В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Связь исключена. Имеем систему, для которой справедливы уравнения Лагранжа ддТ дТ вЂ” — — — =Х а дх дх ддТ дТ вЂ” —, — — = У. й ду ду Подставляя сюда найденные выражения для кинетической энергии и обобщенных сил, получим 1ПХ = (К1(1, )Х), У, Хв!КП Х, У)3!КП Х, гпу = кгг(2, )х), у, Х318п х, у). Полученные уравнения описывают движение материальной точки на бесконечном интервале времени, включая любые фазы движения.
После того как решение этой системы х(1), у(2) найдено, подстановкой его в выполненную ранее замену находим решение в исходных переменных д1(г) = )х(г)), дг(к) = у(2). Пример. Пусть движение пружинного маятника ограничено так, что его перемещение из положения равновесия возможно только в положительном направлении (рис. 48). Допустим также, что при выходе на ограничитель возникающий удар является идеально упругим.
Тогда уравнения движения такого маятника можно записать в следующей форме: я+у=О, д > О, — д = О. 11 Зак 233 (способ доопределения производной от модуля в нуле большого значения в дальнейшем не имеет) Кинетическая энергия в новых переменных приобретает внд Т = (х + у )/2, она оказалась ннвариантной по отношению к 2 2 выполненной замене переменных. Подсчитаем обобщенные силы, которые будем обозначать Х н У В соответствии с определением обобщенных сил (224) имеем 146 ГЛ.В. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ Эти уравнения состоят из двух существенно отличающихся частей. Первая часть представляет собой дифференциальное уравнение, справедливое лишь тогда, когда движение удовлетворяет строгому неравенству. Вторая часть, заменяющая дифференциальное уравнение в моменты, когда неравенство превращается в равенство, связывает значения скорости в моменты времени, непосредственно предшествующие удару, со скоростями сразу после удара, Рис.
4В Такая форма уравнений движения предопреде- ляет и способ их решения, состоящий в отыскании кусков траекторий между ударами с последующим их сшиванием в моменты удара. Между тем при помощи указанной выше негладкой замены переменных можно получить дифференциальные уравнения движения, справедливые в любой момент времени и не дополненные никакими условиями на скорости. В рассматриваемом примере исходное описание системы таково: кинетическая энергия Т = дт/2, обобщенная сила 1'.1 = -в, неудерживающая связь д > О, Производим замену переменной: в -4 х; д = ф. Кинетическая энергия инвариантна к этой замене; Т = хт/2 Обобщенная сила Х пересчитывается в новую обобщенную силу так: Х = Яз1йпх = -вв1йпх = -фз1йпх = — х.
В этом примере и выражение для обобщенной силы оказалось инвариантным к выполненной замене, Исходная неудерживающая связь ни к каким ограничениям на новую переменную не приводит. Уравнение движения в переменной х имеет вид в+х= О. Его общее решение, справедливое на бесконечном интервале времени, таково: х = С1 сов1+ Ст шп К Подстановка этого решения в выполненную замену дает общее решение исходной задачи; д = (С1 сов 4 + Ст вся в!. 3 33. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ 147 3. Система с каноиической формой кинетической энергии.
Рассмотрим механическую систему с неудерживающими связями общего вида. Кинетическая энергия, обобщенные силы и неудерживающая связь заданы функциями В механических системах с удерживающими связями большое значение имеет число наложенных связей, прямо связанное с числом степеней свободы. В системах с неудерживающими связями дело обстоит по-другому. На рис. 49 изображен случай двух пеудерживающих связей /1(1, д) > 0 и уз(1, д) > 0 Понятно, что случай сводится к одной связи, имеющей угловые точки при пересечении поверхностей, определяемых каждой связью в отдельности. Таким образом, 47 связь /(1, д) без ограничения общяости может считаться скалярной, а различные предположения о гладкости могут делаться в зависимости от потребностей коикретных задач.
Если функция /(~, д) — гладкая, то существует гладкая замена переменных Ч1 д -4 г, такая, что неравенство, выражающее связь, может быть приведено к виду г1 > О. Иными словами, функцию, выражающую иеудерживащую связь, можно выбрать в качестве новой обобщенной координаты. Выбор других новых обобщенных координат ограничен только требованием невырождениости осуществляемой замены переменпых. Можпо считать, что исходная система уже имеет такой вид, т.е. ДГ, д) = д1 > О. Для удобства в дальнейшем введем для компоненты 91 специальное обозначение 91 — — а.
Введем также обозначение для оставшихся компоиент (97, ..., 9„)' = у. (Штрих, как и ранее, обозначает транспонирование, все векторы изображются как матрицы-столбцы.) С учетом этих обозначений рассматриваемая система приобретает вид Т(Г,а,у,з,у), Б(С,з,у,з,у), У(7,з,у,з,у), 3 > О, где о и У вЂ” обобщениые силы, соответствующие координатам 3 и у. Кинетическая энергия, как это следует из 325, в общем случае имеет вид Т = Тз+Т1 +То. Однако члены, получающиеся в уравнении Лагранжа от дифференцирования Т1(1, д, д) и Тд(1, 4), можно присоединить к обобщенным силам 5, У. Поэтому в дальнейшем под кинетической энергией будем понимать только ее квадратичную часть: 11 Г48 ГЛ.8, УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СС СВЯЗЯМИ Здесь А = А(1, з, у) — матрица квадратичной формы кинетической энергии.
Матрицу А представим разбитой ца блоки следующим образом: а Л' Л В ' а = аы, Л' = (аы, ..., аш), В = (а, ) (~, з' = 2,..., л). Имея ввиду эти обозначения, перепишем выражение для кинетиче- ской энергии: 1 Т = -(аз~ + 28Л'у+ у'В у). 2 Определение. Кинетическая энергия системы имеет по отношению к неудерживающей связи 8 ) О каноническую форму, если Л = О. Иными словами, кинетическая энергия в канонической форме является инвариантной по отношению к негладкой замене з — > х: з = )х~, устраняющей неудерживающую связь. Рассмотренный в предыдущем пункте пример негладкой регуляризации простой системы с неудерживающей связью полностью применим для любых систем в канонической форме.
Обобщенная сила Х, соответствующая новой обобщенной координате х, находится из баланса мощностей: Хх = 58 = о'х зфп х, откуда Х = 58)бах. И следовательно, уравнения движения, справедливые для любых моментов времени, имеют вид ддТ дТ, ддТ дТ вЂ” —. — — = 5 81кп х, — —, — — = У, й дх дх ' й ду ду Неудерживающая связь исключена. Если кинетическая энергия не имеет канонической формы, т.е.
Л л О, то ее можно привести к этой форме. 4. Приведение к канонической форме. Для приведения к канонической форме разыскиваем подходящую замену переменных, иа которые неудерживающая связь не наложена: у — э а, у = у(1, з, э). Подставляя выражения для обобщенных скоростей з ЗЗ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ 149 у = др/д1 + (ду/дз)з + (ду/да)0 в выражение для кинетической энергии, находим: 2Т = а + 26' — + —  — ( зз + 29 (6' + — В ' ~ — 6+ ,ду др',ду1 .9 . /, ду',~ ду. дз дз дз,) (, дз ,~ де +б — В 0+29~6' — + —  — ~+2 —  — б+ .,д1р', /,ду дч',др~ др',др.
дэ д1 дг дз/ д1 де др', др + — В д1 д1 Для того чтобы кинетическая энергия была канонической, необходимо обратить в ноль члены, содержащие первую степень з. Для этого достаточно выполнения тождества д1а/дз = — ВА. Получена система дифференциальных уравнений для нахождения функций 19. Общее решение этой системы зависит от произвольных постоянных С: р = 1з(1, з, С). Подставляя вместо С новые обобщенные координаты е, мы получаем искомую замену у = 1а(1, з, е), Пример. Пусть кинетическая энергия имеет вид 1 Т = — (з + 2зузу1 + 2зуг + у1 + уз), 2 В соответствии с вышеизложенным, замена, устраняющая линейные по з члены, должна удовлетворять системе дифференциальных уравнений др1 д1аз дз в этом примере а=1, Ь=(уз,1),В 1=1 ). ) 1 0 10 1 )' Общее решение этой системы таково: 2 У1 = — — Сзз — Сн айаг = -з + Сз. 2 Следовательно, преобразование, приводящее к канонической форме кинетическую энергию, имеет вид 150 ГЛ.8.
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ В новых переменных кинетическая энергия оказывается такой: 1 Т = — [ — (з — ст)~э~ + с~ + 2зс16т + се~] . 2 5. Общие уравнения систем с иеудерживающими связями. Приведенный выше прием сведения кинетической энергии к канонической форме дает принципиальное решение задачи составления регулярных уравнений движения систем с иеудерживающими связями в самом общем случае.
Однако ои требует звания общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для разыскания замены переменных, что при решении конкретных задач может быть препятствием для построения искомых уравнений системы с неудерживающими связями в явном виде. В этом пункте излагается прием, позволяющий выписать регулярные уравнения систем с неудерживающими связями в явном виде для любых таких систем. В основе этого приема лежит изложенное в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
