В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Решение, устойчивое в переменной х, оказалось неустойчивым в переменной у з зв ОБЩие теОРемы ОБ УстОЙчиВОсти 157 Для того чтобы исследование устойчивости было корректным, мы должны, во-первых, твердо знать, по отношению к каким переменным нас интересует устойчивость. И, во-вторых, если процедура исследования требует перехода к новым переменным, мы должны гарантировать эквивалентность свойств устойчивости в старых и в новых переменных. Замены переменных, не изменяющие свойств устойчивости исследуемых решений, называются допустпмммш Достаточные условия допустимой замены дает следующая Теорема.
Пусть к = Π— устойчивое решение системы к = 1(1, з). Если замена к -+ у: к = Р(1, у) такая, что Р(1, О) = О удовлетворяет условиям: 1) дГ/ду невырождена в некоторой окрестности нуля; 2) если г" (1, у) и Г '(1, з) непрерывны в нуле равномерно по 1,то решение у = О системы у = (др/ду) 'ф, Р(1, у)] устойчиво (и наоборот). Доказательство теоремы предоставим читателю в качестве упражнения. О 36. Общие теоремы об устойчивости линейных систем Рассмотрим линейную систему — = А(1)к+ у(1). ак Й Выше было дано определение устойчивости положения равновесия и было отмечено, что к изучению устойчивости равновесия может быть сведено изучение устойчивости любого частного решения.
Если все частные решения дифференциальной системы устойчивы, то говорят, что сама эта система является устойчивой. Теорема 1. Линейная система устойчива (с любым свободным членом) тогда и только тогда, когда устойчиво тривиальное решение соответствующей однородной системы. Доказательство. Пусть к = ф(1) — исследуемое на устойчивость решение неоднородной системы. Сведем задачу к исследованию устойчивости положения равновесия: х -~ у, к = ф(1) + у. Подстановка в систему дает — + — = А(1)[ф(1) + у]+ 1(1).
Ыф Ну й й Поскольку — =- А(1)4~(1) + ~(1), Нф Й ГЛ,9. РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ 1вв то для у получаем систему которая не зависит от того, какое именно частное решение рассматривается. Теорема доказана. Теореме 2. Линейная однородная система устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено. ,Показатлельсшео. Допустим, что система устойчива, но у нее есть неограниченное решение х = Ф(1).
Очевидно, ф(0) ф 0 и мы можем построить решение обладающее свойством х(0) = б. При любом 6 это решение неограничено, что вступает в противоречие с определением устойчивости при Б — > О. В обратную сторону. Пусть любое решение ограничено.
Но тогда и ограничена фундаментальная матрица решений: Х(С) = столбцы которой составлены из линейно-независимых частных ре- шений. Если эти решения выбраны так, что Х(0) = Е, где Š— единичная матрица, то общее решение линейной однородной системы можно записать как х(М) = Х(й)я(0). Тогда !!э(С)/! < МЦх(0)!(. И при ))я(0)Й -+ 0 функция Ця(С)(! — > 0 равномерно по ~ б [О, оо), что и означает устойчивость. 1 37. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 159 О 37. Устойчивость линейных систем с постоянной матрицей Теорема 1.
Линейная система с постоянной матрицей асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части корней харакглеристического уравнения системы с1ес(А — ЛЕ) = 0 отрицательны КеЛ1 < 0 (к=1,...,п) Доказательство. Из теории линейных систем дифференциальных уравнений известно, что произвольная компонента вектора решения х линейной системы состоит из суммы функций следующего вида. (ехр аь1) соэ611, если корни Ль = аь + с4 не являются кратными. Если же среди корней есть кратные, то в решении появляются слагаемые вида (Со + С11+... + Ср1р) (ехр аь1) сов Ь51. Если аь < О, то все такие слагаемые стремятся к нулю. Решения линейной системы оказываются ограниченными и, в силу теоремы 2 из 536, сама система является устойчивой, а в силу экспоненциального затухания решениЯ вЂ” и асимптотически устойчивой.
Теорема доказана. Таким образом, чтобы установить асимптотическую устойчивость линейной системы, достаточно убедиться, что все корни ее характеристического уравнения (иногда его называют вековым) с1ес(А — ЛЕ) = во + асЛ +... + а„Л" = 0 обладают отрицательными вещественными частями. Теорема 2 (Критерий Рауса-Гурвица). Для того чтобы полинам 1(Л) = ао+а1Л+ ...+ а„Л" (ао > О) имел все корни с отрицательными вещественными частями, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы а1 во 0...
0 аз аэ а1 ао . 0 М= были положительны. Поясним, что на главной диагонали этой матрицы стоят коэффициенты рассматриваемого полинома, от а1 до а„, а каждая строка получается достраиванием диагонального элемента вправо ГЛ. В РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ кбо и влево до последовательности всех коэффициентов в порядке их убывания. Яоказапкельспгво. Полипом /(Л), корни которого обладают отрицательными вещественными частями, называется усгпоочивмм.
Пемма 1. Если полином устойчив, то все коэффициенты его положительны. Действительно, пусть полипом имеет корни Л = — а лцЗг, у=1,...,р, с кратностью <г . А также корни Лк = — ук с кратностями эк, 1 = 1,..., д. Поскольку полипом устойчив, то аг, ~к > О. Представим полипом в виде разложения на сомножители: У(Л) =п.П,',((Л+оу-гА)(Л+оу+1дгП' Па,(Л+Ъ,)" = = а„п~ (Лг + 2Лаг + аг + дг) П'„' (Л + тк)'" Произведение сомножителей с положительными коэффициентами есть полипом с положительными коэффициентами.
Лемма доказана Полином Р(Л) = (1+ аЛ)у(Л) + /( — Л), в котором а > О, называется присоединенным к полиному у(Л). Лемма 2. Если полином /(Л) устойчив, то и присоединенный полипом тоже устойчив. Рассмотрим вспомогательный полипом Ф„= (1+ аЛЩЛ) + р~( — Л), д б [О, 1] Очевидно, что Фе(Л) — устойчивый полинам. Корни полинома Ф„(Л) являются непрерывными функциями параметра д Если Фг (Л) = Е(Л) не является устойчивым, то это значит, что существует такое, что ЯеЛк(д ) = О Лк = Ц Подставим этот корень в полипом Ф„: (1+ аг13)/(ц3) = — д'у( — 1д). Отсюда )1+ 1од)й'д)1 = д'!У(-'д)) Так как у(Л) — устойчивый поливом, то Щ1,9)/ = )У(г)У)) = )у( — Ц)) ф.
О. И из полученного выше равенства следует (1+ го)г) = д' или 1+ о )г = р 1 37. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 161 Так как Ф„(0) = (1+ р)/(О) = (1+ р)по ф О, то и )У ф О. Значит, 1+ аг)уг = р' > 1, что невозможно, поскольку р < 1. Лемма гг .г доказаиа. Лемма 3. Для всякого устойчивого полинома степени и + 1 существует устойчивый поливом степени и, для которого данный полипом является присоединенным.
Пусть Р(Л) — заданный устойчивый поливом степени и + 1. Найдем устойчивый полипом /(Л) степени и, такой, чтобы Р'(Л) = (1+ аЛ)/(Л) + /( — Л). Отсюда, учитывая, что Р( — Л) = (1 — аЛ)/( — Л) + /(Л), находим а г Лг/(Л) = — (1 — аЛ) г'(Л) + Р( — Л) . Прежде всего нужно показать, что /(Л) является полиномом, те. это равенство можно сократить на Лг. Для этого запишем Р'(Л) в виде Р(Л) = Ао+ АгЛ+ + Аие1Л"~' и подставим в полученное равенство: а Лг/(Л) = (аАо — 2А1)Л+ аА1Л +...
Отсюда видно, что /(Л) будет полиномом степени и, если выбрать а = 2Аг/Ао. Осталось показать, что такой полипом будет устойчивым. Рассмотрим функцию Фо(Л) = — (1 — аЛ)Р'(Л) + рР( — Л), р б (О, 1]. Полипом Фо(Л) = — (! — аЛ)Р(Л) имеет один корень Л = 1/а положительный и все остальные с отрицательными вещественными частями.
Выясним, при каких р сохраняется подобная расстановка корней Пусть при некотором р = р" тогда 1 + аг)3г = р', что невозможно для 0 < р < 1. При р = 1 полипом Ф1(Л) имеет двукратный нулевой корень. ГЛ. О РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ гбг Рассмотрим поведение корней при р -+ 1. Возможны два варианта поведения. В первом варианте в нулевой корень сливаются один корень из левой полуплоскости и единственный корень из правой (рис. 53). Во втором варианте корень в правой полуплос- Рис. 54 Рис.
53 кости остается в ней же, а к нулю стремятся два корня из левой полуплоскости (рис. 54). Если имеет место первый случай, то после сокращения на Лг оставшиеся корни будут лежать в левой полуплоскости и полинам у(Л) оказывается устойчивым. Покажем, что именно этот вариант и имеет место. Обозначим два корня, стремящиеся к нулю при д — ~ 1, через Лр и Ло. Рассмотрим подробнее поведение этих корней при 1 — н=е-40: Ф„= — Аае + АгеЛ + ( — — еАг) Л + .
= О. г'2Аг' 'г г ~, Ао Ищем указанные корни в виде Лр о = рг,/е + рг( Я + ... Подставляя в написанное выше уравнение, находим: — Аа+ — р) е+ Аг+ — рг) рге +... =О, с 2Аг1 г 1 1 4Аг~ 1 з!г Ао ) (, Ао откуда получаем (1Ао Р, =.,/— Ч 2А1 з 37. УСТОЙЧИВОСТЪ ЛИНЕйНЪ|Х СИСТЕМ |63 Р'(Л) = (1 + аЛ)ДЛ) + |'( — Л). Для удобства примем а = 2С. Выразим полинам г (Л) через коэф- фициенты полинома /(Л): Г(Л) = 2 ~ ~Саы + 2 аь Л, а |— - аэ+|=О о=о Вычислим главный диагональный минор порядка /с+1 матрицы М: 2Сао 2ао 0 0 2Саг 2аг + 2Са| 2Сао 2ао 2Сао 2ао + 2Саз 2Саг 2аг + 2Са| 2Сагь 2агь+2Сагы 2Сагь г 2агк г+2Сагь-з Вынесем из первого столбца за знак определителя 2С и вычтем после этого из второго столбца удвоенный первый. Из полученного второго столбца вынесем 2С и повторим процедуру для третьего и четвертого, затем пятого и шестого и т.д.
В результате получим ао 0 0 аг а| ао = (2С)~т'асею Рь+| — — (2С) +' агь ать-г агь-з где Ьь — главный минор порядка |о матрицы М для полинома 1(Л). Но по предположению индукции Ьь > 0 для я = 1,..., и. Значит, и Рь+| > О. Но при д ~ 1 у полинома Ф„единственный корень с положительной вещественной частью, следовательно, это и есть корень Лр, Лемма доказана. Доказательство самой теоремы будем проводить методом полной математичебкой индукции. Покажем вначале необходимость условий теоремы. Пусть полинам у(Л) — устойчив. Тогда для п = 1 ДЛ) = ао+а|Л и главный диагональный минор фигурирующей в теореме матрицы сводится к а|, которое должно быть больше нуля из условия отрицательности Л. Для и = 1 условие теоремы, как необходимое, справедливо, Пусть теперь оно справедливо для некоторого п.
Покажем, что оно справедливо и для и+ 1. Полинам степени и+ 1 можно рассматривать как присоединенный к полиному степени и. ГЛ. 9 РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ !64 Докажем теперь достаточность. Пусть п = 1, з(Л) = во+ а!Л, из условия Ь! > О, т.е, а! > О, следует, что полинам 1(Л) устойчивый. Пусть теперь теорема верна вплоть до некоторого и включительно: из с»» > О при Л = 1,..., и следует, что з'(Л) — устойчивый полинам. Рассмотрим полинам Р(Л) порядка и+ 1. Дано, что для него все Р»4! > 0,14 = 1, ..., и. Для этого полинома существует полинам у(Л): Р(Л) = (1+оЛЩЛ)+у( — Л) и в силу Р»4! — — о»4!аоЬ» следует, что гЛ» > О, Л = 1, ..., и. Но это значит, что полинам з'(Л) — устойчивый. Тогда по лемме 2 Р(Л) — тоже устойчивый полинам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
