В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В книге Н.Г.Чеботаревав он сформулирован так. Теорема. Если система г(д/г(т = К(д) допускает (гг — 1)- параметрическую разрешимую группу, операторы которой Уы ... , Уа г вместе с оператором А составляют линейно несвязанную систему, то рассматриваемая дифференциальная система интегрируется в квадратурах. Термин "разрешимая группа" как раэ и происходит от возможности использования таких групп для интегрирования в квадратурах систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Не приводя точного определения понятия ораэрешимая группа", приведем Чеботарев Н.Л Теории групп Ли. — Ма ГИТТЛ, 1940. ГЛ. Ы. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОИ ТЕОРИИ 234 критерий, позволяющий установить наличие этого свойства: лпараметрическая группа разрешима тогда и только тогда, когда ее структурные константы (см. 2 45) связаны условием (по 4,.4,й — суммирование (картан)). Расширение лоияглня груллм спммеглрил.
Вернемся к системе — = К(у) й с оператором А. Пусть дана группа с оператором и таким, что имеет место [А, и] = Л1(д)А. Используя формулу Хаусдорфа, выясним, как в этом случае изменяется рассматриваемая дифференциальная система. Последовательно находим [[А, и], и] = [л,А, и] = л,Аи — и(л,А) = = л,Аи- л,иА — (ил,)А = л,[А, и] -(ил4)А = (л, — (ил,))А = л,А где Лг = Л24 — (ил4) Аналогично и для других членов ряда.
Следовательно, формула Хаусдорфа дает А = Л(д)А. Таким образом, система е = К(е) группой д' = Я(д,т) в этом случае приводится к виду ! — = л(д') к(д'). Хотя уравнения и изменились, но фазовые траектории остались теми же, поскольку общий для всей правой части множитель Л(д') сокращается при делении всех уравнений системы на одно из них. Группа, удовлетворяющая условию [А,и] = ЛА, также называется группой симметрий. Она переводит фазовые траектории в фазовые траектории.
Теорема. Если дифференциальная система допускает группу симметрий в расширенном смысле, то эта система может быть поннжена в порядке. 1 5ь ФОРМУЛА ХАУСДОРФА. ГРУППА СИММЕТРИЙ 235 ! д 1 дА А, — ~ =ЛА или — — =ЛА. ' дгг~ дгг В терминах компонент оператора А зто запишется: дК; — — '=ЛК; (г=1,...,п). дгг Разделив все эти уравнения на первое,,получаем: дК, К; — — (1= 2,..., и). дк, К, Или, интегрируя, находим К; =С;Кг (г=2,..., п). Константа С; зависит от всех остальных переменных, кроме гг.
С;(гг,..., г„). Но полученное означает, что в канонических координатах группы П рассматриваемая система приобретает вид гг =КО г; =С;(гг, ..., г„)Кг (г = 2, ..., и). Разделив все уравнения на первое, приходим к системе меньшего порядка. Пример. Уравнение Блазиуса: игу /Лу'Л' г ду у — + ( — ~ +- — =О. д1 (, дЮ / 2 д5 Требуется понизить порядок.
Приведем предварительно это уравнение к нормальной форме Коши автономной системы; пх х иг д5 у 2у дя ау — =1 — =г, вт ' в'г ,доказапгельспгво. Выполним переход к каноническим координатам группы П: у -+ г. Тогда О = д/дгг и условие расширенной симметрии приобретает вид ГЛ. Ы. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОИ ТЕОРИИ 23е с оператором д д /х' хс1 д А= — +х — — ( — + — ) —. дх ду (, у 2у) дх' Ищем группу симметрий при помощи изменения масштаба: у=гну, г=ех, дх' э х' )с х'г' с2 ох' 1 с1с 1с ' п1/ б — = — х, Й сп й псу' гл2у'' Отсюда видно, что правая часть этих уравнений приобретает одинаковый для всех скалярный множитель, если з = (с и 1/)с = з/гп.
Следовательно, однопараметрическая группа симметрий (в расширенном смысле) имеет вид х = ьх, у = сс у, я =ха или х' = (1 + сс)х, у' = (1 + 2сс + ...)у, х' = (1 + д)с Оператор этой группы д д д У = х — + 2у — + х —. дх ду дх' Коммутатор операторов А и У в этом примере равен [А, У) = А. др др др х — + 2у — + х — = 1, дх дх дх д1 д~ ду х — + 2у — + х — = О, дх ду дх дг дт дт х — +2у — +г — =О.
дх ду дх Эта система представляет собой полную запись условий, которым должны удовлетворять канонические координаты, однако при практических вычислениях выписывать два нижних уравнения не Для понижения порядка системы достаточно перейти от переменных, в которых она записана, к переменным, являющимся каноническими координатами ее группы симметрий (х, у, г) — ~ (р, д, г): ч зт принцип суперпозиции Решений тзт хт х р=!пе, Ч= —, г= —.
у г Обратная замена: езг У= Ч ег г = —. г з = ег, Осталось найти вид оператора А в новых переменных; А = е г ~ — + [2Ч вЂ” — ) — + ~г+Ч+ — ) — ~ . [др [, г ) дч ~ 2 ) дг~ ' Следовательно, исходные уравнения в новых переменных приобретают вид — =е г, — =е г[2Ч вЂ” — ), ,д а [, г)' — =е г(г+Ч+ — ). (й 2 В этом примере видно, в чем состоит отличие случая, когда [А, У] = О, от случая, когда [А, У] = ЛА. В первом случае при переходе к каноническим координатам система теряет зависимость от одной из переменных, во втором — зависимость от одной из переменных присутствует лишь в виде общего скалярного множителя при всей правой части (в этом примере е г), что не мешает понижению порядка; дЧ Чт Йг Чг — = 2Ч вЂ” —, — = Ч+г+ —. пр г пр 2 суперпозицин решений в нелинейных дифференциальных уравнений ~ 52.
Принцип системах Рассмотрим уравнений. две системы обыкновенных дифференциальных дЧ1 — = 11(ЧН, Ч-), Й пЧ1 — „, = ~'1(ЧН, Ч ), =г (Ч1 Ч) дЧп дг Чл = 1ч(Ч~ Чл) требуется, поскольку все необходимые интегралы получаются уже из первого уравнения: ГЛ ||. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 238 Или, в краткой записи: — = 1(у) и — = г'(у). ду й а'т Этим системам соответствуют группы у' = и(у, |), у' = и(у, т), представляющие собой решения этих систем с начальными условиями у'(0) = у.
Операторы этих групп: д д д А =Л вЂ” + . + У. — = У(у) —, дут ' " ду„ду ' д д д В =Р, — + ... + Ä— = Р(у) —. ду| ' " ду„. ду Рассмотрим композицию пробразований из разных групп, т.е пусть у = и(у, |), у = и(у, т) = и[и(у, |), т]. Выполним эти же пребразования (при тех же фиксированных | и т), но в обратном порядке: у' = и(у, т), уо = и(у', |) = и[и(у, т), |]. Зададимся вопросом, когда композиция не зависит от порядка выполнения преобразований? Если такое случается, то говорят, что указанные две группы коммутируют: и[и(у, |), т! = и[и(у, т), |].
Утлверждеиие 1. Группы коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют их операторы. ,~7оказаптельсятво. Воспользуемся экспоненциальным представлением групп (8 48); и[и(у, т), |] =е и(у, т) = е 'е 'у, ] Вт ( |) Вт Ак Следовательно, группы коммутируют, если Ат Вт Вт Ат Ч а2, принцип суперпозиции ркшкний 239 Для этого необходимо и достаточно, чтобы АВ = ВА (или [А, В] = О). Успверждеиие 2.
Если группы коммутируют, то их композиция есть также группа при условии отождествления параметров / = г, т е, и[о(д, /), с] — группа, Справедливость этого утверждения следует из того, что при условии коммутирования имеем ( /) /] хс вс вс м /а+в/с Стоящая в правой части экспонента представляет собой группу с оператором А+ В. Теорема. (Принцип суперпозиции в нелинейных системах). Если система дифференциальных уравнениЯ Ч = — / = У(д) + Р(д) Ыд такова, что операторы систем д = /(Ч) и д = г'(Ч) коммутируют: [А,В] = О, то решение этой системы является суперпозицией решений систем д = ~(д) и Ч = Р(Ч)' Ч = и[и(до /) /] = о[и(Чо /) /! где до — начальное условие. Доказатиельство вытекает из доказанных утверждениЯ.
Пример. Пусть имеем систему у = ху — Лх. *= ух+ Лу, Разобьем ее на две системы так: (1) х=/сх, у=/су; (2) х = Лу, у сх — Лх. Операторы составляющих систем А=/с х — +у —, В =Л у — — х— коммутируют: [А, В] = О. Решение системы (1): * = хо ехр(/с/), у = уо ехр(/с/). ГЛ. ы. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОй ТЕОРИИ 240 Решение системы (2)'. х = хосозЛ2+ уояпЛ2, у = — хоз10Л2+ уосозЛ2 Решение полной системы есть суперпозиция этих решений в любом порядке (вместо начальных данных одной системы ставятся решения другой): х = еы(хосозЛ2+уоз10ЛЮ), у= е~~(-хоз20Л2+уосозЛС). Е 53.
Теория продолжения На задачу преобразования дифференциальных уравнений можно посмотреть несколько иначе, чем это было сделано в 250. Пусть, к примеру, требуется выяснить, как изменяется группой система дифференциальных уравнений, записанная в следующей форме: Р(2,д,д)=О, где 1 — независимая переменная (время), а д и Р— и-мерные векторы. Пусть в пространстве (2, д) действует группа 2'=2+с(2, д)т+ .. д~ =д + д(2, д) т + Введем обозначение д = р и будем рассматривать систему Р(2, д, р) = О как уравнения многообразия в пространстве переменных (2, д, р).
Поскольку эти переменные по смыслу связаны, то и преобразование, которое индуцирует рассматриваемая группа в таком пространстве, будет целиком определяться коэффициентами б(2, д) и р(2, д): 2'=2+((2, д)т+ ..., д' =д+ д(2, д)' + р' =р+ ~(~, д, р) т+ .. где ~(2, д, р) должна определяться однозначно этими коэффициен- тами. По определению, пд' Йд' й' д+т)т+ ... р' = —, = — / — = . '' = д+ (и — дС)т+ й' й й 1+~т+ где д и б есть полные производные по Е дд дп.
дб д4. ч= — + — д, 1= — + — д дз дд ' де дд г 53. ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ 24) Следовательно, Д(, д, р) = з) — рб. Продолженная таким образом группа в пространстве переменных ((, р, д) называется группой первого продолжения, а ее оператор — оператором первого продолжения; (з) д д д ((= б((, ч) — + ч(" д) +(,(г 9 Р) д( ' дд ' ' др' Аналогично можно рассмотреть преобразование систем уравнений, содержащих производные любых порядков.
Инварианты продолженной группы называются диффереиз(иальимми инварианпзами группы. Пример. Найти дифференциальные инварианты до второго порядка включительно группы вращений д д и =у — — ( — (у — р) д( д() Поскольку б = а, а г) = — (, то ~=у — М=-) — у г и оператор первого продолжения имеет вид (з) д д .г д и = (( — — ( — — () + у') —. д( дд да Для нахождения оператора второго продолжения имеем дд дд~ уЙз ()ч = — = — / — = Ч+ Ы вЂ” й') + Й' Й Й откуда б((, а, а, а) = ~ — дб = -2да — аа' = -Заа.
Следовательно, оператор второго продолжения таков: (г) д д д д и = у — — ( — — (1+ у') —. —. Зй —... д( дд да ' да' Нахождение дифференциальных инвариантов сводится к нахождению первых интегралов следующей системы: -д ( )+дг Здд зт зак гзз ГЛ. 1Е ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОИ ТЕОРИИ 242 Из первого уравнения Сс = с/сг+ Чг. Из уравнения /С2 г 1+ Чг получаем Сг = агсгй — — ассгЕЧ, гйСг = Ч Ч вЂ” Чс'с г ' 1+ чч/г' Наконец, из уравнения й й 1 + Ч' ЗЧЧ находим Сз (1+ чг]з!г(ч Этот инвариант имеет смысл кривизны кривой. Интегральные инварианпсм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
