В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Она может быть разрешена явно относительно Ь: У А б чз. сВОЙстВА кОлеБАний нелинейных систем зоб Семейство амплитудно-частотных характеристик (параметром семейства рассматривается амплитуда внешней силы д), построенное по этой формуле, изображено на рис. 66. Основное отличие полученной характеристики для вынужденных колебаний нелинейного осциллятора от линейного случая, изображенного на рис. 59, состоит в наклоне резонансного пика вправо (для е > О).
В результате этого на оси частот появляется зона А1 аг Рис. б7 Рис. бб (от Ь1 до Ьт), внутри которой у осциллятора возможно существование трех значений амплитуды установившихся колебаний (рис. 67). Сами значения Ь1 и Ьт обладают тем свойством, что при сколь угодно малом отклонении Ь от них состояние системы может изменяться на конечную величину. Такое явление называется "бифуркацией", а значения съ1 и Ьз — бифуркационными значениями параметра А,. Изучим устойчивость найденных режимов установившихся колебаний. Для этого введем малое отклонение бее от стационарного значения га и на основе системы (ч) запишем систему уравнений в вариациях бхо =(1Ь вЂ” Ь вЂ” 2геА )бто — 1еге~бга, бйе —— (-1Ь вЂ” Л + 21еА~)буе + 1еге~бго.
Характеристический определитель этой системы бЬ вЂ” Л вЂ” 2кеАб — Л 'его 3 — 1Ь вЂ” А+ 21еА~ — Л 'его = Л'+ 2ЛЛ+ л'+ (ЗеА' — Л)(еА' — Д) = 0 ГЛ. 10, МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ позволяет выписать условия асимптотической устойчивости: Л > О, Л +(ЗеАз — Ь)(еА — Ь) > О. Наиболее существенным условием является второе.
Оно не зависит от р и в переменных (Ь, Аз) представляет собой гиперболу, изображенную иа рис. 66 и отделяющую область устойчивости от области неустойчивости (последняя заштрихована). Асимптотами гиперболы являются две прямые Ь = 3еАз и Ь = еАз. Если продифференцировать по А функцию (аа) и приравнять производную нулю, то можно убедиться, что геометрическое место точек, в которых семейство амплитудно-частотных характеристик имеет вертикальные касательные, совпадает с найденной гиперболой.
Таким образом, из трех возможных значений амплитуды установившихся колебаний устойчивым колебаниям соответствуют наибольшее и наименьшее значения, а неустойчивым — среднее. Часть У Однопа амет ичесхие г ппы Ли Глава П. Элементы локальной теории 3 44. Понятие группы Пусть С обозначает множество элементов произвольной природы (множество чисел, или функций, или каких-нибудь объектов геометрической природы и т.п.). Множество С называется группой, если: 1) На множестве С определена операция, которая любым двум элементам из С А й С и В б С, взятым в определенном порядке, ставит в соответствие единственный элемент С е С.
Будем называть условно зту операцию умножением и записывать ее так: АоВ=С. Операция, вообще говоря, иекоммутативиа, т.е. А о В ф В о А, что и определяет понятие порядка выбора элементов в произведении. 2) Существует элемент Е, такой, что для любого А б С имеет место А о Е = Е о А = А. Этот элемент называется единицей группы. 3) Для любого А б С существует элемент А ", такой, что АоА '=А 'оА=Е. Этот элемеит называется абрагпнмм злемеиту А. 4) Имеет место ассоциапгивнасть операции: А о (В о С) = (А о В) о С для любых А, В, С из С.
Примеры групп. 1. Множество всех рациональных чисел без нуля. Операция— арифметическое умножение. 2, Множество всех векторов иа плоскости. Операция — сложеиие. 3. Любое конечное число злемеитов с операцией, задаваемой таблицей хейли (в примере 5 злемеитов): о А В С Р Е А В С Р Е А В С Р Е А В С Р Е А В С Р Е А В С Р Е А В С Р Е ГЛ. Ы. ЭЛЕМЕНТЪ| ЛОКАЛЪНОЙ ТЕОРИИ 208 4.
Множество всех точек, лежащих на окружности. Операция— точке А, положение которой на окружности определено углом ул, и точке В с углом ун ставится в соответствие точка С, положение которой определяется суммой углов 'гс — 'Рл + Ул ° 5. Множество матриц и х п с неравным нулю определителем. Операция — матричное умножение. Примеры не групп, когда определенная на множестве операция не удовлетворяет каким-то из свойств 2-4. 1.
Множество целых чисел. Операция — умножение. 2. Множество векторов в трехмерном пространстве. Операция — векторное произведение, 5 45. Группа Лн. Примеры Нетрудно заметить, что в примерах 1, 2, 4, 5 на множестве элементов, составляющих группу, можно совершенно независимо от аксиом группы ввести понятие близости между любыми двумя элементами, в силу которого групповые операции оказываются непрерывными функциями, что позволяет на такие группы (они называются топологическими) смотреть одновременно с двух точек зрения; с точки зрения алгебры и с точки зрения анализа. Такое объединение оказывается весьма плодотворным, Это и используется самым существенным образом в теории групп Ли.
В настоящее время под термином групп Ли понимают более широкий объект, чем тот, который ввел сам Ли и который и будет рассматриваться далее нами. Под множеством С, на котором вводится операция, удовлетворяющая аксиомам группы, будет пониматься множество преобразований и-мерного вещественного арифметического пространства в себя д' = Я(д, а) (д б Л ). Переход от одного преобразования к другому осуществляется изменением параметра а.
Если параметр скалярный, то множество преобразований называется однопараметрическим. Параметр может быть векторным: а б Л Размерность этого вектора и ь определяет размерность множества преобразований. При этом все ам..., аь должны быть существенными, т,е, несводимыми при помощи преобразований к меньшему числу. Операция, вводимая на множестве преобразований д' = Я(д, а), есть композиция двух преобразований. Пусть, например, после преобразования д -+ д' с некоторым фиксированным а выполняется преобразование д' -+ 4п с некоторым фиксированным 6: д" = д(4', Ь). 3 43.
ГРУППА ЛИ. ПРИМЕРЪ| 2ОЭ Если композиция преобразований, определяющая преобразование Ч + Ч есть преобразование из того же самого множества (отвечающее какому-то другому значению параметра с), т.е. в =Я(д, с), то это и означает, что на рассматриваемом множестве преобразований определена операция (композиция двух преобразований из множества не выходит за пределы этого множества). Для того чтобы не интересоваться областью определения функций д' = Я(д, а) как по переменной у, так и по параметру а, предполагают, что преобразования определены на некотором открытом множестве иэ ||" и в достаточно малой окрестности некоторой точки а. Тем самым функция д' = Ч(д, а) определяет локальное семейство локальных преобразований. Определенпе Множество преобразований д' = Я(д, а) называется локальной группой преобразований Ли (в дальнейшем коротко; группой Ли), если; 1) Композиция любых двух преобразований определяет операцию на этом множестве, т.е.
есть преобразование из этого же множества. 2) Рассматриваемому множеству принадлежит тождественное преобразование (единица группы). Значение параметра а, определяющее тождественное преобразование, будем обозначать буквой е. 3) Для любого преобразования из множества существует обратное, принадлежащее этому же множеству, такое, что их композиция дает тождественное преобразование. 4) Функция д' = Я(д, а) является аналитической по переменным 4 и а в некотором открытом множестве изменения д и в некоторой окрестности единичного элемента е для переменной а. Заметим, что требование ассоциативности операции, необходимое при общем определении группы, здесь излишне, поскольку композиция преобразований этому свойству, очевидно, удовлетворяет.
Важнейшие примеры групп Ли. 1. Группа трансляций: у' = у+а. Здесь размерность параметра а такая же, как и переменной д. 2. Группа растяжений. д,' = а|д1 (1 = 1, ..., и), Если а; = а— скаляр, не зависящий от 1, то группа называется группой подобия. 3. Группа вращений: д,'. = ~ , 'а1|дг, где А = (ай) — ортогональная матрица А = А 1. Принято обозначение для втой группы — 50(п), что означает специальная, ортогональная, действующая в 11п 15 Зае 233 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОИ ТЕОРИИ г! О 4. Группа линейных преобразований: д; '= 2 айд при !(е! А ф ф О. Обозначение СГ(п) — общая, линейная. Если дополнительно потребовать !1ег А = 1, то получаем группу Яс".(и) — специальная, линейная.
5. Группа движений: д' = а+Ад, где Ау есть краткое обозначение 2 а, д и матрица А — ортогональная, 6. Аффинная группа: 9' = а+ Ад, где !(е! А ф О. 7. Проективная группа; о; = при ае1 2 айду+ 6; /а;, Ьг') ф 9 Еаууг+ Ь (а. Ь/ В стоящей под знаком детерминанта блочной матрице матрица А = (а; ) окаймлена столбцом из элементов 6О строкой из элементов а.
и последним диагональным элементом 6. 8. Группа отображений, сохраняющих площадь (и = 2). 9. Группа Лоренца (запишем ее в двумерном случае с традиционным обозначением переменных): 1 — их, х — и1 х Д „г' /1 Групповая операция. Композиция преобразований о' = фд, а) до = фд', 6) определяет преобразование ун = Ц(д, с), в котором параметр с связан функционально с параметрами а и Ь: с = 7(а, Ь). Эта функция, аналитическая в окрестности единицы (а = е и 6 = е), и представляет собой выражение групповой операции.
В примере группы Лоренца и г игх 1 — (и1 + иг)х/(1 + и!ог) /1 '„'г ! х — ог1 х — (щ + иг)г/(1 + и!ог) хо /1 „г групповая операция имеет вид и! + иг из = 1 + о1ог Связь прямого и обратного преобразований в терминах групповой операции такова. 7(а, а ') = 7(а, а) =е. з 46. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫИ ОПЕРАТОР ГРУППЫ О 46. Инфинитезимальный оператор группы. Алгебра Ли гы 4 = 4+ ДО(д) + Выписанная линейная по д часть группы называется ядром группы. Пусть в пространстве переменных и задана некоторая скалярная функция Р(о). Преобразования д -+ д' переводят функцию Р(д) -+ -+ Р(о'); дР РЯ = РЫ+ дЧ(4) + " ] = Р(4) + РОЮ вЂ” + дд Линейная по и часть приращения функции Р(д') имеет вид где У представляет собой линейный дифференциальный оператор первого порядка; д д и=и (4) — +" +ъ(~) до1 "' " до который называется инфинигаезимальнмм операгпором группы. Если группа многопараметрическая, то у нее столько операторов, сколько независимых параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
