В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Другая, более простая гипотеза основывается ма предположении, что изменение касательной составляющей скорости пропорционально доударному значению этой составляющей: Стесненнма удар. Стесненным ударом называется удар несвободной материальной точки о неподвижное препятствие, т.е. точки, стесненной некоторыми связями с другими точками. В случае нестесненного косого удара движение материальной точки характеризуется равенством угла падения углу отражения, когда удар абсолютно упругий, и большим значением угла отражения для неупругого удара (угол измеряется от нормали), В случае стесненного удара равенства этих углов может не быть даже для абсолютно упругого удара. Рассмотрим пример на рис. 33.
Две одинаковые массы, связанные абсолютно жестким, невесомым стержнем, совершают плоское движение. Одна из масс сталкивается У с неподвижной преградой, характеризуемой неудерживающей связью у > О, Перед ударом скорости х, у, |о произвольО1 ны. Требуется найти приращения этих скоростей с3х, Ьу, с||ф, возникающие в 1 результате удара в предположении, что х х удар идеальный (кинетическая энергия системы в момент удара не изменяется).
Рис. 33 В этом примере материальная точ- ка в момент удара находится под действием двух мгновенных сил: одна сила направлена по нормали к поверхности, о которую происходит соударение, вторая сила направлена по стержню, связывающему две точки, и определяет реакцию связи в момент удара. Это и объясняет более сложную картину движения, чем в случае свободной материальной точки. Общий метод решения подобных задач дан в 3 32.
Столкновение двух материальных точек. Рассмотрим простейшую ситуацию, когда сталкиваются две движущиеся по одмой прямой материальные точки. Пусть их массы т| и то, а скорости о| и от соответственно. Скорости измеряются в той системе отсчета, в которой центр масс неподвижен. ~ 21. ТЕОРИЯ УДАРА 101 Из закона сохранения количества движения имеем ти101+ тптгг = О. Это соотношение справедливо как для доударных скоростей, так и для послеударных, поскольку никаких внешних мгновенных сил не предполагается. Из этого следует пт1 0 = — — В 1 то 2 + тл1 + ~г = 1.
тпг Гипотеза Ньютона для двух сталкивающихся материальных точек состоит в равенствах: + 01 — — /СЮ1 ) Этими равенствами свиэаны не только скорости точек относительно их общего центра масс, но и доударная и послеударная относи- тельные скорости и = ттз — 01; и+ = — Йи ЫК вЂ” +шх К=гхр. й Если одно иэ тел много больше другого (тпт » п12), то задача о столкновении двух точек переходит в задачу о столкновении точки с неподвижным препятствием. 4. Удар шаров.
Задача об ударе шаров в предположении, что ударный импульс направлен по общей нормали к поверхности шаров в точке касания, сводится к задаче у об ударе двух материальных точек. Действительно, проведя ось в через центры шаров в момент удара т (рис. 34), заключаем, что изменение количества движения любого из шаров в проекции на ось у равна нулю (поскольку сила взаимодействия между шарами не имеет проекции на эту ось), Следовательно, проекции скоростей шаров Рис.
34 на ось у в момент удара изменений не претерпевают. Что касается проекций этих скоростей на ось х,то они подчиняются законам, установленным для удара двух точек. 5. У2щр твердых тел. Теорема об изменении момента количества движения относительно неподвижной точки, записанная для твердого тела в проекциях на жестко связанные с ним оси, имеет вид (уравнения Эйлера) гл.
ь. спкцилльнык злдлчи динлмики 102 где щ — угловая скорость твердого тела, г — радиус-вектор точки приложения мгновенной силы Р. Интегрируя это уравнение на интервале от 1о до г, на котором действует мгновенная сила, имеем г1 гс К вЂ” Ко + / 1о х К д1 = г х / Р дг ы ы (предполагается, что точка приложения мгновенной силы не изменяется за время от 1о до 1). Переходя к пределу, получим г1 г1 1пп / ш х К д1 = О, 1пп / Р д1 = Л 1-Но 1 о Ф-НО ! о и для изменения момента количества движения тела при ударе получается К вЂ” Ко = г х Л.
Гироскопические свойства тело при ударе никак не проявляются: изменение момента количества движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, под действием ударного импульса имеет одинаковый вид как в проекциях на неподвижные оси, так и на связанные с телом оси. Действие удара на гпвердое те- Х ло, имеющее неподвижную ось врар 1б щения. Рассмотрим твердое тело 1 1 в системе координат куг, ось г ко- ~1 торой направлена по оси вращения 14 Ь тела (рис. 35). Центр масс тела находится в точке 0(с, 11, ~).
В точке Р(а, Ь, с) к телу приложен ударный импульс Л = (,7„,7г,,У,). х Поставим задачу: найти точку Рис. 35 приложения импульса, т.е. вели- чины а, Ь, с, такие, чтобы ось вращения не испытывала ударных нагрузок. Такая точка существует, и она называется центром удара. В результате удара первоначально покоившееся тело приобретает вокруг оси г угловую скорость ы. По теореме об изменении количества движения имеем -Мо 1! = .Уг, Мо1( = 3г, По теореме об изменении момента количества движения —,У„ы = — сЯ„ ,7,.ь =,7га — .7,Ь.
то~ ы ся~ '2' 22. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ 103 В этих соотношениях через М обозначена масса тела, а через ,7„, Яу...7„обозначены моменты инерции тела относительно соответствующих осей. Из условия .7, = 0 следует, что ударный импульс должен быть перпендикулярен оси вращения. Неподвижную систему хух можно выбрать так, чтобы ударный импульс лежал в плоскости ху; кроме того, поворотом этой системы вокруг оси х можно добиться ортогональности этого импульса оси х, Таким образом, без ограничения общности можно считать, что,7 = О. Тогда приведенные выше соотношения примут вид — Мшй = О, Мы( = .7ю —.7усы = О, —,7у,ь~ = 0,,7д,~ ~ — — О.7у. Отсюда следует; и = 0 — центр масс должен лежать в плоскости, перпендикулярной ударному импульсу и проходящей через ось вращения;,7, =,7„, = 0 — ось вращения должна быть главной осью инерции тела в точке 0; а =,7„/(Мс), 6 — произвольно, 8 22.
Теория рассеяния частиц Ставится следующая задача. Пучок легких электрически заряженных частиц, летящих из бесконечности, имеет первоначально цилиндрическую форму, Пролетая вблизи ядра тяжелого элемента, каждая частица испытывает воздействие со стороны ядра посредством кулоновой силы, Вследствие этого при удалении частиц в бесконечность пучок приобретает коническую форму (рис. 36).
Это явление называется рассеянием частиц. Будем предполагать взаимодействие частиц друг с другом несущественным и сведем задачу к задаче двух тел (218) с тем только отличием, что вместо силы притяжения будем иметь в виду силу отталкивания. Рис. 36 ГЛПЪ СПЕЦИАЛЪНЪ|Е ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 104 Обозначив массу легкой частицы гп, а массу ядра М, в системе координат, связанной с центром масс ядра и частицы, получим Е1Ег Г Г тг= Й (1+ т/М) г г ' где е1 и ет — электрические заряды ядра и частицы, имеющие одинаковый знак, А — множитель пропорциональности, зависящий Рис.
37 от выбранной системы единиц, г — радиус-вектор легкой частицы. Как и в 118 введем в плоскости движения полярную систему координат я = г сов ~р, у = гв1п1е (рис. 37). Тогда в переменньпс г и 1е уравнения движения примут вид т о И т(г' — ту~) = —, — (тг~1е) = О, гт ' 111 Являющийся постоянным в сил~ второго уравнения момент количества движения частицы гпг 1о может быть выражен через скорость частицы на бесконечности г' и через прицельное расстояние рл К = тг 1о = тК,> р. Выполняя, как и в 118, подстановку Вине, найдем с очевидным начальным условием и(О) = О.
Начальное условие для пи/пу найдем, используя равенство пг, пг К К Ыи 1171 тгт т гор Поскольку при у = О г = — У, имеем 'г гг. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ гов После этого решение написанного дифференциального уравнения второго порядка с указанными начальными условиями получается в виде тпа 1 — (сов у — 1) + — в!и у Кг р Или, учитывая выражения для К = тК„Р а 1 и = г г(сов'Р 1)+ в!ПУ, 1тг рг Р Нас интересует то значение угла у, при котором г снова уходит в бесконечноствс а 1 (сов у 1) + в!и у — О, Р откуда находим связь прицельного расстояния р с углом, опреде- ляющим отклонение траектории: а 1 — сову а у а ве Р г — "в — с!в (ж = У).
т(тг яп у т)тг 2 т1тг 2 Пусть теперь дУ вЂ” число частиц, рассеиваемых внутри угла от ж до ж+ йж. Число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади в исходной трубке, обозначим буквой и. Отношение д1'т' Ьо=— п носит название дифференциального, эффективного поперечного се- чения рассеяния. В луч, заключенный между углами ж и ж + Ыж, попадают частицы, которые в начале движения прошли через кольцо с внутренним диаметром р и внешним р+др.
Таких частиц в единицу времени проходит Щ10 и 2ярдр ж япдрг Следовательно, д д г Подставляя сюда найденное выше значение р, находим выражение для абсолютной величины йт: а 1 сов (ж/2) д ж ~ ~ ф 2 ~~ 2 ~ 3 д тгтг т з( Это выражение называется формулой Резерфорда. От угла дж удобно перейти к телесному углу дд; <И = 2яяп ж дж. Формула Резерфорда тогда приобретает.
вид ж а '~ Ыд 2тУг ) яп~ (ж/2) Часть 111 Лагранжева механика Глава 6. Уравнения Лагранжа для голономных систем 3 23. Основные определения Механической системой будем называть конечную или бесконечную совокупность материальных точек в трехмерном евклидовом пространстве.
Будем говорить, что полажение механической системы известно, если известно положение любой ее точки в некоторой декартовой системе координат. Сказанное означает, что нам известна вектор-функция; х(и) у(и) г(и) и=н(и) = ставящая в соответствие точке системы, имеющей номер и, ее декартовы координаты х, у, г. два разных положения механической системы Н1(и) и Вг(и) близки друг другу, если точки гс1 и Нг близки в смысле метрики трехмерного евклидова пространства Ез для любого м. Механическая система называется системой с конечным числом степеней свободы, если можно ввести такое конечномерное линейное (векторное) пространство В'" и такое множество точек М в нем, что между всеми возможными положениями механической системы и всеми точками множества М С Л'" имеется взаимно-однозначное соответствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
