В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Рассмотрим следующие три типа интегралов: гсэ .7! = Ф(сс Ч, Ч, ... ) ссс, ,7г = Фь (Ч) ссЧь с сс 7з= Ф(Ч)ИЧс, ИЧ . Интеграл,7с представляет собой функционал на траекториях Ч(с). В интеграле,7г имеется в виду суммирование по й. Пусть имеем группу отображений: Г =г + б(г, Ч)с + ..., Ч' =Ч+ п(г, Ч)г+ ... Вычислим указанные интегралы в новых переменных, но с теми же подынтегральными функциями: гс' ,7с' = / Ф(~', Ч', Ч', ) йг', 7г = ~ Фь(Ч') ~Ч', с', ~7 л=С с'ссс'сссс .ссс В общем случае зти интегралы становится функциями г: 71'(г), 72(г), 73(т). 3 53. ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ 243 Определение. Указанные интегралы называются интегральными инварпанпбами рассматриваемой группы, если 71'( ) = — 7), 72(т) - =72, .73(т) = .7з Для этого необходимо и достаточно, чтобы Ы.71' — = О ь72 —— : О ~ 7з — = О.
пт Гб~[т+бт) ,7,'(т+бт) = / Ф(М'(т+бт), д'(т+бт), ...]й'(т+бт). б',бт+бт) В полученном интеграле выполним замену переменных )'(т+ бт) ) )'(т), 4'(т+ бт) -б д'(т) по формулам й' )'(т+ бт) =б'(т) + — бт+ .. б)т Р 4'(т + бт) =4'(т) + — бт + . Йт Поскольку, в силу теоремы единственности группы (346), й' Р— = б(б', )'), ~ = п(б', д'), то написанный интеграл приобретает вид ;1,' Г ,71(т+бт) = / ~ф(б', д', д', ...) + — бт+ ... д(б'+((б', д')бт+...), дт 1и) Учитывая, что б)Ф/Ыт = О) Ф, получаем ,7,'(т+ бт) = / Ф()', д', ...)й'+ бт / ~() ф+ — ф й'-)-,, 1', б( 17' Найдем, каким условиям должны удовлетворять функции Ф(б, д, 4, ..
), Фг(д), Ф()), чтобы соответствующие интегралы были интегральными инвариантами заданной группы. Начнем с первого интеграла и рассмотрим малое приращение параметра группы т+ бт: ГЛ. Ы. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 244 Отсюда следует: ,7((г+бг) —.7,'(г) б(,7( Г" бг(и) бг-ие Бг А 1 Для того чтобы на любых траекториях д'(Р) было б(,7,'/Иг = О, необходимо и достаточно У Ф((', д', д',...) + г,(Г, д')Ф(Г, д', д',... ) = О. Поскольку это выражение явно от г не зависит, то (', д' имеют смысл немых переменных, и штрихи можно опустить; (и) У Ф+сф = О. Последнее соотношение и выражает собой критерий интегрального инварианта 7О При вычислении производных по параметру группы от,7' и,7' поступаем совершенно аналогично. Поскольку в подынтегральных функциях время не присутствует, то и в группе преобразований можно положить с((, д) = О.
В результате находим (по (, (, )б — суммирование), Д 1 — 3 = /(Уф+ фб1т») ~Цг ~Ц~' ббт,/ Отсюда и следует критерий инвариантности 72: и критерий инвариантности .7з.' УФ+ Фйтб) = О. г вз. ТЕОРИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ Пример. Найти интегральные инварианты вида сс группы вращений. Продолженный оператор группы имеет вид (") д д .г д - д и = д — — с — — (1+ д') —. — з()д —,. + дс дй д4 д) Условие инвариантности сс: (М дФ дФ,г дФ ...дФ и Ф +бФ = й — — С вЂ” — (1+ ео) —, — Зее' — + ... + еФ = О.
дс дй д(( дд Соответствующая система обыкновенных уравнений: сй ~Ц йд' (Ьу дФ вЂ” д с 1+ дг 3()д' 4Ф Уравнения, не содержащие Ф, позволяют вычислить дифференци- альные инварианты до и-го порядка включительно: сч — Ч (1 + 4')'I' С, = ~/Сг + дг, Сг = с+ дд' д' Из уравнения 4/(1+ юг) = дФ/(дФ) находим Ф = С~/Г+дг или Ф С= /1+ 'г' Общее решение уравнения, выражающего условие инвариант- ности ,7,', есть функция Ф, которая находится из условия С(СО Сг,..., С) = О, где С вЂ” произвольная функция найденных первых интегралов. Или, разрешая это соотношение относительно Ф, получаем Ф =,ссГ+ ~ д (С,, С,,...), где Π— произвольная функция дифференциальных инвариантов.
Таким образом, общее выражение для интегрального инварианта дс группы вращений есть м Ф+ягя(с'+ч' ) дс м В частности, при Я = 1 этот функционал выражает длину кривой. ГЛ. ы. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОЙ ТЕОРИИ 246 Е 54. Уравнения, допускающие заданную группу Теория продолжения оператора позволяет иначе сформулировать условие инвариантности дифференциальных уравнений относительно однопараметрической группы преобразований.
Пусть, к примеру, имеем дифференциальное уравнение, заданное в плоскости х, у и записанное в неявной форме: г' х,у, — =О. Из результатов предыдущего параграфа ясно что, для того чтобы это уравнение было инвариантным относительно группы с оператором д д и = б(х, у) — + п(х, у) †, дх ' ду' необходимо и достаточно, чтобы н) иг(х,у,р)=О, Г(х,у,р)=О, т.е.
уравнение г" (х, у, р) = О должно определять инвариантную поверхность один раз продолженной группы. Покажем эквивалентность этого критерия критерию [А, У] = ЛА для системы в нормальной форме Коши: пх ду — = Х(х, у), — = У(х, у), й ' ' д2 которую перепишем в неявной форме: Х(х, у)р — У(х, у) = О.
Применим к этому уравнению оператор первого продолжения: /дХ дУ~ /дХ дУ~ б ( — р — — ) + и ( — р — — ) +г,(х, у, р)Х = О, (,дх дх)) (,ду ду) где + („ с )„ с „г и оно должно быть выполнено на Хр — У = О. Выражая отсюда р и подставляя его в полученное уравнение, находим б — +и — -Х ~ — +и — + 1 э» у авнвния, допускающий заданную группу т»т Напомним, что У = сд/дя + ~|д/ду, А = Хд/дх + Уд/ду. Поэтому последнее соотношение принимает вид 1 иХ вЂ” Хиу+ ХА~ — УАг. = О, откуда их — Аб иу-А| х Но зто и означает, что координаты коммутатора [А, У] пропорцио- нальны координатам оператора А: [А, У] = ЛА.
Для уравнений более высокого порядка доказанная эквивалентность места не имеет Рассмотрим уравнение и-го поряка в разрешенной относительно старшей производной форме. |у ( (и ~"-'у Условие инвариантности этого уравнения относительно некоторой группы может быть сформулировано в двух различных формах. Во-первых, при помощи введенного понятия продолженного опера- тора Если на полученное соотношение смотреть как на на условие для нахождения группы симметрий, то оно представляет собой уравнение в частных производных относительно двух неизвестных функций С(х, у) и й(х, у).
Это уравнение распадается, как правило, на переопределенную систему, поскольку искомые функции не зависят от производных и необходимо приравнять нулю коэффициенты при всех степенях и произведениях всех Н"у/Нх~. Решений такой системы может не существовать, что означает, что симметрий рассматриваемого типа у изучаемого дифференциального уравнения нет Во-вторых, это дифференциальное уравнение может быть переписано в нормальной форме Коши: С~Х~ НУ„м <~Х„» | — = хэ,, — = хэ+н — = /(я| ха+|) Йг ' '''' ||г " ' »|г Ых| — =1, Йт После чего для отыскания симметрий можно воспользоваться критерием [А, У] = ЛА.
В этом случае у разыскиваемого оператора уже и+1 компонента, которые не связаны условиями продолжения, в силу чего такая задача всегда разрешима. ГЛ ||. ЭЛЕМЕНТЪ| ЛОКАЛЪНОй ТЕОРИИ 248 Большой интерес представляет решение обратной задачи; задана группа с оператором д д У=бх, у) — +О(х, у) —, дх ' ду' требуется найти общий вид дифференциальных уравнений, инвариантных относительно этой группы. Решение этой задачи начнем с дифференциальных уравнений первого порядка.
Нескольку каждое дифференциальное уравнение Р х,у,— =О, инвариантное относительно группы, должно быть инвариантной поверхностью один раз продолженной группы в пространстве х, у, р = ду/Ых, то запись общего вида такой поверхности и будет решением задачи. Если и(х, у, р) и и(х, у, р) — два независимых инварианта продолженной группы, то общий вид инвариантной поверхности есть М(и,и) =О, где М вЂ” произвольная функция.
В качестве и можно взять инвариант оператора У = (д/дх+ +Од/ду и, следовательно, он не зависит от р, а в качестве и — дифференциальный инвариант, Тогда общий вид дифференциальных уравнений первого порядка, инвариантных относительно группы с оператором У, может быть записан так; и х, у, — /| = А[и(х, у)], ду'| дх |у — произвольная функция. Пример, Общий вид уравнений, инвариантных относительно группы вращений, таков: Замечание. Нахождение дифференциального инварианта первого порядка для оператора У = сд/дх+||д/ду приводит к необходимости решать следующую систему: ах Ыу ар с(х, у) О(х, у) || + (΄— б )р — б„рт 3 54. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ЗАДАННУЮ ГРУППУ 34з Если предположить, что простой инвариант известен: и(х, у) = С, то для нахождения дифференциального инварианта приходится решать уравнение риккати Ыа+(313 са)р Сир ] = ьо(х, С)+ь1(х, С)р+ьг(х, С)р .
дР г дх с(х у) ™ Однако именно это уравнение решается в квадратурах, поскольку можно указать его частное решение: Ф у()1 Ф, у(х)]' Для уравнений второго порядка аналогичные рассуждения приводят к следующему выражению для общего вида таких уравнений, инвариантных относительно заданной группы с оператором У = бд/дх + 11д/ду: ш х у, †, — = М и(х у) и х у,— где и, и, ик — инварианты нулевого, первого и второго порядков, М вЂ” произвольная функция. Причем дифференциальный инвариант каждого следующего порядка может быть получен дифференцированием инварианта предыдущего порядка по инварианту нулевого порядка. Пример.
Общий вид уравнений второго порядка, инвариатных относительно группы вращений, таков 1+ — М хг+у, Построение уравнений третьего и высшего порядков, инвариантных относительно заданной группы, осуществляется аналогично. 16 зак 233 ГЛ. Ы, ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 250 е 55. Симметрии уравнений в частных производных Пусть уравнение в частных производных с двумя независимыми переменными записано в виде дг дг дгг г' х,у,г,—,—,—,... =О. ' дх ' ду' дх2 ' ' ' ' И пусть в пространстве х, у, г действует группа с оператором д д д У = Ях, у, г) — +О(х, у, г) — +Дх, у, г) —.
дх ' ' ду ' ' дг' Введя обозначения дгх дгг — =и — =г, =з, ду дхг ' диду дуг = дг =Р дх представляем написанное дифференциальное уравнение как уравнение поверхности в пространстве соответствующего числа измерений: г'(х, у, г, р, о, г, э, 1) = О. Заданная группа индуцирует в этом пространстве группу (продолженная группа), определяемую продолженным оператором. Способ построения продолженного оператора состоит в следуюшем. Выпишем ядро продолженной группы: х' = х+б(х, у, г)г+ у' = у+ О(х, у, х)т+ ...
г = 2+Ц(х, у, г)т+ ... р = р+ я(х, у, г, р, й)г + .. д' = и + р(х, у, г, р, д)г +,, Точно так же определены переменные р' и д'. ~~1 Р(Р+ Р[! Требуется вычислить коэффициенты я, р и т.д. Переменные х, у, г, р, и не являются независимыми и связаны условием полного дифференциала: ог = р дх+ д Ыу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
