В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 46
Текст из файла (страница 46)
х = х(х, т) порождается гамильтоновой системой Ых дХ вЂ” =,7=, от ох х(0) = х. Введем следующие обозначения: А = ~1х/йх,,7 = А,7А . Общий элемент последней матрицы есть функция х и т; .7и(х, т). Любая такая функция представима рядом Ли (5 47): 7о(*, ) =,Уи(,0)+.((77!7)т о+ Если У,7(,-~ — — О, то и все 77~7( — о — — О. Вычислим !7,7(,ко. Последовательно имеем ЙН дх г(У Н х = х+.7 — т+, — = Е+3 — т+ л г —,7 — = Е+.7 — т+,7 Š—,7т+ ... згХ згН =,7+,7 — —,7 — ) т+ лг лг) — =! д! Ыт ду дН д.
др Нр дН дт др [ — 'Н йг+ рддр] — инвариант уг Коэффициент при т равен нулю. Таким образом,,7 = .7, т.е. фазовый поток гамильтоновой системы удовлетворяет условию каноничности Производящие функции. Так называются функции, позволяющие конструктивно строить канонические преобразования посредством применения к этим функциям некоторых простых операций. Для введения производящих функций воспользуемся установленным ранее взаимнооднозначным соответствием между уравнениями Гамильтона и интегральным инвариантом Пуанкаре-Картана; ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 296 Рассмотрим преобразование (д, р) -+ (д, р).
В новых переменных уравнения приобретают вид — — = М(2, д, р), — = Л/(2, е, р), й ц ~р пг ' пг ' ' ' йг Если интегральный инвариант в новых переменных сохранит свою форму [-Я й+ рддр], г [ — 'Н й2 + р ~)е] = ~ [ — 2~ йС + р ~9 + ~Р(2, 2, р)]. г Произвольную функцию Г(~, д,р), используя рассматриваемое пре- образование (д,р) -+ (е,р), можно записать так: Р(~ ]р) =Ф, И~ д р),р] Подставляя это представление под знак полного дифференциала, находим д5 д5 д5 (-Н й + рй~) = ~ ( -2) й2 + рц + — й + — й9 + — йр), г 2'г~, 52 дд дР ) ' откуда следует Я = — + н[с, д(с, д, р), р(с, д, р)], д5 д5 д5 9== Р= др' дд' Таким образом, конструктивный алгоритм построения канонического преобразования состоит в следуюшем. Взять произвольную дифференцируемую функцию смешанных переменных вида 5(2, е, р), Составить соотношения (я), Разрешить их либо относительно новых переменых либо относительно старых, Результат такого разрешения и будет представлять собой каноническое преобразование.
Пример. 5 = ур2. Соотношения (я) дают д~ 2 дя д5 д = — = 2др. др то, по доказанному ранее, Л4 = дЙ/др, Л' = — дй/дд и, следовательно, преобразование (д, р) + (д, р) будет каноническим. Для того чтобы в результате преобразования инвариант Пуанкаре-Картава сохранил свою форму, необходимо и достаточно, чтобы измененная часть подынтегрального выражения представляла бы собой полный дифференциал: з 69.
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 297 Разрешая их относительно новых переменных, получаем каноническую замену. д = 29 /р, Р = /р. Выбор состава смешанных переменных в производящей функции не является единственно возможным. Возможен следующий выбор; 51(г, 9, Р) Яг(7 7 Р) Яз(г, Д, 9) Яе(г Р Р). Для трех новых функций 52, Яз и Яе выкладки, аналогичные выполненным, приводят к соотношениям: Пример. Построить производящие функции для семейства канонических преобразований 9 " е Д (г „г 1) Решение.
Для нахождения производящей функции 52 необходимо разрешить эту систему относительно Р и е: („ ~ о) и ' и Таким образом, для нахождения 52 имеем уравнения дЯ1 Р+ ей д52 е+ ер дд и ' др и откуда е,=) [[~— "~)д+[ )О] и = — зн+ 9'+гг, Для нахождения производящей функции 52(д, р) необходимо раз- решить эту систему относительно Р и д: и производящая функция получается такой: 52 = — [ — 2ре + 9(р + д )]. 2 -2 2и д52 Й= — +Н, дг дЯз Н + Н д7 дЯе Й= — +м, дг дЯг дд ' д52 д9 ' д5~ др д52 др' д52 дд ' дЯе др ГАМИЛЪТОНОВА МЕХАНИКА 298 Для нахождения производящей функции 52[9, у) рассматриваемую систему разрешаем относительно р и р: что дает 1 5з = — [209 — н(92 + 92)] 29 Наконец, для функции 5с[р, р): о= (офО) ир — р р — ир 1 [2рр н[р2 + р2)] 29 Мы видим, что в этом примере производящие функции 52 и 52 не существуют для симплектического преобразования: й= !]',] а функции 5з и 5с не существуют для тождественного [рис.
79): ]и и Рис. 79 9 70. Уравнение Гамильтона-Якоби Рассмотрим гамильтонову систему дН . дН д= —, р= — —, Н[г,ч,р). др ' дд ' 9 70. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 299 Поставим для нее задачу найти каноническую замену переменных (Ч, р) + Я, р), приводящую ее уравнения к наипростейшей форме. Воспользуемся для этого производящей функцией первого типа дд дд 5(~ 9 Р) дя' др' Эта функция выбрана для определенности. С равным успехом можно было бы воспользоваться другими. Выше была установлена связь между старым и новым гамильтонианами в силу канонической замены переменных: Й = Я+дд/д1.
Уравнения движения принимают наиболее простую форму, если Й = О. Это условие приводит к уравнению для нахождения производящей функции д. — +Я ~,д,— =О. Оно и называется уравнением Гамильтона-Якоби. Функция 5(~, дь ..., д„, аь ..,, а„), удовлетворяющая уравнению Гамильтона — Якоби и зависящая от п произвольных постоянных аь, а„, называется полным интегралом этого уравнения, если ни одна из постоянных не входит аддитивно и с1е1 ф О.
Если в найденном полном интеграле отождествить произвольные постоянные оь с новыми импульсами рю то использование этого полного интеграла в качестве производящей функции канонической замены приводит исходные дифференциальные уравнения Гамильтона к виду Р= О д=о, с очевидным решением д = сопз1, р = сопвц Разрешив соотношения д = дд/др, р = дд/дд относительно переменных д и р, получим общее решение исходных уравнений Гамильтона: Установленная связь между уравнениями Гамильтона и уравнением Гамильтона-Якоби может быть использована для решения обратной задачи — найти полный интеграл уравнения в частных производных первого порядка, опираясь на решения соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 300 Делается это так.
Пусть общее решение системы Гамильтона д = Нр, р = — Нщ 'Н(1, д, р) известно: д=д(1,а,д), р=р(1,а,д), а, д — - произвольные постоянные. Разрешим эти соотношения относительно р и а: а=/(С,д,д), р=д(М,д,д), Тогда полный интеграл уравнения в частных производных дд/д~+ +Н(~, д, дд/дд) = О можно найти, положив д5 дд — =/(С, д, д), — =д(с, д,д).
дд ' дд = В силу установленной выше связи между системой Гамильтона и уравнением Гамильтона — Якоби эти уравнения разрешимы относительно о, и их решение может быть записано в виде р1 5 = / (д/(й, Вд, Вд) + дд(С, Вд, Вд)) ЫВ. о Рассмотрим отдельно случай автономного гамильтониана, для которого уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид — +Н д, — =О. В этом случае полный интеграл можно разыскивать так, чтобы одна из констант в него входила следующим специальным образом: 5 = — а~1+ И~, где функции ш уже от времени не зависит. Подставляя решение в этой форме в уравнение Гамильтона— Якоби, получаем для нахождения функции И~ следующее уравнение: 'Н д, — =аь Полный интеграл этого уравнения зависит от уже введенной произвольной константы а1 и от н — 1 оставшихся; И'(д, аы .,., а„).
Представляет интерес выяснить, к какому виду могут быть приведены уравнения Гамильтона, если в качестве производящей функции соответствующей канонической замены брать не функцию 5(1, д, р), а функцию Иг(д, р); дИ' дИ' р= д= дд' др 1 71. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ ОБ ИНТЕГРИРУЕМЪ|Х СИСТЕМАХ зо1 Поскольку замена автономная, то новый гамильтониан получается при подстановке этой замены в старый. Однако при такой подстановке имеем 'Й = Н(д(д, р), дИУ/дд] = р1, и уравнения Гамильтона приобретают вид д, = 1, д„ = О, 1 Ф 1, Р„=О, /с=1,...,и.
Решение этой системы: д1 = 1+ сопв1, дв = сопв1 (й ф 1), рк = сопв1 (1 = 1,..., и) следует подставить в уравнения канонической замены, выраженные относительно старых переменных д = д(д, р), р = р(д, р), чтобы получить общее решение исходой системы Гамильтона. Функция ИУ(д, р) носит название характеристической функции системы.
2 71. Теорема Лнувилля об интегрируемых системах Задача интегрирования системы Гамильтона по трудности эквивалентна задаче интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби. Поэтому хотя установленная в предыдущем параграфе связь между этими объектами и являются полезной, но она не продвигает ни на шаг в деле построения решений. Общих методов построения точных решений системы Гамильтона (или уравнения Гамильтона-Якоби) не существует.
Ниже мы изложим некоторые приближенные методы интегрирования таких уравнений. Они основаны на так называемом локальном подходе, когда рассматриваемая система является в некотором смысле близкой к некоторой, точно интегрируемой. К точно интегрируемым системам относятся линейные системы, а также системы, описываемые в излагаемой ниже теореме Лиувилля. Содержательность теоремы Лиувилля заключается в том, что она показывает, как, зная и первых интегралов системы Гамильтона 2п-го порядка, можно свести всю задачу к квадратурам (обращение функций и взятие интегралов).
Известно, что для системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для этой цели необходимо знание 2п — 1 первых интегралов. Теорема Лиуеилля Пусть система Гамильтона д = Нр, р = = — 'Н, 'Н(д, р) имеет и первых интегралов в инволюции. Нв(д, р) ()с = 1,..., и) (два первых интеграла находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю). Тогда, если с1ес(дйв/др1) ф О,, то эта система интегрируется в квадратурах. ,Показаупельство. В силу последнего условия система Нв(д, р) = = пв (пв — постоянные) может быть разрешена относительно обобщенных импульсов: рв = ув(д, а) несложно показать е, что из Маркесе А.П. Теоретическая механика.
— Мс Наука, 1990. ГАМИЛЪТОНОВА МЕХАНИКА 302 условия инволюции (Я», Н1) = 0 следует ду» дЛ дс1 дс» ' Но тогда разрешима следующая система: д5 — = Г»(д, а) дд» относительно скалярной функции 5(0, а): г1 5(д, о) = / ~ 0»Б(00, а) сИ, о которая и берется в качестве производящей функции канонического преобразования (д, р) 4 (с, р) д5 д5 Р= —, 0== (Р— = о) дд' др Поскольку функция Гамильтона Я(д, р) сама является первым интегралом, то она либо совпадает с одним из Я»(с, р), либо является их функцией: 'Н = г'(Я1, ..., Я„).
Построенная каноническая замена переводит исходный гамильтониаи в новый так: Я 4 'Н = р», либо так: Я вЂ” 4 Я = Р(р1,..., р„). Система с подобным гамильтонианом в обоих случаях легко интегрируется. Теорема доказана, Если в условиях теоремы и-мерное многообразие в 2п-мерном пространстве (с, р), задаваемое уравнениями Я»(д, р) = а», является компактным, то можно показать, что это многообразие является тором ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
