В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Причем в силу непрерывности Е(х) х' не совпадает с положением равновесия и 11цн1~,с Е(х;) = Ес. Рассмотрим траекторию, начинающуюся в момент времени 1 = 0 в точке х': х(х", 1). Поскольку х' не есть положение равновесия, то энергия вдоль этой траектории монотонно убывает, и в некоторый момент времени Т мы имеем неравенство Е[х(х, Т)] < Ео = Е[х']. Рассмотрим далее другую траекторию, начинающуюся в момент времени 1 = 0 в точке х1: х(хп 1).
По теореме о непрерывной зависимости решений начальной задачи Коши от начальных условий имеет место 1пп х(х;, Т) = х(х', Т). 1 +(Х3 Напомним известную теорему о пределах если А < В и если А1 -+ А, то, начиная с некоторого 1, А1 < В. В силу этой теоремы, если Е[х(х', Т)] < Ев и если Е[х(х;, Т)] -1 Е[х(х', Т)], то, начиная с некоторого 1, Е[х(хь Т)] < Ев. Однако траектория х(х;, 1), в силу теоремы единственности решений начальной задачи Коши, представляет собой часть траектории х(1), для которой в любой момент времени Е[й(1)] > Ес.
Полученное противоречие и доказывает теорему. э Зв. КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА 171 Пример. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника с линейной восстаиавливающей пружиной (рис, 57). Выбором масштабов измерения перемениых уравнения движения такого маятника можно привести к виду х+ /сх = сйп х. Лииеаризация этого уравнения дает *' + (1с — 1)х = О. Характеристическое уравнение А~ + 11г — 1) = О имеет один вещественный положительный кореиь, если А < 1, и по теореме Ляпунова о неустойчивости заключаем, что в этом случае положение х = О Рис.
57 неустойчиво. Если х > 1, то оба корня лежат ва мнимой оси, и сделать вывод об устойчивости нельзя. Применим теорему Лагранжа. Потенциальная энергия рассматриваемого маятиика имеет вид ( .2 1г — 1 П = — + сов х — 1 = — х~+ —— 2 2 4! Если х > 1, то потенциальная энергия имеет строгий минимум и по теореме Лагранжа следует, что положение х = О в этом случае устойчиво. Глава 10. Малые колебании в окрестности положении равновесия 8 39.
Колебательная система с одно)г степенью свободы 1. Амплитудно-частотная характеристика. Уравнения колебаний линейного одномерного осциллятора (рис. 58) могут быть получены как уравиеиия Ньютона, связывающие ускорение материальной точки массы гл с действующими силами; т рсгввг — йх — сила упругости пружины, х -Лх — сила вязкого сопротивления и рсоа Аг — сила периодического воз- А буждеиия. Это уравнение имеет вид Рис.
58 глх+ Их+ йх = рсозща Если р = О, то маятник осуществляет свободное движение, которое можно искать в виде ГЛ. 20. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ !72 После подстановки этого решения в уравнение для нахождения Л получаем уравнение тпЛ2 + ИЛ+ И = О, корни которого И Иг И л 2т 4тпг тп позволяют записать общее решение для случая р = 0 в виде х = Аехр[Л21) + В ехр[Лгг), где А и  — произвольные постоянные интегрирования.
Если Иг — 4тИ > О, то выписанное решение является вещественным и оно при И > 0 определяет решение, стремящееся к нулю при 1 -ооо Если И вЂ” 4тИ ( О, то полученное решение в вещественной форме г имеет вид И2 И И2 х = ехр[ — Иг/[2т)) Асов — — — 1+ Ввгп т 4тг т 4тг! Оно определяет затухающий колебательный процесс, если И > 0 и незатухающие колебания, если И = 0: х = Асов ~/ — т+ Вейн г/ — й т т Величина П = ь/Й/т называется частотой собственных колебаний осциллятора.
Если Иг — 4тИ = О, то общее решение уравнения при р = 0 имеет следующий вид: х = [А + ВС) ехр[-ИС/[2т)]. Если р ф О, осциллятор находится под действием внешней периодической силы, и общее решение уравнения колебаний в этом случае складывается из общего решения однородного уравнения [т,е. при р = 0), что нами уже найдено, и какого-либо частного решения неоднородного уравнения, Необходимое решение будем строить следующим образом. В силу принципа суперпозиции интересующее нас частное решение будет представлять собой вещественную часть соответствующего частного решения следующего уравнения: тпх + Их+ Их = р[совогг+ ге)погг) = рехр[гыг), разыскивая решение этого уравнения в виде х = хо ехр[гыг), 9 39.
КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА 173 находим хо = р = р(а — 1Ь), (И вЂ” тпшг) + ЬИш г Иш а=, Ь= р, г)г + Иг,„г ' (у, г)г + Иг„г Отсюда следует, что Ке х = Ве р(а — 1Ь) (сов юг+ 1 в1п ыг ) = р(а сов ы1+ Ь в1 и ыг ) = А сов(ыг — а ), где Им а = агсвк ГП1О 2 Полученное выражение для амплитуды емнулсденимх колебаний А и для фазы о, рассматриваемые как функции частоты внешней силы 1о, называются соответственно амплипгудно-часгпотпой и фаза-часпготпой характеристиками линейного осциллятора.
Они изображены на рис. Ь9 в виде семейства кривых, где параметром Рис. 59 семейства является коэффициент демпфирования И. Амплитуда вынужденных колебаний принимает максимальное значение вблизи точки ы =,Й/т, т,е. когда частота внешней силы близка к частоте собственных колебаний. Это явление называется резонансом. 2. Функпия Грина.
Пусть внешняя сила, приложенная к осциллятору, зависит от времени произвольно: пгх+ Их+ /сх = Дг) Частное решение этого уравнения разыскиваем в виде гс х = / С(1 — т))(т) дг. о ГЛ. 1О. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 174 Подлежащая определению функция С(0) носит название функции Грина для рассматриваемого осциллятора. Говорят, что частное решение уравнения осциллятора в этом случае представляет собой свертку функции, выражающей зависимость внешней силы от времени, с функцией Грина осциллятора. Подставляя это решение в уравнение, найдем [тС(1 — г) + ЬС(1 — г) + 11С(1 — г)] дг+ о +тС(0)/(1) + [тпС(0) + АС(0)]/(1) = /(1).
Для того чтобы это соотношение выполнялось тождественно, до- статочно положить гпС+ АС+ lсС = О, С(0) = О, С(0) = 1/т. Таким образом, функция Грина является решением начальной задачи Коши для однородного уравнения и в случае 47от > 67 имеет вид 1 / )о 62 С(В) = — ехр[-ЬВ/(2т)]в(пйд й = ПВ ~ т 4 то В результате частное решение при произвольном неоднородном члене имеет вид 1 Г1 х = — / ехр[ — Ц1 — т)/(2т)][в1пй(1 — г)]/(г) дг. "1М ./о О 40. Колебательиые системы произвольного числа степеней свободы 1. Классификация линейных сил. Рассмотрим механическую систему со стационарными связями ддТ дТ вЂ” — — — (1=1,...,п), йдд; дд; где 1у1(д, у) — обобщенные силы.
А Пусть д;=0 — положение раввовесия этой системы, Как и в случае исследования устойчивости положения равновесия, движение в его окрестности можно изучать, осуществив линеаризацию системы, полагая у1 и у; малыми: 1 .. 1т Т = — ~~ а,. (у)у;д — ~ а1. (0)дод., 1у1 = — ~ Обу — ~~~ с1 у . 'е ЛО.
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЪ| !75 Тогда уравнения движения могут быть записаны в следующей матричной форме: Ад+ Ву + Су = О, где А = 1а; 10)) — симметрическая, положительно определенная матрица кинетической энергии, В = (6| ) — матрица скоростных сил произвольного вида, С = 1с, ) — также произвольного вида матрица позиционных сил.
Произвольная матрица скоростных сил В может быть единственным образом разложена в сумму симметрической и кососимметрической матриц; В=Р+Г, РТ=Р, Г" = — Г. Силы Ру называются диссипативными, если квадратичная фор- ма у Рд > О, и они называются силами с полной диссилацией, 7 если а Рв > О для любого в ф О. Функция гс = утРу(2 называется т диссипативнай функцией Релел. Диссипативные силы связаны с ней так: Ру = дгс/ддц Силы Гд называются гироскопическими и они обладают следу- ющими основными свойствами, Свойство 1, Мощность гироскопических сил в любом движении равна нулю: И' = дтГтв = О. Действительно, И' = (д~Гд) = -д~Гд = — Иг, но Иг — скаляр и он равен себе обратному только, если И' = О.
Свойство 2. Гироскопические силы имеют обобщенный потен- циал д д|г дУ Гд= — — — —, д| ду ду' Действительно, нетрудно проверить, что роль потенциала играет следующая билинейная форма: 1 т 1'1у, д) = -утгу. Свойство 3 (без доказательства). Подходящим ортогональным преобразованием обобщенных координат матрица Г может быть приведена к следующей канонической форме. )) Ог МТГМ = Пг О ГЛ, |О.
МАЛЪ|Е КОЛЕБАНИЯ 176 По главной диагонали этой блочной матрицы стоят двумерные блоки или нули. Вне главной диагонали — нули. Свойство 4. дел Г ) О, если п — четное, и бе| Г = О, если п — нечетное (следует из предыдущего свойства). Последние два свойства относятся и к вводимой ниже кососимметрической матрице ЛГ. Произвольная матрица позиционных сил С также единственным способом разлагается в сумму симметрической и кососимметрической частей: С = К + Лг, Кт = К, Мт = — АГ. Силы Кд называются потенциальммми или консервативными. Они обладают следующими основными свойствами.
Свойство 5. Консервативные силы обладают потенциалом. ди Кд= —, дд ' где У = дтКд/2. Это свойство ранее нами было положено в основу определения потенциальных сил. Свойство 6. Работа консервативных сил по любому замкнутому контуру в конфигурационном пространстве равна нулю: ~ К;,4|д0, =О Это свойство немедленно следует из предыдущего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
