В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Рис. 70 Группой симметрий этой системы, очевидно, является группа подобия с оператором У = ид/ди+од/ди и каноническими кординатами и а= —, р =1пи. 9' Суслаа ПК, Теоретическая мсхаиика. — Мс Гостахиадат, 1946. ГЛ. ы. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ Используя их в качестве замены переменных в рассматриваемой системе, приводим ее к виду а = ехр( — 13), 1) = -ехр( — )г)(1+ а ) Отсюда получаем с очевидным решением а = -в)г 11, имеющим в исходных переменных вид 1 и = -(1 — е~).
2 Подставляя это выражение в уравнение 0 = — е/ш, приходим к уравнению 2и 6 = — , э(0) = 1, 1+„г' Решая это уравнение, находим ег 1 1пю+ — = -21+ —. 2 2 Если разделить уравнение е = — 2е(1+ег) ' на у = е, то получится уравнение 1 ~1у = — -(1+ е~) Й~, у(1) = О, 2 откуда следует В Ю 2 у 2 6 3 Система е '~" ,( (1 „е) (Ц 0 4 е 1 4 2 3 определяет в параметрической на рис. 71. Разделив далее х = и на 2и = 1 — иг, получим г — — -1пе, 4 2 „з 2 6 форме решение у(г), изображенное 6 = -2э(1 + эг) ' с учетом, что 1 55. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ 259 2/3 3/8 Рис.
71 Рис. 72 Отсюда следует параметрическая форма решении х(1): 1 пг 1 1 =- — — — -1пш 4 4 2 1 1, 1 х = — — + — п — — 1пв, 16 16 4 изображенная графически на рис. 72. 3. Задача о траектории преследовании. Пусть в плоскости (рис. 73) движутся две точки. Преследуемая точка движется с постоянной скоростью и на постоянном расстоянии 1 от горизонтальной оси. Преследующая точка движется х в с постоянной по модулю скоростью и > и, направленной вдоль прямой, соединяющей обе точки. В начальный момент времени прямая, соединяющая две точки, препендикулярна горизонтальной оси, а расстояние ме- х' жду ними равно 1.
хТТ> Требуется найти время до встречи. Рис. 73 Будем рассматривать положение преследуемой точки (х, у) в системе координат, начало которой совпадает с преследующей точкой. Закон сложения скоростей дает и +х=и, ох+у=О, где ех юу ,/хг+ уг' " / г+уг' Отсюда и следуют уравнения движения преследуемой точки в системе, в которой неподвижна преследующая: юх уу /хг + у2 /хг + уг ГЛ. ы.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ гбо Эти уравнения полностью идентичны уравнениям для скоростей в задаче Суслова. Все процедуры, примененные в предыдущем пункте, могут быть применены и в этой задаче. Переход к каноническим координатам группы подобия (е, у) -с — с (а,)г): а = е/у, ф = )и у позволяет получить — = — — ~/1+ аг, 11(0) =!п1, а(0) = О, с1)3 э Обозначив и/о = )с, запишем решение этого уравнения: а = — э)с )с()3 — 1п1). После чего из уравнения для )3: ое ~/Г+ а~ выводим евс)с *и(/1 — 1п1) с!се = -э! + С или ф!ьес) 1ь фН-ь) '! 2 )с!" (й+ 1) 1 — )с ) При 1 = 0 )3 = !п1, что позволяет найти С: При 1 = Т (момент встречи) ф = — оо, поэтому 1( — оТ+ — ~ — + — = О, 2 (,1+ )с 1 — )с) откуда 1э э(1 ьг) „г пг.
О 07. Уравнения Пуанкаре Пусть имеется механическая система; Т вЂ” ее кинетическая энергия, (/ — потенциальная. Пусть дь ..., д„— локальные (обобщенные) координаты этой системы, дс,..., д„— обобщенные скорости. з ЭТ. УРАВНЕНИЯ ПУАНКАРЕ 261 Пусть, наконец, в области определения системы действует локальная группа Ли, обладающая свойством транзитивности (говорят, что группа транзитивна, если для любых двух точек пространства положений существует преобразование из группы, переводящее одну точку в другую).
Группа транзитивна тогда и только тогда, когда алгебра ее операторов содержит и линейно несвязанных: и, =б,— + .. +б„—, ,д,д дй1 ' ' "дд„' „д „д и„= (," — + ... + ~„" —. ' дй, ' " д,„ Векторы б' = Й1,, Ю,, Г = Ы~,, б") образуют в пространстве й базис, по которому можно разложить обобщенную скорость: 1) =Ы'+" +ъс" Выберем в качестве фазовых переменных системы переменные И1,,Ч,Ъ,,Ъ) Подставляя в выражение для кинетической энергии Т(й, д) это представление для обобщенной скорости, получим функцию Т(е, и) (для простоты новую функцию обозначим той же буквой). Воспользуемся принципом наименьшего действия по Гамильтону: б5 = б (Т вЂ” У) д1 = О.
Вычислим вариацию кинетической и потенциальной энергии: 6Т = ) — бО1+~~ — дЬ, бУ = ~ — бдь дТ дТ дУ дп1 ' дд; " де1 Вариацию 6д; спроектируем на базис: С1,..., б": бд = бы1Г'1 + ... + бы„С", бд1 = АД~ + ... + бм„б,"..
ГЛ.Н. ЭЛЕМЕНТЪ| ЛОКАЛЬНОЙ теОРИИ гег Вариацию бд также надо выразить через би, для чего продифференцируем последнее соотношение: /дс' . дс' . бд =бы,с'+ ... +Ы„("+бы, — д|+ ... + — д„+ 1,дд~ ' ' ' дд„" /д~Р д~л +бы»1 — дз Р + — дп "~дд, дд„" Заменяя в этом равенстве д на д, находим бд =Ы1с'+ ... +быД" +бы1~~~ — ~~~ где+ д(' ддь д~п ..
+ бы„ ~ — ~~~ д<(„'. " „ ддь С другой стороны, вычисляя вариацию от д = ~'ь д;С", находим бд =бп с'+ ... +бъГ+ и ) — бд + ... + — бд + ... /д~' д~' ~,дд1 ''' дд„ /д~л Цй "+дв ~ — бд1+ + — бд. "~,дд~ ''' дд„ Мы получили два представления для бд, приравнивая их друг другу, выводим (бт~~ — бац)~' + ... + (бд — бма)(" + ~~~ д, ~ — ~ ~бы;4»вЂ” дс* дь д(' -~бы,~~ — ~ г~;Я =О. ддь Меняя обозначения индексов г < — + з, получаем (бу~, — бац)(1 +,, + (бд„— бы„)(" + ~~~ ц; ~~ д4' ддь Или, иначе (бт>1 — Ы1)с'+ ... + (бд„— бы„)с" + / дс' .
дб' .,'.г'ць,г' — д — — Е) =О. з Ьт. УРАВНЕНИЯ ПУАНКАРЕ Заметим, что есть вектор компонент коммутатора (У„ Ут]. Поскольку операторы группы образуют алгебру, то где С,'; — структурные константы группы. Следовательно, (бт~! — Ы!)б' + ... + (6т>а — бы~~)б"+ +" т!тЫ,С,'тб' + ... + ~~! тттбьт,С,",б" = О. Отсюда находим Вариация действия примет вид дТ дТ вЂ” ах — ~~ т1! — бы, С,"т+ дт!ь, ' дт!ь т' дТ, дУ +~ ~ — бы,б,' — — бы,(„*( (,ддь ' дтть ' "у' В первом члене применим интегрирование по частям: / дТ . дТ Р 1д дТ вЂ” бык й = — дать ! — / — — й~ь й. дт~фс дт~ф, ]та ./ й дт~ь В силу независимости бать отсюда получаем уравнение Пуанкаре д дТ дТ вЂ” — +~ — ~,С„',=а,, й дтпл,, дтт! где ~(дт т тт „) т — обобщенная сила.
Гл. 22 ГРУппы симметРий УРАВнений 2бл Частным случаем уравнений Пуанкаре, очевидно, являются уравнения Лагранжа. В динамике твердого тела роль переменных гй могут играть компоненты вектора угловой скорости тела в проекции на связанные с ним оси. В этом случае уравнения Пуанкаре переходят в уравнения Эйлера. Глава 12. Группы симметрий уравнений классической механики 8 58.
Первый закон Ньютона. Инерцнальные системы Обычно формулировке второго закона Ньютона предваряют формулировку первого закона. "В евклидавом пространстве всегда можно найти гпаков тело отсчета и такую связанную с ним декартову систему координат, а также такай способ измерения времени г, что любая материальная тачка, на которую не двйсгавуют силы, описывает прямую или неподвижно." Этот закон служит для определения понятия инерциальной системы отсчета, после чего для любой такой системы формулируют второй закон Ньютона. Такой способ введения аксиом механики содержит противоречие. Действительно, пусть в соответствии с первым законом инерциальная система отсчета найдена: (2, г, у, г).
Любая свободная материальная точка движется в ней прямолинейно и равномерно. Перейдем к системе отсчета (гн гы уы г1) по формулам П=г+ыг, г1=г, у2=у, г1=г. Поскольку линейным преобразованием все прямые переводятся в прямые, то и в этой системе рассматриваемая точка движется равномнерно и прямолинейно. В соответствии с первым законом Ньютона и ее следует признать инерциальной. Но это войдет в противоречие со вторым законом, который в этой системе, как легко проверить, не имеет места.
Приведенная система координат не является искусственной и имеет ясный физический смысл. Представим себе поезд, идущий на восток. Пассажир следит в окно за километровыми столбами и видит установленные на них часы, показывающие местное время Километры на столбах и время на их часах и образуют указанную в примере систему координат (разумеется, в областях, размеры которых малы по сравнению с радиусом Земли, чтобы ее формой можно было не интересоваться). Заметим, что кажущаяся искусственность в способе введения времени в этом примере на самом деле представляет собой вопрос конкретного технического устройства часов. Можно, например, представить себе часы, внутри которых вмонтирована инерциальная навигационная система, ~ 58. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЪЮТОНА. ИНЕРЦИАЛЪНЫЕ СИСТЕМЪ| 265 непрерывно ведущая счисление координат местонахождения часов и вносящая в их показания необходимую поправку.
Если бы у людей никаких других часов пе было, то они могли бы и не подозревать, что существует какой-то иной способ измерения времени, При этом в примере с поездом пассажир, имея на руке такие часы, был бы избавлен от необходимости переводить стрелки при попадании в другой часовой пояс. Для устранения противоречия следовало бы оговорить синхронизацию часов во всех точках пространства. Однако описание процедуры синхронизации вносит серьезные осложнения в формальную аксиоматическую конструкцию классической механики. Гораздо проще оставить свободу в выборе способа измерения времени в любой точке пространства, а первый закон Ньютона считать лишь необходимым условием ииерциальности выбранной системы отсчета. При таком подходе необходимым и достаточным условием инерциальности системы отсчета становится выполнимость в ией второго закона Ньютона, но в таком случае первый заков теряет самостоятельное значение, превращаясь в следствие второго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
