А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Задача отыскания группы 6 приводится к интегрировани1о некоторой системы однородных дифференциальных уравнений 1Г с частнымн производными первого порядка (которую не выписываем) для функций $'(х), получаемой из требования вызолнення (25.7) при условии, налагаемом (А). Отыскание решения системы Ф' может оказаться не менее сложным, чем исходной, но в ряде случаев решение может быть получено. По найденным З1, содержащим определенное число произвольных постоянных с): 244 1ги Тн РАЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ д, д д х4 — х — -',-2 — —, и —, ди ' дТ ди ' Теперь по известному базису (25.3) может быть найдена группа 6 интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями — = $с(х'), хи~с=о =-х' (1= 1, ...п).
йхи ЕТ Для (25.1) группа 6 имеет вид 1) 1' = 1+ а„х' = х, Т' = Т, и' = и; и' = и; 2) 1' = 1, х' = х+ а„Т' = Т, 3) 1'=а',1, х'=а,х, Т'=-Т, и' = а-'и; з 4) 1'=1, х'=е'х, Т'=-Т+2а„и'=е'и. Система уравнений, получаемая из (А) в результате преобразований (25.2), имеет оди~наковую с (А) совокупность .решений. Может оказаться несложным отыскание частных решений преобразованной на основе 6 системы„и зти решения приводит в ряде случаев к ра~нее неизвестным решениям системы (А). Кроме того, преобразованная система может оказаться проще для исследования.
Можно рассмотреть вопрос об отыскании частных решений, ннвариантных относительно некоторых подгрупп 6'~6. Отыскание таких решений, если они существуют, может быть приведено к интегрированию системы дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных, если в качестве новых переменных выбрать систему инвариантов 6'. Новые переменные, получаемые в МСС методами теории размерности, и упрощающие задачи, являются частным случаем рассматриваемых ниже ннвариантов. При известной 6 может быть найден по (25.2) или (25.6) полный набор функционально независимых инвариантов 6', т. е.
набор функций У'(х), ..., У'(х), для которого, ранг матрицы ~дУА/дх'е равен 1 и для всякого У(х) найдется функция гг такая, что будет тождественно выполнено У(х) = 5Т (У'(х), ..., У'(х)). Если преобразования 6 (25.2) вычислены, то задача отыскания Уз(х) сводится только к процессу исключения.
В частности система инварпантов для подгруппы, соответствующей оператору д х = $' —, может быть найдена из уравнения (25.5): дли ху= О 245 Об инеарианхных решениях й е5] как совокупность и — 1 независимых частных решений 1;(х), ..., 1; ~(х). Тогда, принимая за новые переменные г;=Уь сохраняя одно из х, получим систему уравнений с меньшим йа 1 числом независимых переменных. Например, для преобразования (25.3) система,инвариантов У,= =, )хв=Т, Ув=и~/7, 1 Для преобразования, соответствующего оператору хм хв, 1' =1+а, х' = е'х, Т'=Т+ 2ав, и' =е'и, Ут = хе — ', )'н = Т вЂ” 21, 1'в = ие-'.
Если принять Т=8($)+21, и=его($), 5=хе ', то из (25.1) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений — $+ — — 2=0, аи еЬ а'" ио — Н ыип (Р) — 0 ий Все автомодельные решения получаются как решения, инвариаятные относительно преобразований растяжения, для которых операторы х~ (25.3) являются однородными нулевой ступени относительно переменных (х', ..., х") '. ' З йй написан Э. Л.
Леоновой. Литература По общим и математическим вопросам МСС 1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е, М. Механика сплошных сред. М,, Физматгнз, 1954. 2. Ландау Л. Д., Л нф ш н ц Е. М, Электродинамика сплошных сред. 31., Фнзматгнз, 1959. 3. Ж с р и с и П. МСС. М., «Мир», 1965. 4. С е д о в Л. И. МСС, т.
1. М., «Наука», !970. 5, Седов Л, И. Методы подобия н размерностей в механикс, М., ГИТТЛ, 19о7. 6. Рс ге з 3. Месап!9пе йепега!е. Маззоп е11!с, 1962. 7. Ил ь ю ш и н А. А. Пластичность. М., Изд-во АН СССР, 1963. 8. Ильюшин А. А. МСС, вып. 1 — Ч. Изд-во МГУ, 1965 — !966. 9. Фрейлен т а л ь А,, Г ей р инге р Х. Математическая теория неупругой сплошной среды. М., Физматгиз, 1962. 10. Кильчевскнй Н. Элементы тепзорпого анализа н его приложения в механике. М., «Наука», 1963. 11.
Р а ш е в с к н й П. К. Рннанова геометрия н тепзорный анализ. М., «Наука», 1964. 12. М а к - К о н е л л. Введение в тепзорный анализ. М., Физнатгиз, 1963. !3. Вг!!!снап М., Тепзепгз.сп Месап!95 е1 !а 1сопе де ГЕ!а»1!с!1е, Рапз, 1960. К главе 1 1. Суслов Г. К. Теоретическая механвка. М.— Л„ОГИЗ, 1946.
2. Гиббс Д. Основные принципы статистической механики. М., Гостехиздат, 1946. 3. Леонтович М. А. Введение в термодинамику. М.— Л., ГИТТЛ, 1952. 4. Цянь Сюз-се из» Физическая механика. М., «Мир», 1965. 5. Френкель Я. И. Статистическая физика, М,— Л., 1948. По азрогндромеханике и газовой динамике 1. Л ам 6 Г. Гндродипамика. М.— Л., ГИТТЛ, 1947. 2. Кочин Н, Е., Ки бель Н.
А., Розе Н. В. Теоретическая гидромехапика, тт. 1, П, М., Физнатгпз, 1963. 3. Христа по в ич С А., Га пыл ср и н В. Г., Миллионщиков М. Д., Симонов Л. А. Прикладная газовая динамика. М., Гостехнздат, 1948. 4. Хеиз У. Д., Пробстнп Р. Ф, Теория гнперзвуковых течений. М., ИЛ, 1962. 5. Черный Г. Г. Течение газа с большими сверхзвуковыми скоростяыи. М., Физматгиз, 1959. По теории упругости и пластичности 1. Ля в Л.
Математическая теория упругости. М., ГИТТЛ, 1935. 2. Тимошенко С. П, Теория упругости. М., ОНТИ, 1937. 3, Мусхелишвпли Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Изд-во АН СССР, 1949. 4. С недд он И. Н., Берри Д. С. Классическая теория упругости, М., Физматгиз, 196!. 5. Н о в о ж и л о в В. В. Основы нелинейной теории упругости. М., ГИТТЛ, !953. 6. И л ь ю ш и н А.
А. Пластичность. М.— Л., ГИТТЛ, 1948. 7. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.— Л,, ГИТТЛ, 1950, 8. Хилл Р. Теория пластичности. М., ГИТТЛ, 1956. 9. Ильюшин А. А.,сПобедр я Б. Е. Основы математической теории терно-вяако-упругости. М., чНаука», 1970, Алексей Антонович ИЛЬЮШИН МЕХАНИКА СПЛОШНОИ СРЕЛЬ1 Тематический план 1971 г. № 142 Редактор И. В. Кеппен Переплет худ, В. С. Казакевича Технический редактор 3. С, Кондрашова Корректоры С. С. Мазурская, С. Ф. Будаева Сдано н набор 2/П !971 г, Подписано к печати 30/Ч1 1971 г. Л-1!5300 Формат 60Х90Чм Бумага тип. № 3 Физ.
печ. л. 15,5 Уч.-изд. л. 14,57 Изд. № 1429 Зак. 159 Тираж 7500 зкз. Пена 67 коп. Издательство Московского университета. Москва, К-9, ул. Герцена, 5/7. Типографию Изд-ва МГУ. Москва, Ленинские горы .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
