В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Иначе обстоит дело в релятивистской механике, обсуждаемой в следующей главе. Прерогатива в формировании критерия инерциальности системы отсчета в релятивистской механике переходит от уравнений Ньютона к уравнениям электродинамики Максвелла. В этом случае первый закон Ньютона превращается в самостоятельное и независимое необходимое условие инерциальности. Поэтому представляет большой интерес выяснение вопроса о том, как же связаны друг с другом те системы отсчета, которые удовлетворяют этому необходимому условию инерциальности. Рассмотрим этот вопрос детально на примере одного пространственного измерения. Обобщение на трехмерный случай не имеет ни принципиальных особенностей, пи трудностей. Прямая в плоскости (г, х) будет переходить в прямую в результате преобразования (г, х) -+ (г', х'), если ее уравнение дг — =0 опг будет относительно этого преобразования инвариантным.
Если искомую группу симметриЯ записать в виде Р =г+8'(г, х)г+ ..., х' ь к + ц(г, х)г+ то это уравнение должно быть иивариантным относительно дважды продолжениоЯ группы с оператором; (г) д д д д (у= б(г, х) — + д(г, х) — + ДЙ я, э) — + б(Й х, э, ш) —, дг ' дх ' ' дэ ' ' ' дгэ' ГЛ. 12. ГРУППЫ СИММЕТРИЙ УРАВНЕНИЙ 266 где э = й (скорость), нс = й (ускорение). Рассматриваемое дифференциальное уравнение в пространстве (2, к, э, ш) определяет гиперповерхность пс = О, условие ее инвариантности есть (2> Цпс=О на пс=О, что в данном случае дает б(г, х, э, 0) = О. В соответствии с теорией продолжения Я 52) имеем д =6 + с.
+ са(ь". — сс) — э с*, ь с йс + э(0* — сс) — 'с . Следовательно, условие инвариантности есть ~с+ э~~ = асс+ и(гас — асс) — а дхс+ эпс~+ э (о„— бс,) — э ~*к = О. 2 2 3 Поскольку функции ~ и и не зависят от э, то это соотношение распадается на следующие: псс = О, 2с1*с — Ссс = О, 2(*с — и** = О, бхх = О. Дифференцируя второе из этих соотношений по э, а третье по 2, получаем 2Ъхс — б*сс = О, 2с,сс — п„с = О. Два линейных алгебраических уравнения относительно неизвестных С„с и п„с с неравным нулю определителем имеют лишь тривиальное решение т7,с=О, 4 сс —— О, откуда следует д =а+ Ьг+ + йэ+ 622, 0 =У+ д1 + Лх+ Нх + псэз с постоянными а, 6, с, сс, е, /, д, Л, с, пс, Подставляя эти решения в уравнения 2п„— 5с = 0 и 2ф— и„= О, находим 2сс — 2пс = 0 и 2с — 26 = О. Таким образом, окончательно оператор искомой группы, переводящий прямые в прямые, имеет вид о' = ао'с + эссэ + сиз + Ии, + еи, + УСС6 + ди, + ЛО„ з 59.
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ГРУППА ГАЛИЛЕЯ в котором а, 5, с, й, е, (, д, Л вЂ” произвольные постоянные, а опера- торы д и1 — — —, д1 д из =~— 2 дс д из=ив дг д +1х —, дх' д и.=* —, д1' д и,= —, дя' д гд и,=и — +х' —, д~ дх' д и дх д и дх' представляют собой операторы проективиой группы (у45).
Таким образом, все системы отсчета, в когпорых имеет место первый зокои Ньютона (необходимое условие инерциальиости), свлзаиы друг с другом проектиивиой группой. Этот же результат имеет место и в трехмерном случае З 59. Второй закон Ньютона. Группа Галилея Искомая группа симметрий в пространстве переменных (~, х, Р) рассматривается в виде Г =1 + ((г,х)т + ..., х' =х + у(1, х)г + ..., г' =У+ 7(Р)т+ ... Дважды продолженный оператор этой группы имеет вид (гг д д д д д и=с — +т( — +ь — +б — +7 —.
д~ дх до дго дР ' Рассмотрим теперь вопрос о группах симметрий уравнений Ньютона, т.е. о тех группах преобразований, которые переводят ииерциальиые системы отсчета снова в ииерциальиые. При этом, как уже отмечалось во введении, следует различать понятия инвариантности и ковариаитности уравнений по отношению к тем или иным преобразованиям переменных и времени. Если мы хотим рассмотреть вопрос об иивариаптиости уравнений в какой-то конкретной задаче механики, то следует иметь ввиду коикретиую зависимость сил от времени, координат и скоростей, и инвариаитиость изучать с учетом этой зависимости. Если же иас интересует иивариаитиость правила составления уравнений, а ие самих уравнениЯ (ковариаитность уравнений), то зависимостью силы от указанных переменных интересоваться ие нужно, рассматривая сами силы в качестве дополиительиых преобразуемых переменных.
При решении вопроса о связи ииерциальиых систем отсчета друг с другом нас интересует именно вторая постановка. Опять-таки рассмотрим ее иа примере одного пространственного измерения ГЛ. 12. ГРУППЪ| СИММЕТРИЙ УРАВНЕНИЙ 2ВВ Условие инвариантности гиперповерхности 1« = пи« вЂ” Р = 0 есть (2| У ы= О, что влечет Г "1 Б 1,х,«,— ~ — Т(Р)=0. Как и ранее, б = ~1 + «С* + «1(С 6) — ««14«, С = 01+ «(Ъ (1) «26 Поэтому условие инвариантности переписывается в виде Р г" 6 + «1, + — (Ä— 6) — — «г', — т(Р') = О.
Подставляя сюда вместо 1, его выражение через С и и, имеем 011 + «(0«1 — 61) — «6л + «О . + «(~Ь* — 6*) — «6« — й1 = О, г 2 З Чк 6 — 2«~х — 6 «6 — йз = О. Опять-таки, учитывая независимость С и и от «, получим 2б., — ~,. = О, 6 = О.
1|н — й1 = О, 2п,1 — б11 = О, 0~ — 26 — Ус2 = О, 6,=0, Как и ранее, из второго и третьего уравнений можно вывести С =а+ Ы+ ох+ йх+ е|2, П =У + у1 + Ья + е|я + 1|я . Но тогда из первого уравнения следует к1 = О, из последнего уравнения следует с = и = О, Наконец, из предпоследнего— йт = |1+ е| — 2« — 4е|. Поскольку к2 не зависит от |, то е = 0 и, окончательно, иско- мый оператор группы симметрий уравнения Ньютона в одномерном случае принимает вид и = и1+~и2+~и +оп +ьи, Поскольку ~ и с от г не зависят, то т может быть только линейной функцией Р': т = й| + к2Г/гл и написанное условие распадается на два: С1+ «1.«к1 = О, С«6 «6 — й2 =О. 2 ВО. ПОСТУЛАТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ 269 где а, 6, /, у, Ь вЂ” произвольные константы, таковы: д У1 = —, дс д Уч =1 —, д*' а базисные операторы д Уз = —, дх' Глава 13.
Релятивистская механика 'В 60. Постулаты релятивистской механики Как и в случае классической механики, основным аксиомам релятивистской механики должно предшествовать введение Оператор У1 определяет преобразование 2' = 1+ т, означающее изменение начала отсчета времени. Оператор Уз соответствует сдвигу начала отсчета координаты х: х' = х + г. Оператор Уч определяет движение нового начала отсчета с постоянной скоростью относительно первоначального начала отсчета; х' = х + г1 (г— скорость подвижной системы координат).
Оператор У2 определяет одновременное изменение масштаба измерения времени и силы, а оператор Уз — одновременное изменение масштаба измерения координаты и силы. Изменение масштаба переменных интереса не представляет. Трехпараметрическая группа с операторами Уы Уз и Уч называется группой Галилея. Вычисление группы симметрий уравнений Ньютона в пространственном случае никаких принципиальных отличий от описанной процедуры не имеет.
Опуская преобразование масштабов измерения времени, координаты и силы, перечислим все остальные подгруппы группы симметрий уравнений классической механики. 1) Трансляция по времени: 1' = 2+ г, г' = г, Р' = и. 2) Трансляция по пространственным переменным: К = 2, г' = = . + гв Е' = ~. 3) Поступательное движение координатного трехгранника с постоянной скоростью: 2' = 1, г' = г + вй Р' = Г. 4) Переход к новому базису: К = 8, г' = Аг, Р' = Аг (пес А ф 0). Если в последнем случае ограничиться только ортогональными базисами, то и матрица А будет также ортогональной, а само преобразование будет означать переход к повернутой системе координат. Группой Галилея принято называть подгруппу симметрий уравнений Ньютона, не содержащую подгрупп изменении масштабов и не содержащей переходов к неортогональным системам координат. Такая группа является, очевидно, десятипараметрической.
Полная группа содержит двадцать независимых параметров. ГЛ. гз. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА гто категорий пространства, времени, материальной точки и силы. При этом понятия пространства и времени, в отличие от классического случая, могут вводиться (хотя и не обязательно) в форме единого пространства-времени с индефинитной метрикой Й = Йг — дк — Ыу — с1гг. Основными для дальнейшего аксиомами будут: А Аксиома инерциальная координатной системы (системы отсчета): существует система координат (и она называется инерциальной), в которой: 1)любая материальная точка, на которую не действуют никакие силы, описывает прямую; 2) уравнения Максвелла в пустоте имеют вид дВ 1 дЕ гог Е+ — = О, гоС В вЂ” — — = О, д1 сг дг б(гЕ=О, йтВ=О, где Е и  — электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля, с — скорость света.
В. Аксиома динамики: в любых инерциальных системах закон движения материальной точки выражается дифференциальным уравнением второго порядка, имеющим пределом уравнения Ньютона при с — ~ оо: 1нн Ф(1, г, г, г', т, Р, с) = тг' — Р, ь -~ сО гог В = Е => гог го1 Е = — Е ~ Ё — и ~Е = О (без ограничения общности с = 1). Рассмотрим далее ради простоты одномерный случай (там, где неодномерность будет существенной, это будет указано) дгЕ дгŠ— — — = О. дгг д* где т и Š— параметры предельного уравнения, т.е. масса и сила.
В классической механике уравнения динамики (уравнения Ньютона) постулировались и служили критерием инерциальности системы отсчета. В релятивистской механике роль критерия инерциальности системы отсчета выполняют постулируемые уравнения электродинамики, а уравнения динамики точки надлежит вывести. С этой целью необходимо выяснить, как связаны друг с другом инерциальные системы координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
