости в нормальном направлении, где ч, = г, — г„, То — — ~,(т„/2)гг„Тс — — 2 (сп /2)г~.
Потеря кинетической энергии при наложении неупругих связей равна кинетической энергии потерянных скоростей. 3. Удар материальной точки о препятствие. Препятствие, о которое происходит соудареиие материальной точки, полагается неподвижным в некоторой ииерциальиой системе координат. Удар называется прямым, если скорость материальной точки перед соударением направлена по нормали к поверхности препятствия в точке соудареиия. Удар называется абсолютно упругим, если скорость материальной точки при ударе меняется яа противоположную: о+ = — о (о — скорость до удара, и+ — после). Удар называется абсолютно неупругим, если после удара материальная точка осталась иа поверхности, т.е.
и+ = О. Промежуточный случай выражается гипотезой Ньютона: ГЛ.З. СПЕЦИАЛЪНЪ|Е ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ |оо коэффициент сухого трения. Подставляя в это соотношение связь между нормальными составляющими, получим о+ — о, = — у(1+ |с)о„, что и выражает в окончательмой форме гипотезу Рауса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
