В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 21
Текст из файла (страница 21)
если найдется такая скалярная функция У(х1, , х„), что дР— /с=1,..., и. дхь' Потенциал Р называется невырожденным, если Пе5 ф О. Этот потенциал называется сильно невырожденным, если уравнения уь = 15(х1, ..., х„) можно гладко и взаимно однозначно разрешить относительно переменных хь. хь = Уь(У1,..., У„), /с = 1, ..., и. ГЛ.7. УРАВНЕНИЯ РАУСА !26 Теорема. Если преобразование уу = уу(хн ..., х„) потенциально, а потенциал И(хн ..., х„) сильно невырожден, то обратное преобразование ху = |ру(у1, ..., у„) (А = 1, ..., и) также потенциально и его потенциал уу(уы..., у„) также сильно невырожден и связан с потенциалом И формулой И'(у у.) = [~~,х у — 1'(х, * )1 3х~,—— у~(уь,у ) ,~7оказап2ельство. Продифференцируем написанную формулу по уу Поскольку д1//дх, = уь то из этого следует дИ' — = ~у(уы ", у.), дуу т.е.
преобразование ху = 1уу(ун ..., у„) — потенциально. Потенциалы у' и И' называются сопряженными, 9 29. Уравнения Рауса Воспользуемся преобразованием Лежандра для построения уравнений Рауса. Преобразованию подвергаются фазовые переменные (В,, у», Чы, у.) -+ (В, ", у-, В,, В, И+,, р.), т.е. на самом деле преобразовываются не все фазовые переменные, а лишь у = и — ! обобщенных скоростей. В качестве потенциальной функции для соответствующего преобразования возьмем выражение для кинетической энергии: дТ ру = —,, /с=1+1, ...,и.
дуя Все остальные переменные остаются параметрами. Потенциал обратного преобразования называется функцией Рауса и, в соответствии с теоремой предыдущего параграфа, он имеет вид ~ 29. УРАВНЕНИЯ РАУСА. шт В правой части этого выражения всюду вместо 4 надо подставить их выражения через р„получаемые после обращения преобразований рк = дТ(дчк Уравнения в новых переменных вместо исходных уравнений Лагранжа получаются с использованием функции Рауса. Действительно, для ! = 1, ..., 1 имеем дй т дь т дТ дик дТ дТ ддг х дт< ~ ддк дд< ддг де, ' д1с дТ дд< дв Поэтому для первых ! уравнений получаем д дТс дŠ— — — — =-д< !!=1, ...,!), д! дд; дд; т.е они сохранили форму уравнений Лагранжа с заменой знака перед обобщенными силами.
Для оставшихся переменных = ! + 1, ..., и: дТс дТ де, дог ' дй т д!!к . т дТ ду~ Рк+ Ь вЂ” ~, —.— = Ь др; ~-~ др; х-'дек др, Подстановка этих соотношений в уравнения Лагранжа дает дрг — = — — +ф, 1=!+1,...,п, Й дд; В итоге полная система уравнений Рауса получается в виде д дТс дТс д! дд, ду; И~; дТс др; дТс — — — = — — +ф 1=!+1,..., и. й др,' й дд, Уравнения Рауса оказываются удобными при исследовании систем с циклическими координатами. Уточним здесь введенное в ГЛ.К УРАВНЕНИЯ РАУСА ггэ г 27 понятие циклической координаты.
Координата о; называется циклической, если 1) от нее не зависит функция Рауса: дЕ/дд; = О; 2) от нее не зависят обобщенные силы: дО/ду; = О; 3) обобщенная сила, соответствующая этой координате, равна нулю: 1у; = О. Пусть в системе последние и — 1 координат циклические, тогда в уравнениях Рауса Ыр;/й = О (1 = 1+ 1, ..., и) и лагранжева часть уравнений полностью отделяется, поскольку в функции Рауса и в обобщенных силах переменные р; оказываются постоянными, а от циклических переменных, по определению, зависимости нет. Сами циклические переменные о; находятся после того, как проинтегрирована система Н д1с дŠ— — — — = — О1 (1' = 1, ..., 1) й дд; дйн простой квадратурой (1 = 1 + 1, , п) д дй дЯ вЂ” — — — = — Яп (1 = 1,..., 1), йдщ дд; до; дЯ.
й др;' (1=1+1,..., и). В случае псевдоциклических координат использование преобразования Лежандра с соответствующим числом 1 приводит к понижению порядка системы на и — 1 единиц. Процедура исключения циклических координат посредством перехода к уравнениям Рауса носит название процедуры игнорирования циклических координат по Раусу. Уравнения Рауса используются также для систем с неудерживающими связями (З ЗЗ).
Таким образом, для систем с циклическими координатами указанное преобразование Лежандра позволяет понизить порядок системы на 2(п — 1) единиц. Координаты называются псеедоцикхнческими, если из трех условий циклических координат не выполнено второе, т.е. силы могут зависеть от этих координат Свойство др;/й = О (1 =1+ 1,..., и) выполнено и в этом случае, однако, отделившейся оказывается следующая система: 1 зо клАссиФикАция сВязей 129 Преобразование Лежандра, осуществленное над всеми обобщенными скоростями д„приводит к частному случаю уравнений Рауса, называемому уравнениями Гамильтона 1266).
Глава 8. Уравнения систем с дополнительными свяЗями 9 30. Классификация связей Помимо тех связей, которое определили конфигурационное многообразие голономной механической системы 12 23), на систему могут быть наложены дополнительные связи, которые можно аналитически задавать соотношениями на обобщенные координаты и обобщенные скорости.
В зависимости от вида этих соотношений различают следующие типы связей. 1. Голономные связи. Они выражаются уравнениями, в которые скорости не входят уь(1, д1, ..., д„) ь О 1а = 1, ..., гп). Эти связи изменяют конфигурационное многообразие системы и при введении независимых обобщенных координат они могли быть учтены с самого начала. Число степеней свободы при этом равно и — гп. Однако есть возможность учесть эти дополнительные связи и после того, как параметризация системы была выполнена без их учета, посредством введения дополнительных членов в уравнения Лагранжа.
Об этом речь идет в следующем параграфе. 2. Кииематические связи. Эти связи выражаются уравнениями вида и сь111, д)д, +1ь(1, 9) = 0 1С = 1, ..., п2). ~=1 Напрашивается более общий вид этих связей, в котором зависимость от скоростей является нелинейной: 1511, д1,..., д„, д1,, 1) ) = 0 (в = 1,..., гп).
Однако рассмотрение подобных связей не имеет большого смысла. Все известные конкретные примеры кинематических связей выражаются именно линейными по скоростям соотношениями. Попытки построить искусственно примеры нелинейных кинематических связей успеха не имели. В 1915 году французский механик Делассю изучал вопросы принципиальной реализуемости таких связей и пришел к отрицательным результатам. |ЗО ГЛ.8. УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ С ДОПОЛНИТЕЛЪНЪ|МИ СВЯЗЯМИ Линейные кинематические связи можно записать в следующей эквивалентной форме; и сг|(1, д)Щ+ 1г(1, д)й = 0 (Л = 1,..., гп). Введем следующие обозначения для стоящих слева дифференциальных форм: в щ, = ~~~ сг|(1, д)е|д|+!г11, д)й.
|=1 Если существует матрица г х гп (г < гп) н=(лу ),„ с зависящими от 1 и д элементами, такая, что г соотношений |Луг) . = О представляет собой г полных дифференциалов Н,(|,д) =О 11=1,...,.), то исходные гп кинематических связей можно свести к гп — г кинематическим связям и г голономным связям: Л(|, д) = сопзС (1 = 1, ..., г). Кинематические связи при этом называются интпегрируеммми. Если г = гп и матрица Н невырождена, то эти связи называются вполне интегрируемыми. В последнем случае кинематические связи могут быть целиком заменены конечными связями.
Если кинематическими связи не являются вполне интегрируемыми, то они называются неголономннми. Условия, позволяющие установить полную интегрируемость уравнений кинематических связей, составляют содержание теоремы Фробениуса, которую можно найти в теории систем дифференциальных уравнений Пфаффа. При составлении уравнений движения механических систем с кинематическими связями вопрос об интегрируемости этих связей никакого значения не имеет, поэтому мы на этой теореме останавливаться не будем. з зо. клАссиФикАЦиЯ сВЯзей 131 Отметим только качественные отличия в движеиии систем с интегрируемыми и с неинтегрируемыми (неголономными) связями. Кинематические связи в обоих случаях не изменяют конфигурационного многообразия системы, и система может находиться в любой точке многообразия. Однако если в случае неголономвых связей систему можно из любой точки многообразия перевести подходящими силами в любую другую, то для случая вполне интегрируемых связей система из точки д~ может быть переведена в точку уз только, если Последним соображением можно пользоваться для проверки неинтегрируемости кинетических связей, не прибегая к теореме Фробениуса Пример.
Рассмотрим движение конька по льду. Будем себе представлять конек тонким стержнем, одна из точек которого, например центр масс, может иметь скорость, направленную только вдоль конька. Положение конька можно описать тремя коордиматами: х и у — коордииаты центра масс на плоскости и ~р— угол наклона конька к оси х.
В процессе движения введенные переменные подчинены условию хз1п1з — усову = О. Эта кинематическая связь пеиитегрируема, в чем легко убедиться, заметив, что из любой точки (х1, у1, 1г1) конфигурационного многообразия конек может быть переведен в любую другую (хг, уз 1эз), например, таким способом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
