В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Поскольку в любой инерциэльной системе координат уравнения Максвелла обязаны иметь один и тот же вид, то преобразования, связывающие такие системы, должны быть симметриями этих уравнений. Из уравнений Максвелла последовательно получаем: з ет. ГРУппА симметРий УРАВнений максВеллА 271 В 61. Группа симметрий уравнений Максвелла Для нахождения группы симметрий этого уравнения используем условие (А, У] = Л(2, х)А (2 54), в котором операторы А и У имеют вид дт д' д д А = — — — У = б(Й х) — + т7(2, х) —. дтз дх' ' дт ' дх' Определяющие уравнения для нахождения коэффициентов искомого оператора получаются в силу этого условия такими: от — — Л, 2т)» = Л, пт = (», ~тт — ~»» = О, т7тс — т7»» = О.
Из бт — — и, и пт = с следует стт»» тат, с„= пт,. Следовательно, независимы только три соотношения: от =Л(т, х), 2п =Л(7, х), от =Р,, представляющие собой систему трех уравнений относителоно трех неизвестных функций. Множество решений этой системы бесконечно, так что алгебра симметрий волнового уравнения бесконечно- мерна.
Однако нас интересуют только такие симметрии, которые переводят прямые в прямые, т.е, их следует искать в проективной группе, построенной в предыдущем параграфе: с = а+ Ьт+ сх+ тих+ еФ~, и = /+ д2+ Ьх+ е1х + ттх . Подставляя эти выражения в рассматриваемые соотношения, находим 2(Ь+ ттх+ 2еС) = Л, 2(И+ е2+ 2ттх~) = Л, д + ех = с+ тц. Из последнего соотношения следует д = е, е = тт' = О.
После чего из первых двух находим Ь = Ь. Следовательно, искомый оператор получен в виде У = ИУ1+ /У2+ ЬУз+ сУе, где Ут — — д/д~ — оператор трансляции по времени, Ут = д/дх — оператор трансляции по координате, Уз — — тд/дт + хд/дх — оператор группы подобия, Уе = хд/д2+ тд/дх — оператор группы Лоренца. Таким образом, единственной группой, отличной от трансляций и однородных растяжений, которая исчерпывает все инерциальные системы отсчета, является группа Лоренца.
ГЛ.)З. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА гтг З 62. Оператор второго продолжения. Дважды продолженная группа Лоренца В дальнейшем нам понадобится дважды продолженный оператор группы Лоренца, который вычисляем так, как это делалось в 152: 1г) д д г д д Уч — — х — + С вЂ” + (1 — х ) —. — Зхх —,. дг дх дх дх В соответствии с теоремой единственности группы (~ 46) по этому оператору восстанавливаем саму группу, решая дифференциальные уравнения пх' 1г Нт .,г — =1 — х Нт пх' — = — Зх'х', Йт 1г) где правые части составлены из компонент оператора Ц4. Из первых двух уравнений находим 1' = 1сЬт+ хаЬт, х' = ФзЬт+ хсЬт. Из третьего находим Подставляя это выражение для т в зЬ т и сЬ т, находим уравнения группы Лоренца, выраженные через параметр ш Ф х — ш х' = Л:Р Оставшиеся два дифференциальных уравнения позволяют найти Последним соотношением удобно воспользоваться, чтобы придать каноническому параметру т механический смысл. Пусть относительно неподвижной системы отсчета (1, х) система (1', *') движется по пространственной координате со скоростью ш Тогда для начала координат системы (1', х') его скорость х' равна нулю, а х = и, что дает '2' В2.
ОПЕРАТОР ВТОРОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 273 Это и есть полные выражения для дважды продолженной группы Лоренца. Первые два соотношения представляют собой собственно группу Лоренца, третье — закон преобразования скоростей, четвертое — закон преобразования ускорений. Замечание 1. В исходном операторе Лоренца У~ время и координата входят совершенно симметричным образом. В полученных выше выражениях для группы эта симметрия утеряна, Это означает, что где-то в ходе построения теории возникла ситуация неединственности и был осуществлен переход к одной из симметричных ветвей теории.
Это произошло при продолжении оператора и расшифровке смысла канонического параметра группы. Переход к движущейся по оси з системе координат означает, что каждому значению 1 ставится в соответствие новое начало отсчета х (рис. 74), Рис. 75 Рис. 74 Ничто не мешает рассуждать иначе. Каждому значению х поставим в соответствие новое начало отсчета 2 (рис. 75). Физически это означает, что в каждой точке оси х стоят свои часы, они все идут в одном темпе, но по-разному заведены. Пример такого рода и был приведен в 258. Нетрудно построить преобразования, заменяющие в этом случае преобразования Лоренца.
Такие преобразования можно назвать сопряженными преобразованиями Лоренца. Если обозначить "скорость" перемещения системы (1', х') по оси времени через ы, то после выкладок, совершенно аналогичных приведенным, получим 1 — ых х — сы1 ( 2 1 2 ,„71 — с2ы2 ч71 — с2ы2 1 с2/ Здесь для ясности сохранен произвольный масштаб измерения скорости света с. Эти преобразования удовлетворяют обоим условиям, накладываемым на преобразования, переводящие инерциальные системы координат снова в инерциальные. То есть свободные материальные точки в координатах (1', х') движутся по прямым, и уравнения Максвелла в них имеют прежний вид.
Ьз з 222 ГЛ. )з. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА 224 )2) д д "т д -т -.т д (7 = г — + г — + (Š— ггт) —. — (2ггт + ггт) —, дг дг дг дг' где 12) Уе 12) и, р) и. 1 О О О 1 О О О 1 (г) и= Три оператора группы в пространственном случае соответствуют трем компонентам скорости о. 3 63. Инварианты группы Перейдем к вычислению инвариантное группа~ Лоренцо.
Роль инвариантов исключительно высока. Они представляют собой величины, зависящие от времени, координат, скоростей и ускорений, численное значение которых не зависит от того, в какой системе координат их вычислять. Следовательно, именно они и характеризуют физику явлений, а не выбор системы отсчета. Если требуется построить какую-нибудь теорию, инвариантную относительно преобразований Лоренца, она должна быть выражена через инварианты этих преобразований.
Цель настоящего параграфа — уравнения релятивистской механики — как раз и представляет собой иллюстрацию сказанного. Дифференциальные инварианты до второго порядка включительно находятся из уравнения дС дС г дС -дС х — +1 — + (1 — х') —.
— Зхх —, = О. дг дх дх дх Р) Ц С=О или Отсюда следуют три инварианта: С = /Г2 — х2 Инвариант С1 носит название интервала. Для нахождения интегральных инвариантов исходим из уравнения (см ег53) (2) 17,7 + х.7 = О, 4 Инвариантными относительно найденных преобразований являются и уравнения релятивистской динамики, которые представляют основную цель наших построений. Замечание 2. В общем, пространственном случае оператор второго продолжения трехпараметрической группы Лоренца имеет вид з ВЗ. ИНВАРИАНТЫ ГРУППЪ| откуда следует = ~/1:*м(а„а,, а.), те интегральный инвариант группы Лоренца имеет вид ь /1-х М(а„а„а,) 1, а где М вЂ” произвольная функция инвариантов. В частности, инвариант с /1 г ьгг о носит название собственного еремени частицы, движущейся со скоростью х.
Смысл введения такого названия для этого инварианта требует пояснения. Пусть, в частном случае, материальная точка движется с постоянной скоростью: х = н. Тогда с этой точкой можно совместить начало подвижной системы (|',*'). Связь новых переменных со старыми: |' = (| — нх)//1 — нг, х' = (х — о|)/~/1 — ьг позволяет выяснить, как течет время на часах, помещенных в подвижную точку. Для нее х' = О, откуда х = о| и |' = /à — нг|, что совпадает со значением интегрального инварианта в случае постоянной скорости.
Приведенное рассуждение оправдывает приписывание инварианту )он1 — ого смысла собственного времени, но ничего не доказывает. Например, рассмотрим такой интегральный инвариант: Он обладает тем свойством, что при х = О тоже совпадает с найденным выражением для собственного времени при постоянной скорости, а при с -~ оо стремится к ньютоновскому "абсолютному" времени. Система координат, совмещенная с неравномерно движущейся точкой, является неинерциальной и прежде чем говорить о времени в какой-либо точке такой системы (в частности, в начале координат), необходимо указать закон перехода от инерциальной системы к неинерциальной.
При построении таких законов приходится вво( с — —.е дить новые постулаты. Поэтому и отождествление )о Ч1 — х й с собственным временем частицы, движущейся со скоростью х, следует считать новым постулатом, независимым от уже введенных. 19' ГЛ. тз. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА й 64.
Релятивистские уравнения динамики точки После того как найдены инварианты, можно приступить к нахождению обобщения для уравнений Ньютона. Согласно аксиоме В (г 60) эти уравнения должны иметь одинаковый вид в любой иперциальиой системе координат. Общий вид уравнений второго порядка, иивариаитиых относительно заданной группы (154), есть Сз = Ф(Ст, Сг, Р, тп). В силу однородности пространства ( допустимость группы трансляций) зависимости от Ст и Сг быть ие может, так как Ст и Сг не являются иивариаитами трансляций, поэтому уравнение динамики приобретает вид Сз — — Ф(Р, тп).
Используя найденное выше выражение для С, получим (возвращаясь к измерению с в произвольном масштабе): Из условия находим Ф(Р, т) = Р/тп. Для получения трехмерного обобщения перепишем найденное уравнение в виде — = Р (с = 1). Вычислим функцию Лагранжа из условия дЕ тпх дз,/1 ~г ' откуда находим ь' = — пт~/1 — зг. Трехмерное обобщение, учитывающее иивариаитиость лагранжиана относительно поворотов, есть т=- 'Г-'тт:т' — * ГЛ.13. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА 278 В числителе стоит интегральная сумма; увеличивая число разбие- ний и переходя к пределу )1е+ — 2е) < Ь -+ О, получим Аналогичные рассуждения при дополнительном предположении, что в процессе перехода от одного участка движения с постоянной скоростью к другому время во всех точках пространства меняется непрерывно, приводят к соотношению Полученные соотношения и определяют закон перехода от инерциальной системы отсчета к иеииерциальиой: (2, з) + (2', х').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
