В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 32
Текст из файла (страница 32)
У нутационной системы всегда есть не менее чем и нулевых корней. Количество ненулевых корней у нутационной и у прецессионной системы одинаково, и, если дес Г ф О, то их у каждой системы ровно и, ГЛ. |О МАЛЪ|Е КОЛЕБАНИЯ Заметим, что с)е| Г ф 0 может быть только для систем, имеющих четную размерност|к п = 2гп. Действительно, с)есГ = с)есГ = ( — 1)" с|е| Г и, если п нечетко, то с)е|Г = О.
Теорема. Если в линейной колебательной системе Ад +дГд+ +Кд = 0 матрица К положительно определена и с|е|Г ф. О, то собственные частоты делятся на две группы: 1) Ль - д, д -+ оо, 2) Лс 1/д, д -~ со. Частоты первой группы при этом стремятся к ненулевым частотам нутационной системы, а частоты второй группы — к частотам прецессионной системы. ~7оказательстео, Выполним замену времени (| — | г): 1 д и обозначим е = д т. Характеристическое уравнение системы запишется при этом в виде с|ес ( — Л А+ |ЛГ+ сК) = О. Рассматриваем это уравнение как неявную функцию Л(е).
При е = 0 уравнение переходит в характеристическое уравнение нутационной системы, у которого, в соответствии со сделанными выше замечаниями, т ненулевых корней: Л",, ..., Л" . По теореме о неявных функциях, в случае, если среди Л„", нет кратных, корни полного уравнения можно искать в виде Ль = Л„"+ аье+ Точками обозначены члены с более высокими степенями е, Так как частное решение исходной системы имеет вид д = ехр(|Льг) = ехр[гд(Л„" + аье+ ...)|], то первая группа собственных частот имеет вид Ль=дЛ„"+ — + ...
(1=1, ..., т). д Если среди корней Лс", имеется кратный корень кратности р, то разложение следует искать не по степеням 6, а по степеням ту7. 1 42. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 195 Результат оказывается тем же, хотя скорость стремления корней полной системы к корням нутационной будет меньше. Для рассмотрения второй группы .частот выполняется иная замена времени: 1 = дг, после чего характеристическое уравнение принимает вид с$е1( — гЛ А+ 1ЛГ+ Е1) = О.
Рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к следующему виду собствевных частот: Л» = -Л"~+ — + ... (а = т+1, ..., и). ь =д» дз Теорема доказана. Если в условии теоремы бе1Г = О (для нечетномеряых систем так будет всегда), то помимо указанных двух групп частот будет еще и третья, частоты которой имеют конечные, отличные от нуля пределы при д -+ со.
г Суммируя все случаи, приходим к заключению. Если Ег поло- г' жительно определена, то при д -+ †» оо частоты произвольной линейной колебательной системы ведут ) себя следующим образом. Часть частот, называемых прецессиовнм- Л Л Л" ми, стремится к нулю: Л» 1Ед, часть частот, называемых мута- Рис. 64 ционнмми, стремится к бесконечности: Л» д, часть частот, называемых маял»пиковыми, стремится к конечным, не равным нулю пределам; Л» 1. Число прецессионных частот всегда равно числу нутациониым частот, а число маятниковых частот равно разности между размерностью системы п и рангом матрицы гироскопических сил Г. Типичное поведение частот линейной колебательной системы при изменении интенсивности гироскопической связи изображено на рис.
64. Е 42. Нелинейные системы. Метод нормальной формы Пуанкаре Метод нормальной формы Пуанкаре, применяемый для анализа нелинейных систем, не ограничен рамками колебательных механических систем, Применение его к собственно колебательным системам будет дано в следующем параграфе. Здесь же мы изложим его в общей постановке. ГЛ.
19. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 196 Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с аналитическими в окрестности нуля правыми частями: у1 = 11 (у1 уп ) у =1.(у у.) Здесь уь — комплексные переменные (1 < й < и). Будем полагать, что правые части в нуле обращаются в нуль, т.е. 11(О,, О) = 0 (/с = 1, ..., и) Записанная в виде рядов по степеням переменных эта система имеет вид У1 — — а11У1 + . + а1„у„+ ~~ 1, „У1 ' . У„" уа — 11а1у1 + ' . + ааауа + ~~~ оп~ .т„у1 ' ' Уа Суммирование ведется по всем положительным, целочисленным тпю удовлетворяю1цим условию сь 1п1ь > 2. Число и = 2 п1ь называется порядком нелинейного члена у, ', ..., у„". Поставим задачу. найти такую аналитическую замену переменных (у1, ..., У„) — 1 (г1,, г„), чтобы обратить в ноль максимально возможное число коэффициентов а, линейной части системы, а также и коэффициентов 1', нелинейной части вплоть до любого заданного порядка и включительно.
Вид системы, в котором до заданного порядка нелинейных членов никакое дальнейшее упрощение в классе аналитических замен уже невозможно, называется нормальной формой Пуанкаре до соответствующего порядка. Приведение к нормальной форме можно осуществить последовательно, начиная с линейной части. После упрощения линейной части приступают к упрощению членов второго порядка, затем упрощают члены третьего порядка и так далее вплоть до заданного. Задача упрощения линейной части хорошо известна: линейным преобразованием она приводится к жордановой форме, в которой матрица линейной части имеет отличными от нуля лишь две диагонали — главную, на которой стоят элементы, называемые собственными числами, и ближайшую к ней, на которой стоят либо нули, либо единицы.
Будем считать, что наша система уже упрощена по линейным членам (для механических колебательных систем это приведение з 42, НЕЛИНЕИНЪ|Е СИСТЕМЪ| !97 к нормальным координатам, или к главным осям). Кроме того, примем вначале, что жорданова форма чисто диагональная: у» = Л»у» +ЕУ», у1' ... у„" (|7 = 1, ..., и).
Суть применяемой процедуры нормализации полностью и во всех деталях выясняется при рассмотрении одного-единственного нелинейного члена в одном уравнении из п уравнений системы у, =Л,у„ у» =Л»у»+ /~у~ ', у Здесь уже гп|, ..., 7п„фиксированы. Так получается потому, что преобразование, изменяющее этот член, можно выбрать так, чтобы оно не меняло никаких членов низшего порядка, а также и никаких других членов этого же порядка. Нужное преобразование имеет вид (уы ..., у„) -4 (хы ...,7„): гх (57- |4), + 6» пы щ т.е, нелинейный член в преобразовании берется точно такого же вида, как и подлежащий уничтожению. Прежде чем ввести это преобразование в преобразовываемую систему, запасемся обратным преобразованием, которое с точностью до членов более высокого порядка отличается от прямого преобразования лишь знаком перед нелинейным членом: х»=у» — 6 уг у„"+ Если нас интересует выполнение лишь одного шага, т.е.
устранение рассматриваемого члена и появляющиеся при этом члены более высоких порядков нас уже не беспокоят, то в обратном преобразовании достатоточно ограничиться выписанными членами. Если же мы предполагаем продолжить процедуру дальше, то обращение преобразования следует выполнять с большей точностью. Дифференцируя обратное преобразование, получаем +гпаУ| . Уа | Ув" У ) Подставляя сюда вместо у» правую часть системы, а вместо у» его выражение через х», находим; 7» = Л»7» + |1» — ( — Л» + т|Л| + .. + гп„Л„)|7")х, ' ...
х„" + ГЛ. 10. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 198 Для того чтобы устранить рассматриваемый нелинейный член, следует выбрать и" из условия -Ль+т1Л1+ ... +т„Л„ Это возможно, если Ль ф т1Л1 + ... + т„Л„. Нелинейный член в й-м уравнении, у которого показатели т1,, т„таковы, что Лк = п)1Л1+ ...
+ т„Л„, называется резонансным. Резонансные члены не могут быть уничтожены никакими полиномиальными заменами, они вообще не изменяются при таких заменах. Устранение нелинейных членов одного порядка в общем случае осуществляется для каждого члена независимо от других: Уц=ть+~~ И", 21) ...2™" ()с=1,...,п). Суммирование распространено на все т1,..., т„рассматриваемого порядка гл1 + ... + гп„= )г. Поскольку все нелинейные члены одного порядка малости пребразуются независимо один от другого, то найденная выше формула для п~ справедлива и в общем случае: гь А/с '»)) ...)».
-Ль + т1Л1 + ... + т„Л„ Таким образом, нормальная форма — это форма, в которой в разложении правых частей по степеням переменных присутствуют лишь резонансные члены. Рассмотрим теперь случай недиагональной жордановой формы. Пусть для простоты имеется только одна жорданова клетка, соответствующая двукратному корню У1 =Л1У1 + У2 + У У1 У» " У2 =Л2У2, у, =Л,у, 1и > з > 2). Рассматривается присутствие одного нелинейного члена в первом уравнении, Как и ранее, из последующего будет ясно, что делать в общем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
