А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 34
Текст из файла (страница 34)
За время релаксации 1, напряжение а1 убывает в е=2,71828 раза. Соотношения (2!.6), (2!.7) чаще используются в виде с- Ф ац (1) = ) )с (à — т) дзн (т), — р = ) )с, (! — т) д0 (т), (21.10) Вм(1) = ~ П(Ф вЂ” т)сЕан(т), — 0 =а) П,(г — т)др(т), к которому они на основании начальных условий: 1=0, а11=р=ец — — 0=0, Р(0) = 26, Л,(0) = К, (21.11) Я(0)П(0) =Д (О) П,(0) = 1 приводятся заменой Г(1)= — "'"' = Л (1), Г,= — Я;(1), Е1 213 Линейная теория вязко-упругости У г11 )т н П называются соответственно приведенной функцией релаксации и ползучести.
Относя ординаты каждой из кривых а,', е," (рис. 21.1) к 2а,'(3, 2а,/3, убедимся, что онн сольются в одну кривую, которая и является функцией ползучестн П(1). При небольших изменениях температуры Т=То+ОЯ функцнигс а и П н линейной по пн, еп н О теории не дОлины зависеть от О, соотношения (21.10) сохранятся, если только объемную деформацию О заменить на Ог = Π— Заб. (21.13) Для простоты, пренебрегая объемной ползучестью, т. е. полагая )с1(1) =К=сонэ(, Р~Пг — — 1, получим Р= — КОт, Рис, 21,1 (21.14) сг + Ш О Р' (й — т~ — т,) с(е,;(т,) с(зи(т,), (21.17) оо и= ~)~(1 )сс и( )' о В линейной теория свободную энергию ф следует считать квадратичным функционалом деформаций н температуры О=Т вЂ” То ($11).
Но д и От=Π— Заб являются термодянамическими параметрами состояния, е;;(1) — внешними параметрами. Следовательно, можно написать для единицы объема (розр=ф): соз К з 1 оо зР = — — + — 0' + — Ц Р (1 — т,, 1 — т,) с(е,.; (т,) г2згг. (т,), (21.15) 2Тг оо где Р(х, у) Р(у, х) — некоторая неотрицательная функция— характеристика материала, которую:приближенно можно заменить функцией одного аргумента Р(1 — т,1 — тз) = Р(21 — т, — т,). (21.16) Полный дифференциал ф по 1 равен 'ф= — ('~+3 КО,')20+КО,20+ (а„(1)~Р(1 —,) зи(,)+ к То о 214 сРеды со слОжными сзоиствоми Сгл. Р, оо Р= — Кбг, з= — — зар, с аи — — ~ ус (~ — т) с(зсс (т), о (21.19) ~ (' отс' (2с' тс — то) г(асс (тс) с(зсс (то). од Предполагается, что рассматриваемый материал, как уже указывалось выше„является мгновенно упругим.
Сравнивая асс (21.19) и (21,14), находим функцию Р (я) = сс (г). (21.20) Представление Р (х, у) в виде (21.16) термодинамически возможно, если %">О при ото =сг, т. е. если сс(1) удовлетворяет условию сс Ф" = — Ц сг' (21 — т, — т,) с(зсс (т,) с1аи (то) > 0 (21.21) пРи любых ем (1), з, б, = О. Дла максвелловской модели, напРимеР, с ' сс Я =)(с(0)ехр ( — — и потому с, (Р = ~басф — т,)с(есс(тс)1 >О.
2ОС, о Теплоемкость при р = О равна Т,— = с; второй 'закон термодннадсг дс мики и закон Фурье с) = — ХйгабТ, Т д' = — 61чд+ йГ ш дают уравнение теплопроводности с — = ЪЬТ+ МT+ ЪаТо — ~ дС дг (21.22) т, е. имеет вид (11.36). Основное термодннамнческое соотношение с(ф + жЮ = — рс(9 + асс с(зсс — В" с(1 (21.18) может быть удовлетворено, приравнивая нулю коэффициенты при Н, с(В, ес „си: 215 Линейная теория вязло-упругости й гт1 Присоединяя к нему уравнения движения р(й! — Р;) =огнь закон р= — Кб!ч и и выражения (2!Л4), получаем замкнутую систему уравнений для й и Т, причем задачи МСС в рассматриваемом случае будут связными, т. е.
уравнения для й и Т не разделяются, так как я (21.22) входит й через 'йР«; в выражения ом через р= — К(о!ч й — 3 аб) входит температура. Другой способ представления соотношений типа (19.33) дает операторная формула Рз = ()о, Ре„= (;!осм (21.23) где Р, Я вЂ” линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами вида тл л йя «-«е (21.24) йм ым ! ! причем тп, и — некоторые целые числа, аы гтп — постоянные. С этими операторами при дифференцировании и интегрировании по координатам можно обращаться как с числами; обозначая 2М = —, (2!.25) !) ' мы из (21.23) получаем «закон Гукак о„= 2М ем, (21.26) и М играет роль упругой постоянной 6.
Если для объемных деформаций принять закон Гука — Р=КО, то из уравнений равновесия пггт;+ рР,. = 0 получим уравнения Ляме, н потому задача сведена к задаче идеальной изотропной упругости, Если будет найден вектор перемещения й=й(х, М), то вычисление этой известной функции от оператора М можно сделать с помощью некоторых известных методов (Хевисайд). Поскольку (21.6) — общий вид связи о;; есь следовательно, соотношения (21.23) можно преобразовать в (21,6).
в 22. ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАТНИТНОГО ПОЛЯ Рассмотрим постановку задач,движения сплошной среды с учетом электромагнитных эффектов. Движение проводящих сред (металлов, ионизирова!нных жидкостей и газов) при наличии 216 СРЕДЫ СО СЛОЖНЫМИ СВОЙСТВАМИ 1ГМ У, электромапнитного поля сопровождается возникновением электрических токов, определяемых имеющимся полем и характером движения. Взаимодействие токов с магнитным полем, в свою очередь, приводит к изменению электромагнитного поля н к появлению дополнительных сил, изменяющих движение среды. В ряде случаев существенными оказываются также, явления поляризации и намапничивания Среды в электромагнитном ноле. Поэтому возникает .необходимость совместного рассмотрения механических л электромагнитных явлений. Электромагнитное поле характеризуется напряженностью Е электрического н напряженностью Й магнитного, полей.
Электрическая поляризация и намагниченность среды характеризуются соответственно вектором А) электрической и вектором В магнитной индукции. Электромагнитное поле в пустоте или в электро- и магнитонейтральных средах описывается классическими уравнениями Максвелла: го1 Š— ., Огч Н = О, — 1 дН с Рт (22.1) — дЕ го1Й= — —, йчЕ=О, где с — скорость распространения электромагнитных волн (скорость света). В общем случае проводящих, поляризуемых н Йамагничивающнхся сред уравнения Максвелла имеют внд дВ го1Е= — —.—, б1ТВ= О, с д~ (22.2) 4В ! ды го1Н = — / + †.
—, Йчб= 4яр,. (22.3) с д1 )' = О~Е+ — [о х Й)) +р,ту, (22. 4) где о — проводимость, а о — скорость среды. Здесь 1 — плотность возникающего в среде электрического тока, р, — плотность электрических зарядов. В проводящих средах уравнения Максвелла дополняются законом Ома, дающим связь плотности тока 1 с напряженностями Е, Й электрического и магнитного полей и параметрами, определяющими свойства и движение среды. Во многих случаях закон Ома для движущейся проводящей среды может быть принят в форме 217 Влияние электромагнитного поля Отметим, что система уравнений Максвелла (22.2), (22,3) содержит лишь семь уравнений, так как уравнение б!ч В=О является следствием первого (векторного) уравнения (22.2) при соответствующих начальных данных.
Для меподвижных проводящих сред система уравнений (22.2), (22.3), (22.4) становится замкнутой, если известны функцчтональные зависимости векторов 17, В электрической и магнитной индукции от напряженностей Е, Н электрического н магнитного полей: при некоторых начальных н граничных условиях векторы Е, Й 1 вполне определяются. Для элемента среды векторы .0 и В являются внешними параметрами, причем работа, приходящаяся на единицу объема, совершаемая при изменении электрического и магнитного состояния вещества, определяется соотношением б Ан = (Егг(0 Н'г1В ) 4н (22.5) рда =- (Е+ — [и х Й)) (1ю — р, и). с (22.6) Предполагая, что свободная энергия ф известна как функционал ф= ЯТ, есь 0„В)оо (22.7) а А. А.
ильюшин поэтому наличие функциональной связи В, В от Е, Н или обратной зависимости Е, Н от 1л, В является следствием общих законов и постулатов термодинамики. Эта связь определяется свойствами сред и процессов и является предметом экспериментальных исследований. В силу наличия скорости и движущейся среды в соотношевии (22.4) система уравнений (22.2), (22.3), (22.4) (при зависимости 1т, В от Е, Й) в случае движения проводящей среды является незамкнутой и задачи электродинамики оказываются связанными с задачамн механики сплошной среды.
Термодинамические соотношения $ 11 имеют место для рассматриваемого случая взаимодействия движущейся среды с электромагнитным полем, если в качестве немеханических внеш них параметров р примять векторы Й, В электрической я магнитной индукции. Дополнительная работа б'Аа (11.10) внешних сил при этом имеет выражение (22.5), а дополнительный приток тепла рда (1!.18), выделяемого за счет действия электромагнитного поля на проводящую среду (джоулево тепло), определится соотношением 218 сРеды со сложкыми свонстВАми 1гс. Ю аналогично (1!.37) найдем напряжения Ям и напряженности Е', Н' электрического и магнитного полей в виде Вй= Вст[Т, еи, Ро В)~, Ес =- Е'Г еи Рг ВЛо, Н'= Нс(Т, ни, Ро В,]~с.
(22.8) Часто последние два соотношения (22.8), определяющие законы поляризации и намагничивания среды, записывают в виде Р=еЕ, В=рН, (22.9) ори этом в соответствии с (22.8) коэффициент магнитной прони- цаемости р н коэффициент е, характеризующий диэлектрические свойства среды, являются в общем случае функционалами ука- занных в скобках параметров р= ЯТ, ем, Ро В1о, г = е (Т, ан, Ро В,)о. (22.10) — зй го1Е =- — —.—, б(чН= О, с Ж (22.11) го1Й= — 1, б(чЕ = 4яр„ с (22.12) Система уравнений (22.2), (22.3), (22А), (22.8) замыкается общими уравнениями ~механики сплошной среды (уравнения движения, сохранения массы, притока тепла), которые сохраняют свою форму, а наличие электромагнитного поля приводит лишь к дополнительной объемной (пондермоторной) силе Р, в уравнении движения и дополнительному члену в уравнении притока тепла, равному джоулеву теплу (22.6). В магнитной гидродинамике принимают, что термодинамические функции и напряжения Ви (22.8) не зависят от векторов Р, В, считают обышю явления поляризации н намагничивания отсутствующими, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
