В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Не меняя вначале х1 и у1, изменяем угол у так, чтобы конем был направлен в точку хз, рь После этого, не меняя Ф, по прямой перемещаем конек в точку хм уз. Наконец, в этой точке поворачиваем конек на нужный угол. Следовательно, из условия хз1п1э — усову = О не может вытекать никакого соотношеиия Дх, у, ~р) = сопзг. Конек с указаниой связью является неголономной системой. 3.
Неудерживазоп1де (односторонние) связи. Эти связи аналитически выражаются ограиичениями на обобщенные координаты вида неравенств: Ь(1, д) > О (й = 1,..., гп). Иногда неголономные связи определяются как связи, не являющиеся голономпыми. Если стоять на этой позиции, то неудерживающие связи следует отнести к неголономным. Мы будем придерживаться более узкого понимания неголономвых свизей, данного выше. 4. Стационарные связи. Если все перечисленные выше связи не зависят от времени: Ь(д) = Π— в случае голономных связей, сЦ(4)41 = Π— в случае кинематических связей, 11(д) > Π— в случае неудерживающих связей, то такие связи называются сп1ационарнмми.
!32 Гл.в. уРАВнения систем с дОНОлнителъными ОВязями В случае кинематических связей условие стационарности включает в себя кроме того требование отсутствия неоднородного члена: ь =о. 5. Виртуальные перемещения в случае дополнительных связей. Ограничения на координаты и скорости приводят, очевидно, и к ограничениям на виртуальные перемещения, определенные в З 23. Если связи голономные: ~ь(д) = О, то виртуальные перемещения стеснены условием дух д, Ч~ Если связи кинематические: ~,".
! сы(|, 4)!|д, +!ь !|! = О, то виртуальные перемещения ограничены так: о ~ сы(|, д) б4| = 0 (в соответствии с определением виртуальных перемещений !|! = О). Если связи неудерживающие: ~ь(д) > О, то ~ — "б4| > О. д~ь , дд! 6. Гипотеза идеальности связей. В случае голономных и кинематических связей введенная (см.
5 24) гипотеза идеальности связей сохраняет свою форму: работа реакций связей на любых виртуальных перемещениях должна быть равна нулю. При этом реакциями связей мы будем называть те дополнительные обобщенные силы Л;. в уравнениях Лагранжа о' дТ дТ вЂ” — — — = |У, + Л/ (! = 1, ., п), сН д4! д|й которые нужно приложить к системе, чтобы движение ее удовлетворяло дополнительным связям. Тогда условие идеальности голономных и кинематических связей можно записать так; и Л/бд! = О. |=! При неудерживающих связях уь(|, 4) > 0 — случай движения по связи, т.е. когда выполняется строгое равенство, и случай, когда возникает переход от неравенства к равенству и обратно, должны 3 3!.
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА С МНОЖИТЕЛЯМИ !33 рассматриваться отдельно. Реакция связи, возникающая в первом случае на всех виртуальных перемещениях, удовлетворяющих условию ~',(д~к/дд,)бд; = О, не должна совершать работы. Во втором случае движение сопровождается ударом, и связь будет считаться идеальной, если в момент удара кинетическая энергия системы не претерпевает разрыва. Т =Т, где Т вЂ” значение энергии непосредственно перед выходом на связь, Тк — после О 31. Уравнения Лагранжа с множителями Выведем уравнения, содержащие дополнительные голономные или кинематические связи. Как уже было сказано, введя понятие дополнительных реакций связей Л!с, уравнения можно записать в виде с1 дТ дТ вЂ” — — — = Щ+ЛГ,.
с11 дд, дй! Однако пользы от этих уравнений нет, поскольку в них возникли дополнительные п неизвестных функций времени Л!!, а уравнений связей у нас т ( п. В системе 2п неизвестных и и+ го уравнений, из которых найти эти неизвестные нельзя. Для исключения лишних переменных умножим эти уравнения скалярно на виртуальные перемещения: Реакции связей здесь исчезли, поскольку мы предполагаем их идеальными. В этом соотношении виртуальные перемещения стеснены условиями — бд;=0 (/с=1,...,т) дик д!1! в случае голономных связей, или ск!б!с! = 0 (1 = 1,..., т) 1 в случае кинематических. Введем гп новых неизвестных функций времени дк (/с=1,, т) 134 ГЛ.8.
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ Очевидно, имеют место равенства рь — сдс —— О или ~~~ ~~с рьсьсбдс = О. д~» дд; ь с Вычитая их из полученного выше скалярного соотношения, находим: ( с1дТ дТ ~ д~ь) '1 пс ддс дд, ' х ддс) или ( Ы дТ дТ 7 Бд,( — —.— — — с,с,— ~ рясы =О. * ~с(1 ддс ддс Выберем неизвестные функции рь так, чтобы первые слагаемые в этих суммах были тождественно равны нулю'.
с1 дТ дТ ~ дЛ вЂ” — — — = 1~с+7" р,— (с =1, ..., т) 11 дд; дд, ' „ддс или д дТ дТ вЂ” — — — = Я, + ~~с сы,иь (/с = 1,..., т). й дд; ддс В оставшихся суммах присутствует только и — т компонент виртуальных перемещений бдс. Но их уже можно считать независимыми и произвольными, а это влечет за собой равенство нулю оставшихся множителей при бдь и полученные только что уравнения справедливы при любых с.
Итак, уравнения Лагранжа с множителями в случае дополнительных голономных связей имеют вид Для кипематических свизей с1 дТ дТ т д~». — — — — =Ф+ й ддс ддс ' "-„ддд Уя(1, д) =О д дТ дТ вЂ” — — — = сд; + ~ пресы й дд; ддс сыдс+ 1с = О (с=1, ...,и), (/с=1, ..., т), (с=1,...,и), (сс=1,...,т). 3 32. УРАВНЕНИЯ АППЕЛЯ 135 Эти уравнения в количестве и + гл позволяют найти такое же количество неизвестных функций д< и рю О 32.
Уравнения Аппеля В полученных в предыдущем параграфе уравнениях Лагранжа с дополнительными кинематическими связями множители д могут быть исключены. Покажем это, переписав эти уравнения в матричной форме: Сд + ( = О. Здесь буквой С обозначены все те члены в уравнении Лагранжа, которые не зависят от ускорений.
Выразим из уравнений движения ускорения: ,) = А-'С+ А-'Стр. Продифференцируем уравнения связей по времени: Сд+ Сд+1 = О. Подставим сюда найденные выше ускорения: СА 'С+ СА 'Стр+ Сд+ ! = О, Если кинематические связи независимы, то матрица СА 1Ст невырождена и последнее соотношение может быть разрешено относительно множителей рс р = (СА 'С ) '( — СА 'С вЂ” Сд — !).
Подставляя это выражение в уравнения движения, окончательно получим: Ад' = С вЂ” С (СА 'С ) '(СА 'С+ Сд+ 1) Множители Лагранжа исключены, написанные уравнения имеют тот же порядок, что и исходные уравнения без дополнительных связей, сами связи оказываются первыми интегралами этих уравнений. Начальные условия следует подчинить исходным связям. Между тем наложение связей приводит к понижению числа степеней свободы и было бы интересно построить такие уравнения, в которых это обстоятельство находило бы отражение.
Определенным 136 ГЛ.В. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ преимуществом в этом плане обладают выводимые ниже уравнения Аппеля. Для составления уравнений Аппеля вернемся к уравнению баланса виртуальных работ, полученному в 2 24 и виде Гдй. - Гдй. д бд; / — Й. дт = бд; / — Р" Нт = бдДН '/ дд, '/ дгд Для сокраШения записей здесь опущен знак суммы по повторяющимся индексам суммирование подразумевается. На этот раз коэффициенты виртуальной работы инерционных сил, т.е.
выражения — й. дт, преобразуем иначе дй., дй Продифференцируем выражение для скорости К = — д, + —. дйй ' дС' Получим: дй. й= — д;+Р(1, д,д), дд, где через Р обозначены все члены, не зависящие от обобщенных ускорений д. Тогда дй. дй дд', дд, что позволяет вычислить дй - Г дК - 1 Г дй.' дд — Кдт = / —, Й.дт = — / — дт = — „ дй;,/ дв 2,/ дд; дд, где функция 1 Г-2 д= — /й дт 2/ называется функцией Аппеля (иногда "энергией" ускорений). Если все ед, независимы, то из баланса виртуальных работ следуют уравнения, эквивалентные уравнениям Лагранжа д5 — =ф, 1=1,, и. дд' Пусть теперь на рассматриваемую систему наложены т кииематических связей: смел +1,=0, з=1,...,т.
1 32. УРАВНЕНИЯ АППЕЛЯ 137 В этом случае в уравнении виртуальных работ вариации бд; больше не являются независимыми, кроме того, обобщенные силы должны вычисляться с учетом появившихся новых реакций связей Х; с)1 = 1 — (Г + 11) 11тп. ь / дйт Из уравнений связей можно выразить последние пт обобщенных скоростей через первые и — т; е1 = атель + Д. Условимся в дальнейшем обэначать индексом я, меняющимся от 1 до и — пт, оставшиеся независимыми скорости, а индексом 1, меняющимся от п — от+ 1 до и, обобщенные скорости, выражаемые через независимые обобщенные скорости по написанной формуле. Разобьем уравнение виртуальных работ на две части: дд дд 1' дВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
