В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 49
Текст из файла (страница 49)
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 3! 4 Первое приблигссение нормальной формы. Траектории вырожценной системы с гамильтонианом Я = сху имеют вид х = иехр(сг), у = оехр( — 22). Интегрируя вдоль них гамильтониан, находим; с гс г' 'Нс 412 = / Я сс'с = с'/ (сии+ — (иеп + ие сс)41 Й = о 2'О .)'О = Нио+ — -и е + 2и ое + 6си о с — 2ио е — -и е 4 ФС 3 2П 2 2 з — гсс 1 4 -осс 32 (,4 4 14 3 3 14~ — — -и + 2и о — 2ио — -о 32 24 4,) Асимптотика первого порядка нормальной формы есть коэффициент при 2: Зг 2 2 Йс=с ио+ — и о 16 Первое приближение для производящего гамильтониана есть не зависящий от времени коэффициент при г: с14 з з 142 Яо = — — ~-и + 2и о — 2ио — — о 32 1,4 4 с' Второе приблигссение нормальной формы. Вычислим функцию Сг.
г2 Ег = г('Нс — 'На, Юо) + — ((Но, Яо), 4ечо) + Нг 2 Здесь сг 4 Нс — 'Но = — (х+ у), 32 (Но Яо) = — (Яс — 'Нс) = — — (х + 4х у+ 4ху + у ), 1 4 З З г 32 Вычислив скобки Пуассона и подставив х = ие", у = ое " и проинтегрировав Сг по 1, выделяем необходимый коэффициент при 2: 2 2 1уг з з г 'Нг=с ио+ — и о — — и о 16 256 Поскольку мы этим приближением и ограничиваемся, то функцию с,с, необходимую для построения третьею приближения, приводить не будем.
Приложение Теория скользящих векторов 1. Определения и свойства. Вектор в механике определяется величиной, направлением, ориентацией и точкой приложения. Такой вектор называется закрепленным, или прилоясеннмм. В трехмерном евклидовом пространстве, отнесенном к некоторой декартовой системе координат, закрепленный вектор может быть определен заданием трех чисел, определяющих радиус-вектор точки приложения — (г, у, г) = г, и трех чисел, представляющих собой проекции закрепленного вектора на оси координат — (г„Рю Р,) = = Р. Будем записывать закрепленный вектор так: (г; Р), Вектор, точка приложения которого интереса не представляет, называется свободным Для его задания достаточно трех чисел — Р Закрепленный вектор определяет в пространстве единственную прямую, проходящую в направлении этого вектора через точку его приложения.
Такая прямая называется линией действия закрепленного вектора, или основанием вектора. Вектор, точка приложения которого на заданной линии действия интереса не представляет, называется скользящим. Скользящий вектор представляет собой семейство закрепленных векторов, имеющих общую линию действия.
Каждой точке в пространстве (обозначим такую точку буквой О, а ее радиус-вектор го) и каждому закрепленному вектору (г; Р) поставим в соответствие закрепленный вектор Мо(Р) с точкой приложения О по следующему правилу: Мо(Р) = (г — го) х Р.
Такой вектор называется моментом вектора (г; Р) относительно точки О. Поскольку при изменении точки приложения закрепленного вектора вдоль линии его действия величина и направление момента не меняется, то приведенное определение позволяет говорить и о моменте скользящего вектора относительно точки О. Такой момент тоже при необходимости может считаться скользящим вектором.
Рассмотрим теперь систему закрепленных векторов ((г;: Р,)), ~ = 1,...,п. Для этой системы введем две основные характеристики. Главным вектором системы закрепленных векторов называется свободный вектор, равный сумме свободных частей этих векторов; 1гы Главным моментом относительно точки О системы закрепленных векторов называется свободный вектор, равный сумме свободных ПРИЛОЖЕНИЕ частей моментов этих векторов относительно той же точки, назы- ваемой полюсом: Мо = ~ Мо(Г;). Если осуществить переход к новому полюсу, то главный вектор от этого никак не зависит, а главный момент изменится так: Мо = у (г; — го ) х Г< = ~~~ (г; — го + р) х Р; = Мо + р х Р, 3 1 го =го'+Р.
Умножим это равенство скалярно на главный вектор Р; Мо Р = Мо Р+ р х Г Г. Поскольку последнее слагаемое равно нулю, заключаем: проекция главного момента на главный вектор не зависит от выбора полюса. Эта проекция называется скалярным инвариамтом вычисления главного момента системы векторов. Выясним, к какой наипростейшей форме может быть приведен главный момент за счет подходящего подбора полюса. Для этого представим главный момент, вычисленный относительно произвольно выбранной точки О, в виде суммы Мо =Мо+Мо, где Мо~~Г, а Мо-).Г.
Переместим теперь полюс в точку 0', стараясь выбором р добиться, чтобы М ((Г. Если это можно сделать, то, в силу иаличия скалярного инварианта, Мо = Мо, и для нахождения р получаем уравнение Мо + р х Р = О. Искать решение этого уравнения будем в виде р=а(М,", х Г)+кГ, где а и й — неизвестные скаляры. При подстановке р в этой форме в исходное уравнение имеем Мо + а(Мо х Р) х Г+ кГ х Р = О.
ПРИЛОЖЕНИЕ 31 » Последнее слагаемое равно нулю, а раскрытие двойного векторного произведения дает М',» — аМО(Р Р) = О, откуда 1 а = —. Р Р' Таким образом, общее решение поставленной задачи имеет вид М,"» хР р= +/сР, где я — произвольно. Получилась прямая линия, параллельная Р, представляющая собой геометрическое место полюсов, относительно которых главный момент совпадает по направлению с главным вектором и имеет минимальный модуль, равный скалярному инварианту. Такая линия называется центральной осью системы закрепленных векторов. Она существует для любой системы, для которой главный вектор не равен нулю: Р Р ф О.
Если главный вектор Р равен нулю, то главный момент не зависит от выбора полюса. 2. Эквивалентные системы векторов. Будем рассматривать преобразования системы закрепленных векторов, при которых меняются точки приложения векторов, некоторые векторы удаляются из системы и некоторые в систему вводятся. Из всех возможных подобных преобразований выделим два, которые называются элементарными. Первое элементпарное преобразование состоит в присоединении к системе двух закрепленных векторов (г»,Р1) и (гг, Рг), таких, что Р» — — -Рг, 㻠— гг )) Р1. (Эти два вектора равны по величине, имеют общую линию действия и противоположно ориентированы.) Второе элементарное преобразование состоит в замене двух векторов (г; Р1) и (г; Рг), имеющих общую точку закрепления, вектором (г; Р1+ Рг), называемым их равнодействующей.
Введем отношение эквивалентности: две системы векторов называются эквивалентными, если одна получается из другой элементарными преобразованиями. Рассмотрим теперь четыре простейшие системы закрепленных векторов. 1) Система, в которой все векторы равны нулю (векторный нуль). 2) Система, состоя»цая из одного, не равного нулю вектора.
ПРИЛОЖЕНИЕ 318 3) Система, состоящая из двух векторов (г1., Р1) и (гз, Рз), таких, что Р1 = — Рм и г1 — гз неколлинеарно Р1 (равные по модулю силы имеют одинаковое направление, но противоположно ориентированы; линии действия не совпадают). Такая система называется ларой. 4) Система, состоящая из одного, не равного нулю, вектора и одной пары, расположенной в ортогональной к нему плоскости. Такая система называется еинп1одс Теорема 1. Система закрепленных векторов ((г;;Р;)) эквивалентна векторному нулю тогда и только тогда, когда главный вектор и главный момент равны нулю. Яоказагпедьсп1во. В формулировке теоремы уточнять, относительно какого полюса главный момент равен нулю, не надо, поскольку из формулы Мс = Мс + р х Р следует, что при Р = О главный момент не зависит от выбора полюса. Проведем плоскость так, чтобы она не проходила ни через одну из точек г; (1 = 1,..., и).
В выбранной плоскости фиксируем произвольно три точки гд, гн, и гс так, чтобы никакие три вектора г; -гд, г1 -гя и г; -гс не были компланарны. Каждый из векторов (гПР1) разложим по этим трем направлениям: (г;; Р;) = (г;, Р,д) + (г;; Р,я) + (г;; Р;ср Эта операция является, очевидно, элементарной. Каждый вектор (г,; Р;д) переместим вдоль линии действия в точку гд (вторая эле- ментаРнаЯ опеРациЯ), после чего все их сложим. Рд = ~ „1Р,д. Так же поступим и с векторами (г;; Р;и) и (г;;Р;с).
Мы получили, что произвольную систему закрепленных векторов элементарными преобразованиями можно привести к трем векторам (гд,Рд), (гв;Рв), (гс',Рс). Покажем, что из условия равенства нулю главного вектора и главного момента следует, что эти три вектора компланарны от противного, Пусть, например, Рдя ф О, Тогда момент этой силы вокруг прямой, проходящей через гн и гс не равен нулю.
Векторы Рд, Рп, Рс компланарны. Тогда, например, вектор Рс можно разложить по двум направлениям гд — гс и гв — гс: Рс = Рсд + Рсв Вектор (гс,Рсд) вдоль линии действия перемещаем в точку гд, а вектор (гс; Рсв) — в точку гн и складываем их соответственно с векторами (гд, Рд) и (гн;Рп). Таким образом, система закрепленных векторов с нулевыми главным вектором и главным моментом оказалась эквивалентной двум векторам, приложенным в точках гд и гв, а эти два вектора обязаны быть равны и прямопротивополжны, т.е. сводимы к векторному нулю. Теорема доказана. Теорема 2.
Две системы закрепленных векторов ((г;; Р;)) и ((гь, Сц,)), (1 = 1,..., и, /с = 1, ..., гп) эквивалентны тогда и только тогда, когда их главные векторы и главные моменты равны. ПРИЛОЖЕНИЕ 319 г2оказательство. В одну сторону утверждение очевидно; если две системы эквивалентны, то их главные векторы и главные моменты равны, поскольку при элементарных преобразованиях эти характеристики не меняются. Пусть теперь у двух систем равны главные векторы и главные моменты. Покажем, что системы эквивалентны. Рассмотрим новую систему ((гг, — Сг)) (все векторы заменены на обратные).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
