В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Уравнение Лиувилля. Инварианты. Собственные функции Пусть группа задана через канонический параметр г: Ч' = Ч+ Ч(Ч)г+ и ей по доказанному выше эквивалентна система д, = Ч(Ч') Й~' ! Вернемся к вопросу о преобразовании с помощью этой группы некоторой функции Г(Ч). Если Ч -> Ч', то Р(Ч) -+ Р(Ч') = ~(Ч+Ч(Ч)г+ ) — = Р(Ч, ) ! Ч1 Ч1 = 1 гЧ1 Ч2 Ч2 1 — гЧ1 2 48. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ. ИНВАРИАНТЫ 219 Определим производную этой функции по т: дР дР дд' — = — — = — п(~') = с1Р. дт дд' 6т до' Найдем связь преобразованной функции Р(д, т) с исходной функцией Р(о) и оператором группы У.
Ряд Тейлора для Р(д, т): Р(о, т) = Р(9, О) + — ~ т+ Последовательно имеем: — = — = иг(9'), — ~ = иР(д), дР ИГ, дР дт дт ' дт =о д2Р дт2 (.-о Р(о, 0) = Р(д), д2Р,~2Р— = — = у2Р(д'), дт2 дт2 и так далее. В результате искомую связь находим в виде ряда: т 2 Р(д') =- Р(ч ) =Р(о)+.(Р(д)+ р(~Р()+ Этот ряд называется рядом Ли. Он может быть записан еще в такой форме: Г(д') = е' г"(д). Ряд Ли и служит для определения операторной экспоненты.
Дифференцируя ряд Ли по т, находим дР— = иР+ ти'Р+ ... = иР+ тиР+ ...) = иР. дт Уравнение дР(о, т) дт носит название уравнения Лиувилля. Или, в более подробной записи; дР дР— = ~,ъИ)— дт д21 14* Дополнив это уравнение начальным условием Р(д, О) = Р(д), получаем начальную задачу Коши для линейного уравнения в частных ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОй ТЕОРИИ 220 производных относительно искомой функции Р(Ч, г), эквивалентную системе нелинейных дифференциальных уравнений: — = Ч(ч') пч ! дг Эквивалентность понимается в следующем смысле. Если известно общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравне- ний Ч' = (~(Ч, т), где Ч вЂ” начальные условия, то решение уравнения Лиувилля есть где функция Р'(Ч) определяет начальные условии для уравнения Лиувилля. Обратно, если известно решение начальной задачи Коши для этого уравнения: Р(ч, г), то, выбрав в качестве начальной функции Р(ч) = Ч, получим общее решение Ч' = Я(Ч, г) системы ! — „, = Ч(ч') Указанная эквивалентность позволяет заменить изучение нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений часто более удобным изучением линейного уравнения первого порядка в частных производных Ряд Ли для частного вида функции г'(Ч)— : Ч позволяет записать выражения для группы в виде ряда Тейлора по г: гг г 2! Пример.
Восстановить группу вращений ЯО(2) по ее оператору У = Чгд/дч1 — Ч1д/дчг. Последовательно находим: У Ч1= — УЧ1= — Ч,. в У Чг — УЧ2 = Ч1, У Ч1=Учг= Ч1, 2 У Чг УЧ1 Ч2 Учг = чг УЧ2 — Ч' Следовательно, Ч1 =Ч1+ = Ч1 сов г + Чг вгп г, ! Ч2 Ч2 = - Ч1 в1 и г + Чг сов г. гг гчг Ч! 2! тг гЧ1 Ч2 2! в 3' в + — Ч1+ ... 3! 2 48. уРАВнение лиуВилля. НИВАРНАнты 221 Определение. Функция СИ) называется инвариантом группы, если она не изменяется группой: СИ') - =СИ) Ряд Ли показывает, что для того чтобы аналитическая функция своих переменных была инвариантом группы, необходимо и достаточно, чтобы она была корнем оператора группы: УС(д) = О для любого о. Свойство инварианта. Пусть С(д) — инвариант, а Р(д) произвольная функция.
Тогда У(СИ)Р(~)] = РИ)УСИ) + С(~)УР(~) = СИ)УРИ), т.е. инвариант группы играет роль константы для ее оператора. Определение. Функция Р(о) называется собственной функцией оператора У, если УР(д) = ЛИ)Р(д), где ЛИ) — инвариант, называемый в данном случае собственым значением, отвечающим собственной функции РИ). Если Р(о) — собственная функция оператора У, то она преобразуется соответствующей этому оператору группой так: РИ, ) = СИ, т)РИ), где СИ, т) — инвариант группы при любом фиксированном т: т 2 СИ, т) = 1+ тЛИ) + —,Л И) + .. Очевидно следующее свойство собственных функций оператора.
Если Р|И) — собственная функция с собственным значением Л|И) а Р2(д) — собственная функция с собственным значением Л2И), то У(Р1~ 2) — (Л1 + Л2)Р1~ 2~ те. Р|Р2 — тоже собственная функция с собственным значением Л,+Л,. Инвариантное семейство поверхностей. Если функция СИ) есть инвариант группы, то приравнивая ее произвольной постоянной: СИ) = С, получаем семейство гиперповерхностей, каждая из которых преобразуется сама в себя.
Иными словами любая такая гиперповерхность является инвариантной. ГЛ. ||. ЭЛЕМЕНТЪ| ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 222 Представляет интерес несколько другая ситуация. Пусть задано некоторое семейство гиперповерхностей: ы(Ч) = С. Причем ы(Ч) инвариантом группы не является. Таким образом, преобразование группы изменяет каждую конкретную гиперповерхность семейства. Нас будет интересовать случай, когда при таком изменении они переходят в другие гиперповерхности того же семейства. Такое семейство называется инвариантным.
Пример. Семейство прямых, исходящих из начала координат в плоскости (Ч|,Чз): Ч|/Чз —— С, ЯвлЯетсЯ инваРиантным семейством группы вращений. Найдем условие, которому должна удовлетворять функция ы(Ч), чтобы она определяла инвариантное семейство. Пусть ы(Ч) = С и о(Ч) = || — два представления одного и того же семейства. Каждая гиперповерхность одного представления конгруентна некоторой поверхности другого. Это значит, что для каждого значения С первого представления найдется такое значение Ч второго, что оба представления определяют одну и ту же гиперповерхность. То есть /с есть функция С; /с = ДС), Но тогда и п(Ч) = |[|и(Ч)].
Таким образом, условие инвариантности семейства состоит в следующем; Раскладывая это условие в ряд по г, находим 12 |й(Ч, г) — ы(Ч) + г|1[(|и(Ч)] + 12[|и(Ч)] + Сравнивая этот ряд с рядом Ли, получаем условие инвариантности семейства в виде Это условие можно представить в более удобной для приложений форме, если избавиться от произвола в выборе функции Л. Будем искать из него не ы(Ч), а некоторую функцию от этой функции: й[ы(Ч)]. Поскольку й[ы(Ч)] определяет то же семейство, то ий[ (Ч)] = Л[ (Ч)], откуда следует Пользуясь произволом в выборе й(|и), положим ||й — = л(сы).
|ви г чэ. линкйнык урлвнкния с частными н~ оизводными ггз Это приводит к условию иы(Ч) =1, которое и будем считать основным для нахождения инвариантного семейства. 9 49. Линейные уравнения с частными производными Как видно из предыдущего, э~дача нахождения иивариаитов и ипвариаитиых семейств приводит к необходимости рашать линейные уравнения с частными производными д~~ д<~ Ч (Чн, Ч-) — +" +Я (Ч, ",Ч-) — — Я-+ (Чн, Ч., ) дЧ1 Чп В случае поиска инвариаита уравнение однородное, т.е. Я„+~ = О.
Если ищется инвариантное семейство, то уравнение неоднородное. Рассмотрим вначале однородное уравнение, Поставим ему в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений ~И пЧг '~Чп Я1 Яг Я» Теорема. Функция ы(Ч) тогда и только тогда является решением уравнения ды ЕЯ' — = О, дв когда опа есть первый интеграл написанной системы. Доказагпельстлво следует иэ отмеченной в предыдущем параграфе эквивалентности уравнения Лиувилля соответствующей ему системе обыкновенных уравнений. Решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного уравнения, если искать это решение в неявной форме: Ф(ы, Ч) = О.
Тогда ды дФ (дФ дЧь дЧь ды и после подстановки в ~~~ Я;ды/дЧ; = Я„+1 получаем дФ дФ 91(Ч) — + ... +Я.+,— =О. дЧ1 " ды ГЛ. г!. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОИ ТЕОРИИ 224 Общее решение этого уравнения есть произвольная функция первых интегралов системы !гд! !й~/ Я! Яь+! ' т.е. Ф = 7~а!(д, ы),..., а„(д, ы)], Приравнивая ее нулю и разрешая относительно ы, и получаем решение исходного неоднородного уравнения.
Пример. Найти инвариантные семейства группы вращения: д д !! =Чг Ч! дд! ддг Условие инвариантного семейства ды дь!' Уы = Чг — — Ч! — = 1 дд! ддг Этому уравнению соответствует следующее однородное уравнение: дФ дФ дФ Чг — — д! — + =О дд! дд2 ды Эквивалентная система обыкновенных уравнений <Й! ад 2 Ч2 Ч! 1 имеет следующие первые интегралы. Из уравнения пд! пдг Чг Ч! находим о! = !)Ч! + Чг.
2 2 Из уравнения й йд! получаем аг —— ы — агсзгп — = ы — агсзгп = м — агсгй —. Ч! Ч! Ч! и! ~д! + Чг Я 50. КАНОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ГРУППЫ Общее решение однородного уравнения есть Ф = Р(оъ аз) = Р (/Я1+ Яз~, ы — агссб — ~ . Яг1 Ч2 Приравнивая его нулю и разрешая относительно ы, имеем ы = агсСŠ— + Р(Ч1+ Я2) Я1 Чг где Р— произвольная функция. Если Р = О, то агс~б(Ч1/яз) = С определяет пучок прямых, проходящих через начало координат. Если Р = ~/ЯЧ1 + Яю то аггее(Ч1/Чз) + Х/Д + Яз = С определяет семейство спиралей Архимеда. й 50.
Канонические координаты группы Вид оператора однопараметрической группы У = ~, я;(Ч)д/дя;, действующей в пространстве переменных я, зависит от выбора координат я. Выясним, как изменится зтот вид, если от координат Ч перейти к координатам г по формулам г = Е(я).
Пусть в новых координатах оператор имеет вид й =~ Гн(г) —. д дг; Ему соответствуют дифференциальные уравнения группы Нг' — = 6(') с!г Запишем для каждой из компонент функции В(я') уравнение Лиувилля — ' = УЩ, ЫЯ; пг откуда следует Я;(") = ил;~ 'ч'=и 'р') Таким образом, формула замены переменных в операторе имеет следующий вид: ' д Ф ГЛ.ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
