В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Приведем выражения для инфинитезимальных операторов в перечисленных выше примерах групп Ли. 1. Группа трансляций: 2. Группа растяжений: д У,=д; — (1=1,...,п). ' дд< (о' = 2 д,д/д4, — группа подобия). 3. Группа вращений. Рассмотрим малую окрестность единичной матрицы в множестве ортогональных матриц: А = Е+дФ, где д — малый скалярный параметр.
нп Предположим вначале, что а — скалярный параметр. Заменой переменной а — ~ д: а = е+ р добиваемся того, что тождественному преобразованию всегда соответствует р = О. Пусть в уравнении группы о' = Я(4, д) мы имеем именно такой параметр. Разложим зто выражение в ряд по степеням и в окрестности нуля: з 46. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЪ|й ОПЕРАТОР ГРУППЪ| 213 откуда с точностью до д, получаем: дд| д||2 д д — + — = 0, и = н1 И„дз) — + 92(91, 92)— до1 дд2 ' ' дд1 ' дд2 9. Группа Лоренца: д д и = — +| —. д| дя' Пусть гп-параметрическая группа имеет гп операторов: и|,, ., и . Если все гп параметров существенны, т.е.
не могут быть заменами сведены к меньшему числу, то операторы линейно независимы (первая основная теорема Ли). Это означает, что не существует таких, не всех равных нулю чисел Л|, ..., Л, что л,и,+ ... +л и =о. В противном случае операторы называются линейно зависимы- МИ ЧИСЛа Л1,, Л,ь ПРИ ЭТОМ ПРЕПОЛаГаЮтСЯ НЕЗаВИСИМЫМИ От д. Линейная независимость этих операторов позволяет взять их в качестве базиса линейного пространства операторов, связанного с рассматриваемой группой. Любой элемент этого пространства есть оператор вида и=л,и,+ ...+л„и, где Л1, ..., Л вЂ” координаты оператора и в этом пространстве.
В этом пространстве можно ввести операцию произведения операторов. Пусть и и У вЂ” два оператора из рассматриваемого пространства. Введем произведение операторов, называемое коммутатором, так: [и, у]= иу — уи. Это означает, что действие оператора [и, У] на некоторую функцию Р(д) заключается в том, что нужно вначале подействовать на нее оператором У, после чего на полученную функцию подействовать оператором и и из результата вычесть то, что получается при действии на Р(д) этих же операторов в обратном порядке: [и, у]Р(9) = и(уР) — у(иР).
Такое определение требует проверки нескольких фактов, Вопервых, будет ли оператор [и, Р] оператором первого порядка? Прямое вычисление показывает, что возникающие вторые производные при вычислении и(УР) сокращается после вычитания У(иР). Если оператор и имеет вид и=~'9. — , д 'до1' ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОй ТЕОРИИ 214 а оператор У имеет вид то оператор [У, ь'] получается таким: [У,й']= 2 а,—, д 'д91' где коэффициенты а1(д) = У(1(9) — $'т~1(д).
Во-вторых, будет ли оператор [У, г'] принадлежать рассматриваемому пространству операторов, т.е. может ли он быть выражен линейной комбинацией исходных базисных операторов У;? Если заданы гп произвольных линейно независимых операторов, то произведение любых двух из них вовсе не обязано выражаться линейной комбинацией этих п1 операторов. Оказывается, что если эти т операторов являются операторами п2-параметрической группы, то произведение любых двух операторов из соответствующего этой группе пространства ему же и принадлежит (вторая основная теорема Ли): [У, ~'] = й У + ... + к У В силу того, что введенное произведение очевидно обладает свойством дистрибутивности по сложению, т.е.
то для нахождения констант Й1,...,к в случае произвольных У и г' достаточно знать эти константы для базисных операторов: Константы С называются структурными константами группы и определяют группу полностью. В-третьих, важно знать, является ли введенное произведение корректным в следующем смысле. Говоря о преобразовании пространства или какой-то его области, мы выражаем это преобразование с помощью координат 9. Если пространство отнести к другим координатам, например г, то те же преобразования, выраженные в виде функции от координат, будут иметь иной вид. Иной вид будут иметь и операторы (правило преобразования оператора при замене переменных будет приведено в 2 49). Зависит ли операция произведения операторов д 'дд1' г 47.
ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ггэ где а; = Убг — Угх, от того, в каких переменных она вычисляется? Другими словами, имеет ли значение, если вначале заменить в операторах переменные, а потом взять их произведение, или поступить наоборот? Несложная выкладка показывает, что все равно.
Введенное произведение не зависит от выбора системы переменных. Получившийся объект: линейное пространство операторов с введенной в этом пространстве операцией умножения называется алгеброй Лн. Алгебра Ли порождается группой Ли. Верно и обратное: если даны какие-то и линейно независимых операторов, таких, что коммутатор любой пары есть их линейная комбинация, то они порожцают некоторую и-параметрическую группу Ли (вторая обратная теорема Ли). Заметим, что коммутатор по каждому из аргументов линеен, т.е., например: [У, аУг + Щ = а[У, У1] + 6[У, Уг], где а и 6 — скаляры. Кроме того, он кососимметричен: [У, У] = — [У, У] и удовлетворяет тождеству Якоби [[У, У], И']+ [[У, И ], У]+ [[И, У], У] = б. Абстрактное определение алгебры Ли не связано ни с группами, ни с операторами и определяется посредством введения в линейном пространстве операции умножения билинейной, кососимметрической и удовлетворяющей тождеству Якоби.
Пример: трехмерное векторное пространство с операцией векторного произведения есть алгебра Ли, Пример. Группа 5Е(2). Операторы д д д д У1 =й,—, Уг=с,—, Уз=и — -ив дд ' ддр ' дйд дег образуют базис трехмерной алгебры Ли со следующим правилом перемножения операторов базиса; .[УО Уг] = -Уэ, [Уы Уз] = 2УО [Уг, Уэ] = — 2Уг. е 47. Однопараметрические группы. Теорема единственности В дальнейшем речь будет идти в основном об однопараметрических группах, В предыдущем параграфе уже упоминалась вторая теорема Ли: всякая и-параметрическая группа порождает и-мерную ГЛ.
11. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОЙ ТЕОРИИ 2!б алгебру, и обратно: всякая и-мерная алгебра Ли операторов порождает группу той же размерности. Теорема в случае и = 1 имеет нелокальный характер. Теореме. По заданному инфинитезимальному оператору У = = ~, Ч1д/дЧ; группа Ч' = Я(Ч, и) восстанавливается (с точностью до замены параметра д) единственным образом. Иными словами, знание производной по 22 функции в нуле определяет всю функцию полностью. (В случае функций, не имеющих отношения к группам, для построения функции, например, в форме ряда, необходимо знать все производные в нуле.) ,Показаглельстео. Рассмотрим малую вариацию параметра группы д+6д, приводящую и к малой вариации образа точки Ч: Ч'+ 6ч' = Я(Ч, д+ 6д). Подставим в правую часть этой формулы выражение для Ч: Ч=Я(Ч' и ') и воспользуемся групповым свойством Ч'+6Ч'=Я[Ч',Т(д-' д+6д)].
Разложим групповую операцию Т(д ', д+6д) в ряд по степеням 6д: Т(д ', и + 6д) = т(д-', д) + Г(д)6д + , где Т(д ', и) = О и Г(д) = дт(д1, д2)(дд2 при д1 = д ' и д2 = и. Таким образом, получаем Ч'+ 6Ч' = О[Ч', Г(ц)6п + ...] Раскладывая функцию Я в ряд по 6д, находим Ч'+ 6Ч' = Ч'+ Ч(Ч')Г(22)6д+ Переходя к пределу 6д — 1 О, имеем — = Г(д) Ч(Ч'). ~Ч' 6д Так как д в этом соотношении произвольно и оно (это соотношение) должно обращаться в тождество при подстановке в него Ч' = Я(Ч, и), то это означает, что группа Ч' = 1,)(Ч, и) может быть получена из этого соотношения, рассматриваемого как дифференциальное уравнение с начальным условием Ч'[„-б — — Ч.
При этом единственность группы следует из теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи Коши, что 3 47. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЪ| 217 в данном случае имеет место в силу аналитичности правых частей. Если заменить параметр 73 -> г: то найденное дифференциальное уравнение приобретает вид Правая часть его определяется лишь оператором группы.
Решая его, мы восстанавливаем группу полностью с точностью до указанной замены параметра. Теорема доказана. Замечание 1. Доказанная теорема означает, что между всеми одночленными группами в В" и всеми автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями с аналитическими правыми частями существует взаимооднозначное соответствие (с точностью до несущественной замены параметра). Замечание 2.
Параметр г = 13" Г(р)о73 носит название канонического. Построение группы при помощи решении автономного дифференциального уравнения определяет эту группу автоматически через канонический параметр. Каноничность параметра состоит в том, что групповая операция для него имеет простейший вид 73 = 71 + 72, а обратный элемент 7 '= — 7.
Пример. Найти групповую операцию и канонический параметр в группе подобия: Пусть ун = (1+н)д'. Тогда д" = (1+д+ и+пи)й и групповая операция 7(д, и) = д+ н+ 73и. Вычислим обратный элемент: Вычислим производную: = 1+И. д7 ди Находим функцию Г(д): Г(д)= —, д-Фд и и-+д, д7 -1 ди' 14 Зак. 233 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОЙ ТЕОРИИ 218 откуда Г(д) = 1/(1+ д). Канонический параметр Выражение группы подобия через канонический параметр имеет вид Ч' = е'Ч. Пример.
Рассмотрим проективную группу на плоскости. Один из ее операторов имеет вид 2 д д и =„— +„„—. дЧ1 дЧ2' Построим однопараметрическую подгруппу, порождаемую этим оператором. Дифференциальные уравнения, определяющие эту подгруппу, имеют вид ! ! Решение этой начальной задачи Коши и дает искомую подгруппу: Выбирая любой оператор из алгебры Ли операторов группы, можно построить таким образом все ее однопараметрические подгруппы. 8 48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
