В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Сумма в этом выражении распространяется на все ) и з, такие, что )1+ ... + 1„+ э1+ ... + зэ ) 2. Выясним, какие же из членов этой суммы могут быть уничтожены, а какие нет. Рассмотрим некоторый член этого ряда Этот член может быть уничтожен посредством канонической замены (х, у) -+ (и, э) с производящей функцией 5(х, и) при наличии в ней точно такого же члена 5= ~~~ хьюь+ИХ1 ... х э1 ... э ь При подстановке соответствующей замены у = — = э + Л вЂ” (х э') = э + И вЂ” (и э') + ..., д5 д,, д дх дх ди д5 д,, д и = — = х + И вЂ” (х и') = х + И вЂ” (х у' ) + ..., дэ дэ ду для которой запишем и обратные выражения э=у — Л вЂ” (хи')+ ...=и — Л вЂ” (ху')+ д,, д дх ''' дх х =и — И вЂ” (х э') + ...
= и — И вЂ” (и и')+ д,, д дэ в функцию Гамильтона М = Яе+'Н., получаем д д Л Я = в~ Льиьэь+1Л~ Ль ~иь — — иь — ((и'э')+'Н.. диь диь / Возникший дополнительный член зЛ~ Ль(иьд/диь — иьд/дэь)(и'э') имеет ту же самую структуру, что и подлежащий уничтожению во всех случаях, за исключением того, когда выражение и'э' = и" ... и'"э" и'" 1 ''' а 1 ''' э Зс тс, МЕТОД БИРКГОФА НОРМАЛИЗАЦИИ ГАМИЛЬТОНИАНОВ 309 является первым интегралом системы линейных дифференциальных уравнениЯ, порождаемой гамильтонианом Нв. В последнем случае оператор линейной системы д д1 =;у .(.,— — — ) диь диь ) обрашает подобные выражения в ноль: У(616') = О. Таким образом, выясняется, что полиномиальными заменами можно уничтожить в линейной части гамильтониана 'Н.
все члены, кроме первых интегралов линейной части системы. Линейная часть системы имеет простой вид, и структуру ее первых интегралов установить нетрудно. У системы с гамильтонианом 'Не, которая имеет вид 6с = — сЛсис (/с = 1, ..., и), имеется 2п — 1 независимых первых интегралов С1(и, 6),, Сга-1(и, 6). Из них и первых интегралов всегда имеют полиномиальный вид: С» = иьиь (1с = 1,..., и). Среди других первых интегралов в полиномиальной форме нет, если система нерезонансная, т,е. если Л1Л1+ ...
+ й„Ла Ф О (й(+ ... + 1с„Ф О) ни при каких целых я1,..., Й„. Если же резонансы есть, то число независимых полиномиальных первых интегралов превышает и на число резонансных соотношений 2 сссЛ1 = О. Например, если имеется резонанс Л1 —— ЗЛз, то полиномиальным интегралом, дополнительным к уже указанным, будет и такой: з С„+1 —— 6169. В атом примере нормальная форма Биркгофа может зависеть только от таких аргументов: и161,..., иаи», и16,, з те' Н Н(6161' ' ' '' 6~6~ 6162)' Определение.
Гамильтониан имеет нормальную форму Биркгофа, когда он зависит только от полиномиальных первых интегралов (от инвариантов) невозмушенной части. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 3!о Ь дЮ Р дх дх д9 Йт ду' с начальными условиями х(0) = и, у(0) = и определяют искомые преобразования по формулам хзхх(т,и,о), уеду(т,и,о), представляющим собой решение этой начальной задачи Коши. Эти преобразования и обратные к ним могут быть записаны с помощью следующих рядов Ли (см.248 и 68): 12 х =и+ т(и, Я) + — ((и, Я), Я) + ..., 12 у =о+ т(и, Я) + — ((и, Ц), Я) + ..., 12 и =х — т(х, Я) + —,((х, Я), Я) + ..., 12 1(у Ю+ ((у Ю Ю+ Здесь в случае прямых преобразований обозначения аргументов х и у в функции Я заменены обозначениями и и о.
Сама функция !„! во всех случаях одна и та же. Преобразованный гамильтониан связан с исходным также рядом Ли: 12 Я(и, о) = Я(и, и) + т(Я, !г) + —,((Я, О), !)) + .. Более короткое определение таково: гамильтониан Я = Яо+Я. имеет нормальную форму Биркгофа, если (Яо, 'Н.) = О, Через (Яо, Я.) обозначена скобка Пуассона, равенство нулю которой и есть условие первого интеграла.
Описанный метод приведения к нормальной форме, основанный на использовании производящих функций, называется методом Биркгофа. Он удобен для выяснения структуры нормальной формы. Для проведения вычислений в конкретных задачах удобен другой метод, основанный на привлечении однопараметрических групп Ли. Необходимые канонические преобразования будем строить не с помощью производящей функции, а с помощью функции Гамильтона некоторой вспомогательной системы, фазовый поток которой и задает однопараметрическую группу преобразований, используемых для нормализации исходного гамильтониана. Пусть искомый гамильтониан этой вспомогательной системы есть О(х, у). Это означает, что уравнения 2 74.
МЕТОД БИРКГОФА НОРМАЛИЗАЦИИ ГАМИЛЬТОНИАНОВ З11 Эта формула является основной для формируемого ниже алгоритма приведения гамильтониана к нормальной форме Биркгофа. Формализуем признак, определяющий порядок нелинейных членов, посредством введения масштаба х — » гэ, у -» еу, где е— скалярный параметр, рассматриваемый в окрестности нуля. Тогда гамильтониан 'Н(х, у) = НО(х, у) + Н,(э, у) с учетом валентности этой замены, равной 1/г~, запишется так: 1 Н(х У г) — НО(х У) + »Н (гв еу) = НО(в, У) + Н (в, У, е).
е2 Назовем асимптотикой 14-го порядка для гамильтониана 'Н любую функцию Н», отличающуюся от точного гамильтониана членами более высокого порядка малости, чем е»: Н ='Н+О(»+'), Заметим, что асимптотики заданного фиксированного порядка образуют кольцо: сумма двух асимптотик есть асимптотика того же порядка для суммы соответствующих им функций и произведение двух асимптотик есть асимптотика этого же порядка для произведения.
Для элементов кольца асимптотик имеет место также и такое очевидное свойство: (е1Н»)» = г1Н» 1 (( < /с), Иными словами, асимптотика й-го порядка от произведения е~ на Н» равна произведению е' на асимптотику (х — 1)-го порядка. Гамильтониан вспомогательной производящей системы также будем искать в форме асимптотик: Я» = 9 + 0(г»+1). Ряд Ли, представляющий новый гамильтониан, может быть записан для асимптотик в следующем виде после отождествления НО(и и) ='НО(и, О), Й1(и, О) = Н1(и, О) + г(НО, ЯО), т2 Н2(и, и) = Н2(и, и) + т(Н1, Я1) + ~~ ((НО, ЮО), ЯО), Н»(и, О) = Н»(и, и) + т(Н» 1, Я» 1) + ...
г» + »1 ( (НО 14О) 44'О) ). » раз з»г ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА При получении этих соотношений использованы приведенные выше свойства кольца асимптотик. В в» ражении для Я»(и, а) представим скобку Пуассона (Я», Я») в асимптотически эквивалентной форме.' (Н», Ю») = (На ч)») + (Х» — Ха, Я») = (Яа, 9») + (Н» — 'На, Ю»-~).
Эта эквивалентность имеет место, поскольку 'Н» — 'На = 0(т). С учетом этого представления перепишем выражения для асимптотик гамильтониана Я так: 'На ='На, Х» — — т(На, Юа)+Ям Я» = т(Яа, Я»-1] + т(Н» 1 — Яа, Я»-г)+ т' +~~' —,, ( .. ( Н» -, Ю»- ), ч»-' . ) г=г ! газ Введем следующие обозначения: Ю» = т(Я»-г — Яа, Ю»-г)+ т' +~ —., (...
(Я;, д» г), д»;),...) + Я, гюг (й>2), С~ — — 'Н! . Тогда формулу для искомой асимптотики А-го порядка преобразованного гамильтониана можно записать следующим образом: Н» = т(Яа, Ю»-~) + ь» (к > 1). Это уравнение называется гамалагпческим, Будем использовать его для последовательного увеличения порядка найденной асимптотики искомого гамильтониана 'Н. Асимптотика нулевого порядка совпадает с порождающим гамильтонианом Ха — — Яа. В дальнейшем в каждом искомом порядке Я» функция С» оказывается известной функцией и и а, поскольку она зависит лишь от уже найденных на предыдущих шагах асимптотик.
Неизвестными и подлежащими определению из гомологического уравнения являются функции Я»(и, а) и Я» 1(и, а). Для решения гомологического уравнения относительно этих функций заметим, что скобка Пуассона (Яа, ц» 1) представляет собой полную производную по» от функции Я» 1(и, а), взятую вдоль траекторий вырожденной системы, т.е, вдоль семейства отображений и -+ иехр(~ЛГ), а -» аехр(-»Л1) (см. г48): ~О»-1 ид,, =-(Ха,а» )= г »74. МЕТОД ВИРКГОФА НОРМАЛИЗА11ИИ ГАМИЛЬТОНИАНОВ 313 Кроме того, по определению Н» состоит только из инвариантов этой же линейной системы.
Проинтегрировав правую и левую части гомологического уравнения вдоль траекторий вырожденной системы, находим /' гс г' Й» Й = г / (Но Ю»-1) 111 + / о А о Или, учитывая все сказанное, получаем Г»[и ехр(1Л1), вехр( — 1Л1)] й = о = 1Й» + гЯ» 1(и, и) — Я» 1[и ехр(1Л1), эехр( — 1Л1)]). Таким образом, проинтегрировав по времени известную функцию С»(и, э) вдоль траекторий вырожденной системы, получаем искомую асимптотику нормальной формы гамильтониана 'Н» в виде коэффициента при 1, а искомую асимптотику производящего гамильтониана 1„г» 1 в виде не зависящего от времени коэффициента при г. Свойство нормальной форми Биркгвфа.
1) Асимптотика каждого конкретного порядка нормальной формы содержит минимальное число нелинейных членов соответствующего порядка, уже неуменьшаемое никакими полиномиальными преобразованиями. Поэтому и любой анализ свойств системы по ее нормальной форме является наиболее простым. 2) Поскольку в нормальной форме возмущение 'Н, и невозмущенная часть системы Нв коммутируют, то для всей системы верен принцип суперпозиции (см. 151), в силу которого для построения решения системы с гамильтонианом Нв+'Н. достаточно знать решения с гамильтонианом Нв и Н, в отдельности, Решение системы с гамильтонианом Яв известно. Остается найти решение с гамильтанианом 'Н., что доставляет дополнительные упрощения.
3) Уравнение Гамильтона в нормальной форме всегда допускает понижение порядка, поскольку решения вырожденной системы являются группой симметрий для возмущенной части системы (см. 351). Пример. Уравнение Дуффинга: в+ д+ дз = О. Соответствующий этому уравнению гамильтониан 71 = [р~+ +дг+ 14/2]/2 заменой я = в — 1р, у = д+ гр приводится к виду Я = 1[ху+ (х + у)4/32]. В гамильтониане нет членов третьей степени, поэтому параметр г, отделяющий друг от друга члены разных порядков, можно взять как х = 1/вх', в результате чего гамильтониан запишется в виде (штрихи опускаем) 'Н = 1[ху+ в(х + у)4/32].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
