В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если этого нет, то единственная дуга большого круга, проходящая 120 ГЛ. 6. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ через мих, обращает в минимум интеграл представляющий собой при гл = 1 длину этой дуги. 5 26. Понятие первого интеграла Рассмотрим автономную динамическую систему общего вида: х; = Р(хн...,х„), 1= 1,...,п. Правые части определены в некоторой области Р С Л". Скалярная функция С(хы..., х„), ме являющаяся тождествеммо константой, определенная в той же области Р, что и рассматриваемая система, называется глобальным первым иишегролом или просто первым интегралом этой системы, если ома остается постоянной вдоль любого решения этой системы: С[х1(1),, х„(1)] = сопзс.
Если функция С(х) дифферемцируемая, то необходимым и достаточмым условием первого интеграла является следующее тождество: дС е — Р)(хн ..., х„) = О. дх; 1 Если скалярная фумкция С(х) удовлетворяет условию первого интеграла, мо определена в подобласти области 1л, то ома называется локальным первым интегралом. Если правые части системы х = г(х) дифферемцируемы, то в окрестности любой меособой точки х', т.е. такой, что Е(х') ф О, система имеет п — 1 функционально независимых локальных первых интегралов. Глобальный первый интеграл, даже один, существует лишь в исключительных случаях и представляет собой интерес в мехамике.
Ом позволяет полностью расслоить фазовое пространство ма интегральные многообразия меньшей размерности, Пример. Механическая система х = у, у = — х, описывающая движемие линейного одмомермого осциллятора, имеет глобальный первый интеграл С(х,у) =х~+у . И система, и функция х~+ уз определены во всей фазовой плоскости Н~. Система х = х, у = у имеет локальный первый имтеграл С(х, у) = у/х, определенный всюду за исключением прямой х = О. Глобальных первых интегралов у этой системы мет. '2 2П ПЕРВЪ|Е ИНТЕГРАЛЫ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ 121 Определение первого интеграла в случае неавтономной системы й; = Р|(|, хп, т„), | = 1,, п, сводится к приведенному выше определению формальным сведением к автономной системе добавлением еще одного уравнения | = 1.
Первым интегралом неавтономной системы будет скалярная функция О(|, хп, х„), удовлетворяющая всем укаэанным выше условиям. В частности, в случае дифференцируемости этой функции должно выполняться тождество д0 дС к,а — +~ — г| йи. д|, дх| ! В случае системы уравнений второго порядка, какими и являются уравнения Лагранжа, первым интегралом будет называться скалярная функция С(|, д, д), определенная там же, где определена кинетическая энергия и обобщенные силы, и постоянная вдоль любых траекторий системы. Механическая система называется интегрируемой, если она имеет глобальный первый интеграл.
Пример. Система х + х + х = 0 неинтегрируема, поскольку глобального первого интеграла у нее не существует. Заметим, что решение ее тем не менее выписывается беэ труда й 27. Первые интегралы лагранжевых систем Рассмотрим уравнения Лагранжа с потенциальными силами. Умножая их на д; и суммируя по г, получаем следующее скалярное соотношение: к которое можно переписать в форме 2 ~ — (к| —.) — к; — — к,— ~ =а. к Поскольку и', дх.
2 /дЕ . дЕ .. — ~(2,7 у) = — +~ ~ — у|+ —.у й ' ' д|; |,ду|' ду| то последнее соотношение переписывается в виде вэак 233 222 ГЛ.6, УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ Если функция Лагранжа от времени не зависит, т.е. дЕ/д1 = О, то из записанного равенства следует первый интеграл х .дь у,—, — Е = сопзц ' ду< Этот интеграл носит название обобщенного интеграла энергии, или интеграла Пенлеве-Якоби. Выясним структуру этого интеграла, учитывая, что 1~ Е = — 7 абу;у', +,~ 6 у + Те + У. 2' Подставляя зто выражение в полученное выражение для интеграла Пенлеве — Якоби, находим: 1~ абу2у — Та — У = Т2 — То — П = сопзк 2 "-, 1 у Или, используя обозначения для потенциальной энергии П = — У: Т2 — Тд + П = сопзц Заметим, что полная энергия Е = Т2+ Т1 + Те+ П в общем случае не сохраняется.
Механическая система называется консервагпиеной, если выполнены следующие условия: 1) параметризация стационарна, т.е. дй/д1 = О; 2) силы потенциальны: 1у; = д1Г/ду;; 3) потенциал У от времени явно не зависит; дУ/д1 = О. Если система консервативна, то Т, = Те = О и обобщенный интеграл энергии совпадает с полной энергией Т2 + П = сопзс и выражает тем самым закон сохранения полной энергии в консервативных механических системах. Еще один распространенный в механике тип первых интегралов составляют так называемые циклические интегралы. Они имеют место тогда, когда функция Лагранжа .С(1, ум, у„, ум ..., у„) не зависит от некоторых координат: р+м ..., у„.
В этом случае уравнения Лагранжа приобретают вид д дЕ дŠ— — — — =О, 1= 1,,1, о1 дь ду< — — =О, 1=!+1,,п. д дб о'1 ду, ~ 27. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ 123 Из последних и — ! уравнений следует и — ! первых интегралов дЕ/дд1 = сопзС (! = 1+ 1,, п), Сами переменные, которые не входят явно в функцию Лагранжа, называются циклическими. Знание первых иитегрвлов позволяет понизить порядок системы, т.е. продвинуться в деле нахождения решения системы в явном виде. Пример. Эллиптический маятник (рис. 46). Лагранжиан этой системы имеет вид т с = — [(х + 1у сов 1е) 2 + !2 1в2 Ипт 1в] + тд1 сов ев. 2 Система консервативна, поэтому имеет интеграл энергии 2 Е = — (в~+ 21э1есов ее+ 1~1е~) — тпд1сов ее = сопев.
2 Кроме того, координата х является циклической, поскольку явно в выражение для ь ве входит. Поэтому в системе есть еще и циклический интеграл дŠ—. = т(й+1фсову) = сопз1. дх рассматривая два последних соотношения в качестве уравнений для нахождения х(1) и ~р(1), можно исключить из пих х и свести задачу к одному уравнению относительно ~р, из которого ~р(1) находится посредством вычисления имтеграла, т.е., как принято говорить, задача сводится к квадратуре.
Следует иметь ввиду, что уменьшение РЩ порядка при помощи первых интегралов ! приводит, как правило, к системе уравне- Рис. 46 ний, неэквивалентной исходной. Например, задачу о прямолинейном падении материальной точки в однородном поле тяжести можно решать, исходя из уравнения Ньютона у = -д при начальных условиях у(0) = 11, у(0) = О, что приводит к единственному решению: у = !е — д12/2. Если же воспользоваться в этой задаче интегралом энергии у /2+ду = сопИ и рассматривать его как дифференциальное уравнение, из которого можно найти у(1) при тех же начальных условиях, то решений получается бесконечно много: 12З ГЛ.б. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ где Гз — произвольно.
При гз — — О получается правильное решение. Построение точного решения, или понижение порядка системы — не единственная цель поиска первого интеграла. Глобальные первые интегралы выражают обычно некоторые законы сохранения, представляющие самостоятельный интерес, как содержательный физический факт Установление таких законов бывает интересным даже тогда, когда общее решение задачи известно.
В этой ситуации представляет интерес следующий прием. Пусть х; = Гг(хг,,х„), г'=1,, и, — изучаемая система. Пусть общее решение ее есть гг~(1, хг, ..., хи), где хг,..., х„— начальные условия, т.е. др г дг Тогда, если существует и не сводитси к константе выражение 1 Гт г(хг, ..., х„) = Йгп — / С(~рг(т, хг, ..., х„), т Т) ... р (т, хг,..., х )] гзт, то оно является первым интегралом исходной системы. При этом С(уг,..., р„) — произвольная функция. Пример У системы х = у, у = — х имеется общее решение рг — — хсозГ+уяп1, игз — — — хяпГ+усоз1 (х и у в нем — начальные условия). Выбор функции С(уг, рз) для вычисления первого интеграла не ограничивается ничем, кроме возможности вычисления соответствУющего пРедела.
Возьмем, к пРимеРУ, 6(Рг, 1Рз) = )~Рг(, тогда 1 Гт 2 г (х, у) = !пп — / )х соз т+ у яп т) дт = — угхз + уз —.. т~, гг т е. получен интеграл энергии. Доказательство сформулированного общего приема вычисления первого интеграла осуществляется прямой подстановкой решения х, = 1з,(1, Сг,, С„) в фУнкцию Г'(х).
ПРи этом пРиходитсЯ Рассматривать выражения рз(т, рг(г, Сг, ..., С„), ..., Уг„(г, Сг,..., С„)), которые, в силу группового свойства решений автономной системы 5 28. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА 125 дифференциальных уравнений (см. 548), сводятся к выражениям ч11(т+1,С,,, С„). Поэтому г'[У1(1, С1,..., С„),..., У„(1, С1,..., С„)] = — !пп — / С(у11(1+ г, С1, ..., С„),..., 1о„(1+ г, С1, ..., С„)]дг = т Т/ поскольку вычисление предела при Т -+ со не зависит от начальной точки интегрирования Глава 7.
Уравнении Рауса з 28. Преобразования Лежандра Переход от уравнений Лагранжа д(дТ(ду)(й — дТ(ду = 1„1 к уравнениям Рауса осуществляется при помощи специальной замены фазовых переменных, для введения которой рассмотрим некоторый особый класс преобразований, называемых преобразованиями Лежандра, или потенциальными преобразованиями. Пусть от некоторых переменных х1,..., х„осуществляется переход к другим переменным у1, ..., у„по формулам у1 = 11(х1,, хп), Уп = Уп(Х1, Хп). Это преобразование переменных называется преобразованием Лежандра, если его правая часть имеет потенциал, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
