В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 14
Текст из файла (страница 14)
г„=)н~ =~~„н +.),А у~~~ и +ли Видно, что если параллельный перенос осуществляется из центра масс вдоль одной из координатных осей (из трех величин а, о, с не равна нулю только одна), то центробежные моменты инерции не меняются. Поворот осей. Пусть от осей С ц~ перешли к осям ('ц'~' при помощи матрицы поворота о', так что векторы ы и К в новых осях приобрели вид ы' = Яы, К' = ЯК. Связь между К' и ы' принимает вид Следовательно, тензор инерции в повернутых осях может быть подсчитан по формуле ,у' = о,уят Этот закон преобразования и определяет смысл названия ьтензорь Из алгебры известно, что любая симметрическая положительно определенная матрица преобразованием поворота может быть приведена к диагональному виду; ,7'= О В О Оси, в которых тензор инерции тела имеет диагональный вид, называются главными осями инерции тела.
Если эти оси дополнительно проходят через центр масс, то они называются главными центральными осями инерции. В главных осях кинетическая знергия приобретает простейший вид г = -(Арг+ Воз+ Сг') 1 2 Эллипсоид инерции. Это геометрическая поверхность, жестко связанная с телом, которая строится так. В произвольном направлении, задаваемом вектором е, отложим отрезок длиной 1/~/А з 19. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 83 Геометрическое место таких точек и есть эллипсоид инерции. Действительно, подставляя в выражение,7, = е,7е вектор е в виде е = г~/Д„получаем г,7г = 1. В главных осях это уравнение имеет простейший вид А~я + В~я + С~э 2. Динамические уравнения Эйлера Динамические уравнения Эйлера для твердого тела с одной неподвижной точкой выводятся из теоремы об изменении момента количества движения (з12). дК д1 — К=(К., К„, К,), йй=(М„М„,М,).
В этом выражении К и М рассматриваются в проекциях на неподвижные оси хух. В дальнейшем оказывается более удобным рассматривать зто уравнение в проекциях на оси, жестко связанные с телом — сг1ч. Для того чтобы написать соответствуюшие уравнения, воспользуемся правилом вычисления полной производной от вектора, заданного своими проекциями в подвижной системе координат (см. гл.
3) Если обозначить угловую скорость тела, или, что то же самое, трехгранника Щ через ш, то рассматринаемое уравнение принимает вид: дК вЂ” +ыхК=М, Й К=(КЕ,К,КС), ы=(р,е,г), М=(МОМ„,МС). Удобство этого уравнения заключается в том, что в нем вектор К выражается через вектор ы установленным выше отношением К =.7ы, в котором тензор,7 уже не зависит от времени. Выбирая в качестве осей Щ главные оси инерции тела, в покоординатной форме написанное уравнение получим в виде А — + (С вЂ” В)йг = М~, др д1 дй  — + (А — С)рг = М, Й вЂ” е Йг С вЂ” + ( — А)рд = МО Й Эти уравнения и называются динамическими уравнениями Эйлера.
В обшем случае момент внешних сил М зависит от положения твердого тела относительно триедра хух, от скорости ы и от ГЛ. З. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 84 времени. Поэтому для замыкания системы к ним необходимо присоединить кииематические уравнения, связывающие положение тела с его угловой скоростью. Эти уравнепия могут быть взяты в любой из установленных в 89 форм; кииематические уравнения Эйлера в углах Эйлера, кинематические уравнения Пуассона в ортогональных матрицах, или в кватерниоиах. 3. Решение в случае Эйлера (М = О). Особый интерес представляет собой движение тела по инерции, т.е. когда внешние моменты равны нулю.
Этот случай и называется случаем Эйлера. Выбрав в качестве кинематических уравнений, дополняющих динамические, уравнения Эйлера, запишем полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела с одной неподвижной точкой по инерции: А — + (С вЂ” В)дг = О, Нр Й В вЂ” + (А — С)рг = О, Ну сй о'г С вЂ” + ( — А)рд = О, щ' р 81п у + й соз у 81п 0 0 = р соэ у — д э)п у, ф = г — (рз4пр+ йсоз у)сгй9.
Уравнения расщепились, динамические уравнения могут быть решены независимо от кинематических. Найденное для динамических уравнений решение затем нужно подставить в кинематические уравнения, что позволяет решить и их. Для решения динамиЧеских уравнений заметим, что в случае М = О система допусйает интеграл кинетического момента и интеграл энергии. Векзйзф' кинетического момента постоянен в осях кую К = сопзС. В осях Щ постоянным будет лишь его модуль; Азрз + Вз, г + Сггз Кз Добавив к нему интеграл энергии Ар +Вд~+Сгз = 2Т, ~ )Э. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА получаем систему алгебраических уравнений, позволяющих выразить из нее любые две компоненты скорости через третью. Положим для определенности А > В> С (А > С), (Случай А = В = С очень прост. В нем (с = сопэ1, и все движение состоит во вращении тела с постоянвой скоростью вокруг неподвижной оси.) Выразим из первых двух ии- У тегралов компоненты р и г, учитывая, что определитель системы относительно переменных рт и г~ у В( равен АС(А — С) и, следовательно, У отличен от нуля: р = ~~/а — дет, г = х „/с — ((дт.
Рис. 37 Здесь параметры а, 6, с, Ы выражаются через исходиые параметры задачи. Подставляя зти соотношения в уравнение ВЫд/й+(А — С)рг = О, находим  — В (А — С)~( ° — АА )( — АА ) = В. сй Нахождение из этого уравнения (7(С) сводится к обращению эллиптического интеграла: А — С с((7 (г — га) = ~ В А, „'((. - АА )(. -' АА )' Такое обращение делается при помощи так называемых эллиптических функций, что и завершает задачу нахождения р(В), д(М) и г(В).
Для того чтобы решить кинематические уравнения, их удобно записать, выбрав трехгранник хух специальным образом; пользуясь неизменностью вектора К, направим ось х по этому вектору (рис. 27). Тогда проекции вектора К на оси (ц~ примут вид Кд = К з)п да)п у, К„= К з) п д соз у, КС = Ксозд С другой стороны, К — — Ар, К„= В(), К< = Аг, что позволяет последовательно найти АВЯ созд = —, К вд(с) сову = Кз(ад ГЛ. З. СНЕЦИАЛЪНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ вб Для нахождения Ф воспользуемся первым из кинематических уравнений Эйлера: „) ~,г ~' р(1) з1п у(1) + д(1) сов р(1) Й.
о з1п 0(1) 4. Геометрическая интерпретация Мак-Куллага. Использованные выше интеграл модуля кинетического момента и интеграл кинетической энергии, выраженные через компоненты скорости р, д, г, могут быть выражены через компоненты кинетического момента: К~э + Кт + Ксз = Кз, К2 К2 К2 — + — + — = 2Т. 1 А В С Эти уравнения позволяют получить достаточно ясное представление о движении тела в случае Эйлера.
В осях Кг, Кч, КС первое уравнение представляет собой сферу радиуса К, второе уравнение — эллипсоид, называемый эллипсоидом Мак-Куллага, с полуосями чг2ТА, ~I2ТВ и /2ТС. В процессе движения тела вектор кинетического момента должен принадлежать пересечению этих поверхностей. Само пересечение возможно, если радиус сферы лежит между большой и малой полуосями эллипсоида: 2ТА ) К~ ) 2ТС.
Поскольку вектор К неподвижен в пространстве куг, а эллипсоид Мак-Куллага неподвижен в теле, то движение тела в пространстве хух представляет собой обкатывание эллипсоидом неподвижного конца К по линиям пересечения эллипсоида со сферой Проследим характер траекторий вектора К на рассматриваемом эллипсоиде. Начнем с критического случая Кз = 2ТВ В этом случае траектория является плоской. Действительно, умножив интеграл энергии на В и вычтя его из интеграла кинетического момента, получим 1- -„' К~+ 1- - Кс = О, откуда следует В.
ГВ 1 — — К, ~11 — — 1К< = О. А ~/С 2 1Э. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Эти две плоскости проходят через ось 9 (ось среднего момента инерции тела) и пересекают эллипсоид Мак-Куллага по двум эллипсам, которые разделяют остальные траектории на два класса. 1) эпициклоидальное движение, 2) перициклоидальное движение. В первом случае траектории являются замкнутыми вокруг оси кривыми, во втором — они замкнуты вокруг оси с (рис. 28). Это следует из того, что предельным для первого случая является движение с К2 = 2ТС, для которого К< —— Кч — — О, К< ф О. Во втором с случае предельным является двиф жение с Кт = 2ТА, для которого х К<фО, К„=К<-0.
Для завершения рассматривае- Рие. 26 мой интерпретации осталось заметить, что проекция скорости тела на ось К постоянна: ш К = = 2Т, и для определения положения тела вокруг этой оси можно воспользоваться теоремой о телесном угле. 5. Геометрическая интерпретапня Пуансо. В отличие от предыдушей интерпретации здесь используется эллипсоид инерции: / ~гА+ 02В+~гС 1 = г Тг — 1 = О, Покажем, что при движении твердого тела в случае Эйлера жестко связанный с телом его эллипсоид инерции катится без проскальзывания по неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору кинетического момента (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
