В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Гипотпеза идеальных связей. Связи называются идеальными, если виртуальная работа реакций связей тождественно по бд равна нулю. Для того чтобы связи были идеальными, необходимо и достаточно равенство нулю коэффициентов линейной формы виртуальной работы, вычисленных для Р = Р'. у;(Р') = / — Р~ Нт = О. у дь Достаточность этого условия очевидна; необходимость следует из условия независимости вариаций бд; и имеет место только для голономных систем. Определение. Коэффициенты линейной формы виртуальной работы заданных сил Р называются обобн1еннмми силами рассматриваемой механической системы: ГдВ х (з = / — Р бт. ,/ дрон Из уравнения Ньютона В.
— Р = О следует бгн / — (В.— Р) бт = О. ГОН ',/ ду; Или, предполагая выполненной гипотезу идеальных связей и учи- тывая обозначение для обобщенных сил: Если система голономна, то все бд< независимы и из этого соотно- шения следует — В.бт =11; (1 = 1,..., и). дК дд; Вычислим стоящий в левой части равенства интеграл, для чего установим предварительно некоторые соотношения г га ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА Отсюда находим; д'1г дй. дд; дв' Наряду с этим соотношением покажем переставимость операций полного дифференцирования по времени с операцией частного дифференцирования по координате: д дй. дгй дгй, ог дд, дгддг х; дд~дд, г' С другой стороны, ду дгй дгй — +~ — 6 дд; д1,д1 .
дндеу г И если частные производные переставимы, то д дй. дУ дгдд; дй;' Интересующий нас интеграл представим в виде — й. дпг = — — у' дгп — — — у' дпг. Или, используя выведенные выше соотношения, находим: Кинетической энергией (г 10) механической системы называется следующий интеграл: 1 Г Т= — /У у пгп. 2,/ Учитывая это обозначение, окончательно уравнения дй. — й. дпг = Я, дя, можно переписать в виде ддТ дТ вЂ” — — — = б)г (1 = 1, ..., п).
дг д4< дд, 9 Зэк 233 Ые ГЛ.В. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЪ|Х СИСТЕМ Это и есть уравнения Лагранжа для голономных механических систем. Обобщенные силы |)| называются потенциальными, если существует такая скалярная функция времени и обобщенных координат П(1, ды, еп), что силы |е; могут быть представлены в виде дП |г| = — (1=1,..., п). ду; Обобщенные силы |е| называются обоби|енно патенциальннми, если существует такая функция времени, координат и скоростей П(1, ды, й„, дъ ..., у'„), что обобщенные силы могут быть представлены в виде дП ддП вЂ” — — — (1=1, ..., и).
дд| й дд В обоих случаях можно ввести функцию Г.=т+и, называемую функцией Лагранжа, или лагранжианом, или кинетическим потенциалом системы, с использованием которой уравнения Лагранжа можно представить в виде а' дб дь" — — — — =О (|=1,,п). а| дд| дд| Пример 1. Силы, линейно зависящие от координат |г, = ~~ а; д , с симметрической матрицей 1а, ), т.е. а; = а ъ имеют потенциал Пример 2. Силы, линейно зависящие от скоростей 1 зэ, сВОйстВА УРАВнений лАГРАнжА 115 с кососимметРической матРицей (т;,.), т.е. то = — тг, имеют обобщенный потенциал 1,~-, и=-7 Т,,Оп),.
2 ~- Ф, 1 '1'акие силы называются гироскопическими. 2 25. Свойства уравнений Лагранжа 1. Ковариантность. Если обобщенные координаты о, подвергнуть невырожденным дважды непрерывно дифференцируемым преобразованиям о; -> о,; Чс = %(1 9) то в новых переменных уравнения Лагранжа сохранят свою форму. Сказанное означает коммутативность следующей диаграммы: ддТ дТ вЂ” > — — — — =Я вЂ” г е(1 д4 дд ЛВИЖВНИИ ддТ дТ вЂ” + — — — =Я вЂ” + д1 д~ дд Справедливость утверждения очевидна, поскольку переменные о1 также являются локальными координатами конфигурационного многообразия системы.
Напомним (52), что коварнантность уравнений движения означает инвариантность правила их составления (уравнения Лагранжа), а не инвариамтность самих, полученных в результате применения этого правила уравнений. 2. Калибровочная инвариантность. Если к кинетической эмергии системы добавить полную производную по времени от произвольной гладкой функции времени и обобщенных координат, то уравнения Лагранжа не изменяется: Т(1, д, д) + — 1(1, д). д1 Это утверждение проверяется прямой подстановкой так иэмеменной кинетической энергии в уравнения Лагранжа.
Ыб ГЛ,В УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЪ|Х СИСТЕМ 3. Структура кинетической энергии. Выясним, как зависит кинетическая энергия механической системы от обобщенных скоростей д;: г 2/ 2/~ дг ~- ду, '/ 1 чг,, ГдН дН тз . ГдН дК = — ~) д;д / — — дт+ 7 ег / — — дт+ 2 -, ' '/ дд, дд. х-. './ дг дуг 1 )'дН дй. +- / — — Ыт 2,/ дг д1 Введем обозначения Кинетическая энергия записывается в виде 1 Т = — 7 обе,е; + ~~~ 'Ьгуг + Тэ — — Тг + Т + Т 2 '-; и представляет собой сумму трех форм от обобщенных скоростей; квадратичной Тг —— (1/2) '> аг днг1, линейной Тг = 2 6;д, и формы нулевой степени Те(1, д).
Коэффициенты этих форм являются функциями времени и обобщенных координат: а;.(1, д), 6,(1, д), Тв(1, д). Механические системы, у которых кинетическая энергия зависит от обобщенных скоростей указанным образом, называются натуральными. 4. Невьгрожденность. В силу указанной структуры кинетической энергии уравнения Лагранжа всегда оказываются линейными по обобщенным ускорениям: аддг+гг(1, д, д) =О, г=1, ...,и, Матрица коэффициентов при ускорениях А = (а, ), являющаяся матрицей квадратичной части кинетической энергии, невырождена.
с1ег А ~ О. Для доказательства этого факта предположим противное, т.е. пусть с1есА = О. Тогда следующая алгебраическая система относительно неизвестных чисел е имеет нетривиальное решение а, е =О, 1=1,...,п. Е г г гз сВОйстВА УРАВнений лАГРАнжА 117 Пусть имеем такое решение: ~ , 'ег = 1. Оно определяет направление в пространстве обобщенных скоростей (дг), вдоль которого кинетическая энергия системы принимает вид Т=и~ 61е;+То. здесь и — модуль вектора (дг) = и(ег), а г Тг — — — ~~~ а; егеу = О. Вспоминая выражения для Тг. заключаем, что оно может быть тождественно по и равным нулю, тогда и только тогда, когда дй, — е,=О, дд; 1 что противоречит введенному ранее определению локальной пара- метризации. 5. Принцип наименьшего действия по Гамильтону.
Действием по Гамильтону называется следующий функционал: ставящий в соответствие произвольной' дифференциуемой кривой (Ч1(1)) число Я. Рассмотрим семейство кривых, проходящих в моменты времени и 1г через две заданные точки д' и дь. Параметр семейства а выбран так, что при а = 0 кривая этого семейства является действительной траекторией, соответствующей решению краевой задачи д дь" дь" — — — = 0 Ч(11) = Ч'1 Ч(гг) = Ч дг дд дд На рис. 44 эта кривая изображена жирной линией. Решение этой краевой задачи является единственным, если точки д' и дь выбраны достаточно близко друг к другу Эти точки Ыв ГЛ.Е.
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ если для них решение поставленной краевой задачи единственным не является. Будем предполагать, что на действительной траектории нет кинетических фокусов, сопряженных точке о' (включая точку д~). Тем самым все остальные кривые семейства д(1, а) при а ф О решениями постаое вленной краевой задачи не являются. При подстановке этого семейства в функционал, выражающий действие по Гамильтону, мы получаем скалярную функцию скалярного аргумента 5(а). Рис.
44 Если семейство является дифференци- руемым по а, дифференцируемой по а будет и функция 5(а). Кривая семейства, для которой дд/да = О, называется эксгпремолью действия по Гамильтону. Теорема. Действительная траектория (а = 0) и только она является экстремалью действия по Гамильтону. ,Показательство, Второе слагаемое под знаком интеграла можно проинтегрировать по частям: Поскольку все кривые семейства проходят через точки д' и де, то и производная оо/аа принимает вид Если а = О, то дС/дд — д(дл,/дд)/й = О и оо/да = О. Если дд/Ыа = О, то, в силу произвольности дй/да, имеет место дь" д дŠ— — — —.
=О. дд аде Теорема доказана. 9 25. СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 119 В вариационном исчислении доказывается, что на самом деле экстремаль действия по Гамильтону обращает его в минимум. Это означает, что для любых кривых, достаточно близких к действительной траектории и с достаточно близкими скоростями (((у(1, а) — у(1, О)(( < е, ((у(1, а) — у(1, О)(( < е), действие по Гамильтону строго больше действия вдоль действительной траектории.
Такой экстремум называется слабым, в отличие от сильного экстремума, когда ограничений на скорости нет. 6. Движение по геодезическим. Если в системе обобщенные силы отсутствуют, то функция Лагранжа совпадает с кинетической энергией: б(1, у, у) = Т(1, у, у). Рассмотрим стационарную систему 1 Т(1, У, У) = — ~ а;;(У)У;У1. Экстремаль действия по Гамильтону будет экстремалью функционала, в котором вместо функции Лагранжа стоит произвольная дифференцируемая и монотонная функция от функции Лагранжа. В частности, на действительных траекториях минимальным будет интеграл представляющий собой длину кривой от точки у' до точки уь: гм Я = ( ~~1 сн (у)11~1Ы~у в метрике, определяемой кинетической энергией, т.е.
геодезическая, проходящая через рассматриваемые точки. Таким образом, движение по инерции стационарной лагранжевой системы представляет собой движение по геодезическим ее конфигурационного многообразия. Пример. Рассмотрим движение по инерции материальной точки на поверхности единичной сферы (рис. 45). В сферических координатах (у1, уз) кинетическая энергия имеет вид 2'Г = тп(уз1 созз уз + уз9). Точки уа и уь будут сопряженными кинетическими фокусами, если они диаметрально противоположны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
