В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Специальные задачи динамики З 18. Задача двух тел Исторически задача двух тел возникла в небесной механике в связи с изучением движения планет вокруг Солнца под действием сил, подчиняющихся закону всемирного тяготения. ГЛ. з. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ Если считать, что сила взаимодействия между планетой и Солнцем много больше сил взаимодействия планет друг с другом, то задача изучения движения люг бой планеты сводится к задаче движения в инерциальном про- М странстве двух тел (рис. 25). Мас- са Солнца обозначена буквой М, -Р масса планеты — буквой гп. Если считать размеры тел мно- Р го меньше растояния между ними, г то оба тела можно рассматривать гп как материальные точки, притягивающиеся друг к другу с силой, модуль которой равен х у гпМ Рис.
25 Р= у '- (к,) Коэффициент 7 называется универсальной гравитационной постоянной, П и г — радиусы-векторы Солнца и планеты соответственно. По теореме об изменении количества движения системы имеем МК+ пгг = сопз1, поскольку внешних сил иет. То есть центр масс системы Солнце плюс планета в произвольной инерциальпой системе отсчета движется равномерно и прямолинейно. Выберем такую инерциальную систему, в которой этот центр покоится, и поместим начало координат в этот центр: МП+ гпг = = О Тем самым, достаточно найти движение планеты, движение Солнца определится из соотношения В = — пгг/М.
Подставим это соотношение в выражение для силы тяготения и запишем уравнение движения планеты: пгМ г (1+,/М) )г) Обозначив величину уМз/(М+ пг)з буквой А, получим г )г)з ' Тем самым задача двух тел при помощи теоремы об изменении количества движения сводится к задаче движения одной материальной точки в поле притягивающего центра.
Умножив полученное уравнение слева векторно на г, находим: г х г = О. Это соотношение можно переписать так: гг/й(г х г) = О, откуда следует гхг=С, з 18. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ что выражает собой закон сохранения кинетического момента. Из него следует, что движение происходит в неизменной плоскости, ортогональной вектору С. Исходную инерциальную систему отсчета можно выбрать так, чтобы это была плоскость (х, у). В этом случае уравнения движения точки принимают вид /сэ /су к=в У= с(* ю~~) Л сФ) Решение этой системы нелинейных уравнений удобно проводить в полярной системе координат х = 7 сов ф, у = ге!пф.
Воспользуемся уравнениями Лагранжа, выведенными в з 5: — — — — =Нсвт (с=1,2), ~1 дТ дТ адс дд, в которых дс — г, дг = сэ, (г'ы гз) — проекции силы (Г„г'„) на направление к центру и на перпендикуляр к нему. Подсчитаем коэффициенты Ламе: Н вЂ” — + Нз — — + — = г. Кинетическая энергия точки Т = -э~ = (Н~гг+ Нг, г) ('г+ г~ 'Рз) Проекции силы А Рс=- —,, Рг=О г~' Уравнения Лагранжа дают г. Ё газ — (гзу) — О Из последнего уравнения следует гтр = С вЂ” модуль вектора неизменного момента количества движения г х г = С.
Поскольку ГЛ.З. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 78 г~дуз(2 = д5 — элемент площади, заметенной радиусом г при бесконечно малом смещении вдоль траектории, то константа С = = 205/дс выражает собой закон постоянства секторной скорости. Этот закон позволяет исключить переменную у из уравнений г— гз гз Это уравнение сводится к линейному при помощи подстановки Бине. Вместо переменной г будем рассматривать переменную и = 1(г, а вместо независимой переменной 1 в качестве независимой выберем переменную 1о.
Последнее возможно, поскольку из соотношения ф = С/г~ следует, что 1о изменяется монотонно. Выполним необходимые выкладки: дг дг. Сдг д /1'1 ди д1 др "д д 1( ар' После этого написанное выше дифференциальное уравнение приобретает вид дзи й — +и = —. д1оз Сз ' Его общее решение А и = Асов(~р+ 1оа) +— Сз или, в исходной переменной: р Ф=1о+Фо 1+ есов4' где Сз СзА р= —, е= —,. /с и Полученное решение представляет собой уравнение эллипса, записанное в полярных координатах, если е ( 1. Этот случай и имеет место для планет. В общем случае при е = 1 траектория представляет собой параболу, если е ) 1 — гиперболу. Найденное решение позволяет подтвердить справедливость трех законов Кеплера.
Первый закон Кеплера, планеты движутсл по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце 1 29. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 79 Более точно, в фокусе находится центр масс системы Солнце + планета, однако масса Солнца намного больше массы любой планеты, и этот закон практически точен. Второй закон Кеплера площади, зометоемые радиусом-вектором, идущим от Солнца к планете, пропорциональны промежуткам времени, в которые они были заметены. Этот закон является следствием отмеченного выше постоямства секторной скорости и, так же как и первый закон, должен формулироваться для центра масс.
Третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся кок кубы их больших полуосей. Этот закон получим, если воспользуемся известной из геометрии связью между параметром эллипса р и его полуосями о и б: р=б /о. Константу интеграла плошадей С можно выразить через площадь эллипса и через период обращения так: С = 2коб(Т. Поскольку С2,$2 2й2 й «Тг то указанная выше связь между р, о и О дает Т' 4кг Поскольку константа А слабо зависит от массы планеты т, то и этот закон тем точнее, чем меньше соотношение т/М. 2 19. Динамика твердого тела с одной неподвижной точкой 1.
Геометрия масс. В основе геометрии масс абсолютно твердого тела лежит понятие момента инерции тела вокруг некоторой оси. Пусть твердое, тело вращается вокруг неподвижной оси, направление которой задается единичным вектором е (рис. 26), с угловой скоростью ш. Поскольку модуль скорости элемента массы бт равен шр, где р — расстояние от оси е до элемента массы дт, то кинетическая энергия тела как механической системы 1 Г Т= — / ч тат 2,/ ГЛ. З.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ во приобретает вид щз 1 ыз Т= — р 4т= Уе. 2,/ 2 Здесь через Я, обозначен коэффициент, называемый моментом инерции твердого тело вокруг оси е; В случае, когда ось вращения не фиксирована и в теле только одна неподвижная точка О, кинетическую энергию его можно подсчитать, воспользовавшись формулой Эйлера (З 9): 1 Т = — /(ы х г) (ы х г) дт. г/ Векторное произведение ы х г можно представить, как линейное преобразование вектора ы с матрицей преобразования г: шхг=гы= — ~ 0 С д Здесь 4, 9, ~ — компоненты вектора и г в подвижных, жестко связанных Рис. ЗБ с телом осях, р, д, г — компоненты вектора ы в тех же осях.
Поскольку скалярное произведение под знаком интеграла можно предатавить соответствующим произведением матриц (и х г) (ы х г) = ытгтгш, то выражение для кинетической энергии приобретает вид Т = — / ш г гш дт = -ы 7ш = -ы,Ты. г/ 2 2 Здесь буквой,7 обозначен тензор инерции: э 1Э. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 81 Произведение стоящих под интегралом матриц имеет вид гтг= ~ Π— ~ — С О С'+ ц' -И -СС ~2 1 ~2 — Ог+сг Видно, что по диагонали тенэора инерции получились моменты инерции вокруг осей ~, и, С. Элементы вне главной диагонали называются центробежными моментами инерции: / .71 -Ъ -7к') 7 = - 7гч 7о -7о< - 711 — 7чс 71 Кинетическую энергию можно вычислить и так: 1 / 1 / 1 Т = — ~ ч (ы х г) дт = — / ы (г х ч) от = -ы К.
2/ 2„1 2 Сравнивая этот результат с полученным выше, находим выражение для кинетического момента: При помощи тензора инерции можно вычислить момент инерции вокруг произвольной оси е. Подставляя в выражение Т = ы,7ы/2 вектор угловой скорости в виде ы = ые, получим Т = ыге,7е/2. Сравнивая это выражение с ранее полученным Т = (1/2)ыт,7г, находим .7, = е.,7е. Установим некоторые свойства моментов инерции твердого тела. Параллельный перенос осей. Пусть осуществлен параллельный перенос осей; с = с'+ а, и = О'+ 6, ( = ~'+ с. Изменение осевых моментов инерции проследим на примере момента инерции вокруг оси С: ,71 — — (~~+О~) дт = (~' +О' ) дт+2с ~'дт+26 О'дт+(а +6 )М.
Если в результате переноса начало координат попало в центр масс тела, то ) Я' ат = Я ат = ) с' ат = О и мы приходим к теореме Гюйгенса-Штейнера: момент инерции вокруг оси, проходли1ей через 7 Зак 233 ГЛ. з. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ центр масс, имеет минимальное значение в сравнении с моментом инерции вокруг прочих осей, параллельных данной, и отличается от них произведением массы тела на квадрат расстояния до соответствующей оси. Изменение центробежных моментов рассмотрим на примере момента относительно осей С и и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
