В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1 настоящего параграфа свойство 3 (теорема Аппеля), согласно которому обобщенные импульсы, соответствующие переменным, на которые не наложена иеудерживающая связь, в момент удара не терпят разрыва. Следовательно, если выбрать эти импульсы в качестве фазовых переменных, то дифференциальные уравнения могут содержать ие более чем разрывы первого рода. Переход от части обобщенных скоростей к обобщенным импульсам соответствует переходу от уравнений Лагранжа к уравнениям Рауса (~ 29). Будем исходить из выражения системы с неудерживающей связью в виде, представленном в и. 2 настоящего параграфа.
Кинетическая энергия Т = — (аз~+ 226'у+ у'В 'у), 2 з, у — обобщенные силы, з > 0 — уравнение связи. Введем в рассмотрение функцию Рауса, заменив обобщенные скорости у иа соответствующие обобщенные импульсы. Дифференцируя выражение для кинетической энергии, найдем дТ р = —. = йп + В у. ду Из этого соотношения следует у = В(р — еп).
Запишем функцию Рауса (в отличие от записи этой функции в ~ 29 берем ее с обратным знаком) Тс' = Т(1, з, у, з, у) — р'у. 'э' ЗЗ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ Подставляя сюда полученное выше выражение для у, находим ус = — (а — Л ВИ) й — -р Вр+ ор ВИ. ° 1 ! 2 2 2 Выполним теперь негладкую замену о -+ х: о = !х) С учетом этой замены функция Рауса перепишется так.
к*(1, ~х~, у, х о1кп х, р) = е(1, х, у, х, р) = = — (а — Л ВИ) х — -р Вр + хр ВИ о1кп х = 2 2 2 = тес + *р'ВИо1кпх гдс через Ко обозначена непрерывная часть: 'со — — (а — И'ВИ) х — -р'Вр 2 2 2 Запишем уравнения движения: д д1с д1с — — — — =Х, й дх дх д1с . ВК у= — —, р= — +У др ' ду Подставляя сюда приведенное представление функции Рауса, полу- чим более подробное выражение: с~дйо дно /д д д'1 — — — — = Х вЂ” ~ — —, — — ) хр ВЛэ1кп х, д1 дх дх (,й дх дх) дно . . . дно . д у = — — — хВИ о1кп х, р = — + х — (р'ВИ) о1кп х + У, др др ду В этом выражении содержится член д д д'1., — — — — ) хр'ВЛо1кпх, д1 дх дх) в котором операции дифференцирования применяются к разрывной функции э1кпх.
При дифференцировании разрывных функций обычно возникают сингулярности типа так называемых бфункций, введенных первоначально в физику П.Дираком, теория которых (теория обобщенных функций) впоследствии была построена Л.Шварцем. Покажем, что в нашем случае требуемое дифференцирование ни к каким подобным сингулярностям не приводит и выписанная система уравнений ивляется регулярной дифференциальной системой, определенной в любой точке бесконечного интервала времени. Для этой цели выполним подробное 152 ГЛ.В.
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ дифференцирование разрывного члена; с Ы д д1., д,,д д1 дх дх) — —, — — ) хр'ВЬэ1кпх = — (р'ВБэ)йпх) — хр' — (Вбз)йпх) = Й дх — (р'ВИ) — хр' — (ВЬ) э1кп х+ р'ВЬ вЂ” якп х — х — з1кп х Й дх 1д1 дх Последний член в этом выражении, который мог быть ответствен за появление сингулярности, на самом деле равен нулю, если только правило дифференцирования сложной функции остается справедливым и для обощенной функции: д, д — э1яп х = х — 51йп х д1 дх В теории обобщенных функций показывается, что это действительно так, если только х11) — непрерывная функция времени.
Таким образом, нам осталось убедиться в непрерывности х в момент удара. Теорема. Если кинетическая энергия системы с неудерживающей связью, записанная в первоначальных переменных, Т = -д Ад + 6'д + Та 2 не содержит линейной формы скоростей, т.е. 6 = О, то х11) является непрерывной функцией времени. ,Ваказашельсгава. Пусть в своем движении рассматриваемая система проходит положение в = О, сопровождамое ударом. Пусть 6 — скорость до удара, а 6 + Ьв — после. В соответствии с заменой в = )х) разрыв скорости Ьв приводит в общем случае к разрыву скорости Гхх.
До удара в = х яках, после удара в+ Ьв = = 1х+ 1зх)яках. Поскольку до удара э1кпх = — 1, а после удара якп х = 1, то получаем в = — х, в + Ьв = х + Ьх. Из этих двух равенств находим Ьх = 2в+ Ьв. Воспользуемся полученным в п. 1 настоящего параграфа выражением для приращения скорости по той переменной, на которую наложена связь: Ьв = — 21в+ А '6) 1напомним, что в = а1). Следовательно, для приращения скорости Ьх получаем Ьх = 2А ~6.
И если 6 = О, то и Ьх:— О. Теорема доказана. В частности, теорема верна для стационарных систем, для которых не только Т,, но и Та равно нулю. Часть |У Колебания и стойчивость Глава 9. Равновесие и движение вблизи положения равновесия З 34. Определение устойчивости положения равновесия Как было показано в 3 25, уравнения Лагранжа разрешимы относительно старших производных: Ч вЂ” ~(~ Ч Ч) Ч вЂ” (Ч1> Ча) При обозначении Ч = р система сводится к нормальной форме Коши; с Ч=Р р = Р'(1, Ч, р), которую мы будем записывать в виде х=Х(1,х), х=(х1, ...,х„), Число компонент вектора х, т.е.
число и, здесь вдвое больше числа компонент вектора Ч, однако четномерность вектора х для механических систем в дальнейшем никакого значения не имеет, и мы на этом не будем акцентировать внимания. Правые .части будут предполагаться достаточно гладкими в области их определения функциями своих переменных, с тем чтобы решение любой начальной задачи Коши существовало и было единственным. Решение системы х(1) называется бесконечно продолжаемым вправо, если оно существует для любого 1 Е (10, оо).
Решение, не являющееся бесконечно продолжаемым вправо, эа конечное время выходит на границу области существования. Пример. Уравнение х = 1 — Д вЂ” х~( имеет область определения, задаваемую условием х212 < 1. Решения начальной задачи Коши для этого уравнения изображены на рис. 50. Видно, что существуют как продолжаемые, так и непродолжаемые бесконечно вправо решения. Система допускает положение равновесия х = О, если система Х(1, х) = О имеет не зависящее от 1 решение х = а = сопзс Вез ограничения общности можно полагать а = О.
Определение 1. Положение равновесия системы х = Х(1, х) называется устойчивым по Ляпунову„если 123 > О Зб > О такое, что любое малое возмущение начальных данных ((х(10)(( < б вле- 103ак 233 ГЛ.В. РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ чет и малое возмущение положения равновесия: ()х(1)(! < е для любого 1о < С < оо (рис. 51). Заметим, что из условия малости возмущенного движения при любом ~ следует, что в достаточно малой окрестности устойчивого Рис. 50 Рис.
51 положения равновесия любые решения бесконечно продолжаемы вправо. Определение устойчивости по Ляпунову представляет собой ни что иное, как определение непрерывности решения начальной задачи Коши по начальным условиям, причем эта непрерывность является равномерной по 1. Положение равновесия будет неустойчивым по Ляпунову, если, либо в любой сколь угодно малой окрестности его найдется хотя бы одно непродолжаемое бесконечно вправо решение, либо, каким бы малым ни назначить б, всегда найдется такое решение, удовлетворяющее условию Йх(~о)и' < б, и такой момент времени ~, когда зто решение выйдет за пределы р-окрестности нуля: ((х(1'))( > р, где р — некоторое положительное число.
Положение равновесия в примере на рис, 50 неустойчиво, поскольку в любой окрестности его есть непродолжаемое решение. Определение 2. Положение равновесия рассматриваемой системы называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если, вопервых, оно просто устойчиво по Ляпунову, во-вторых, существует такая окрестность нуля, что все решения, стартующие из нее при ~ -+ оо, стремятся к положению равновесия: Йх(~)(( -+ О. В приведенных определениях под нормой вектора фазового состояния х(1) понимается' евклидова норма; Заметим, что к исследованию устойчивости положения равновесия всегда может быть сведено исследование устойчивости любого частного решения. 5 35. КОРРЕКТНОСТЬ ПОНЯТИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 155 Действительно, пусть х = ф(~) — некоторое частное решение системы х = Р(5, х).
Выполним в этой системе замену перемемных х -+ у: х=у+ф(~). Систему в новых переменных получаем в виде с положением равновесия у = О. Решение х = Ф(1) называется устойчивым по Ляпунову, если устойчивым по Ляпунову будет это положение равновесия. Аналогичное определение имеет место и для асимптотической устойчивости О 35. Корректность понятия устойчивости В определении устойчивости присутствует начальный момент времени 55. Возникает вопрос — зависит ли от выбора начального момента свойство устойчивости? Теорема.
Если положение равновесия системы х = Х(~, х) устойчиво для начального момента времеми 1 = 15, то оно является устойчивым и для любого последующего момента времеми ~ = 1ь принимаемого за начальный. ,~?оказательстлво. Пусть задано произвольное 5 > О и нужно построить такое б1 > О, чтобы из условия ((х(~~)О < Б1 следовало //х(м)!( < 5 для любого м1 < ~ < оо. Поскольку для начального момента времени 1 = 15 устойчивость имеет место, то существует такое б, что из //х(~о)Ц < Б по следует !/х(г) // < 5 для любого 1о < ~ < сю.
Обозначим через Ро Б-окрестность нуля, через С ее образ при отображении, осуществляемом вдоль траекторий, стар- оо тующих из Ро в момент времени 1 = 1о и рассматриваемых в момент ! времени 1 = ~1 (рис. 52): ~ — Ф(~1 Ро). Здесь х = ф(~, хо) — решение си- Рис. 52 стемы с х(~о) = хо. Это отображение является взаимно-однозначным и взаимно- непрерывным. Если бы это было не так, то либо задача Ых — = Х(М, х), х(йо) = а, Й либо задача ах — = — Х(т1 — т, х), х(О) = 6 ат 1о ГЛ.9.
РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ 15б не имела бы единственного решения, непрерывного по начальным данным. Из того, что отображение Рб -1 С является взаимно непрерывным, следует, что 'все внутренние точки Пб отображаются во внутренние точки С Поскольку положение равновесия есть внутренняя точка Рб, то оно остается внутренней точкой и в О Значит, расстояние от нее до границы области 0 положительно.
Это расстояние и представляет собой искомое 51. Теорема доказана. Иэ доказанной теоремы следует, что от выбора начального момента в определении устойчивости времени может только зависеть б. Если окажется, что б можно находить не зависящим от ~о, то такая устойчивость называется равномерной.
Не столь хорошо дело обстоит с выбором переменных, в которых описывается система. Устойчиваи в одних переменных она может оказаться неустойчивой в других и наоборот. Пример. Рассмотрим устойчивость решения следующей начальной задачи Коши: х = 1/2, х(О) = хо. Это решение имеет вид *= хо+ —. 2 При возмущении начальных условий имеем возмущенное решение х = хо + Бхо+ 1/2. Разность между возмущенным решением и исследУемым на Устойчивость 1х — х~ = бхо сколь Угодно мала пРи сколь угодно малых дхо для любого момента времени.
Рассмотрим эту же систему, перейдя к новой переменной х -+ у у = х~. Приходим к задаче Коши; у = /у, у(0) = хоц. Решению хо+1/2 в исходной переменной соответствует решение в новой у= хо+— При возмущении начальных данных имеем 112 у = хо+эхо+ — ) 2) Соответствующая разность ~у-у~ > гЬо1хо+-) 2) не ограничена, каким бы малым ни выбрать начальное возмущение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
