А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Идеально изотропное упругое твердое тело в равновесии. Характерные константы тела — размер 1е, плотность ре=р„модуль упругости Р,=К, кГ/смз, модуль сдвига 6 кг1смз (аз=26), внешние нагрузки: объемная сила рР характеризуется удельным весом реди, поверхностная — распределенной о, Кг|'слез.и сосредоточенной Ре кГ; перемещение границы характеризуется постоянной ие см. Операторы Ре, 5;; являются просто функциями тепзора деформаций 238 метОды теОРии РлзогеРностеи 1г, РЦ ны. Из группы (24.5) и (24.! г) и данных К, 6, оУ'о находим безраз- мерные параметры: РоЮого Оо '4г г,=, и,=, и,= —, г= —, 2®гг ' 2а 26 1 — 2т го = — = ЗК 1+т Первые четыре характеризуют степени деформации от силы ог'о, от веса, от оо и от перемещения ио, пятое выражается через (24.22) Ро Рис. 24.4 Рис.
24.3 ,/х и, = 1,йг ~- —, г,...,, го), ~о о а прн малых деформациях — линейными функциями и„: о (24.23) иг = 1 у ' г„гр;, ( —, т) и сп х го (24.24) Если геометрически подобно уменьшить все размеры тела в У раз, сохраняя неизменными конфигурацзно нагрузок ~на поверх- коэффициент Пуассона тела т. Перемещения и напряжения в любой точке тела выражаются функциями 239 й 24] Примеры ревизионного анализа и некоторые задачи рт эч~4в, Г (24.25) Везразмерпые параметры г, гз (24.22) дополняются динами- ческими (24.
26) с1ео с, сз Решение задач сохраняет внд (24.23), но в число аргументов ич ои войдут еще ~переменная с,1До н постоянные го н гт (24.26). В линейной динамической теории упругости сохранятся,выражения (24.24), но сумма будет по шести г„(п=], 2, 3, 4, 6, 7) и функции ~р будут иметь аргументы ( х сзс ) Моделирование динамических явлений на центрифугах улсе невозможно, так как кориолисовы ускорения будут вносить искажения. Для моделирования динамики геометрически подобных областей сред созданы линейные ускорители. Уменьшая ли~нейный размер 1о натуры в У раз, при неизменных свойствах мате- 2 риала необходимо соблюдение постоянства оо, а'о/1о~ роИо(о, ио/1о и еще из (24.26) сохранение по н 1оооо=1о/1в, в дополнение к условиям п. 4 необходимо задавать одинаковыми скорости ио (24.27) ности и константы материала (6, т), то подобие будет соблюх даться, т.
е. ич аст будут одинаотовымн в точках —,'если родо1о, Го иоЛо, оо останутся без пзл1енения, т. е. если ет'о уменьшается в Жз раз, удельный вес уз=родо увеличится в Ж раз, заданное перемещение ио уменьшится в Л1 раз. Такое моделирование реализуется на центрифугах (рис. 24.4). 6. Динамика сред, обладающих склероиомиыми свойствами в отношении задаваемых внешних констант отличается от п. 4 заданием характерного времени 1о (или частоты ыо) действия нагрузки и скорости оо какой-то части среды. В отношении свойств среды существенное отличие в том, что задана плотность ро=р, и известно, что операторы Р* н Ян являются функционалами функций е„„по и~нвариантному параметру, составленному из них (например, з;;ео,).
Константы К, 6, т остаются и, может быть, дополняются еще группой К', 6', т' той же размерности. Возникают, следовательно, дополнительные постоянные параметры вещества — две (нлп больше) скорости звука: МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕП тгм ун и .в У раз увеличивать частоту ыв (или уменьшать время приложения нагрузки /Р). На рис. 24.5 показан результат испытания небольшого бетонного блока на взрыв зарядом ЯР около одного грамма тротила. Блок имел размер Ьв около 20 см, глубина заложения заряда около 6 см. Образовавшаяся после взрыва на линейном ускорителе полость диаметром дв около 4 см не вскрылась.
Если увеличить линейный масштаб в У=10', то получим для натуры /Р 02 км, й4-60м, йв-40 м, причем необходимый заряд Я=У'Яс-1000 т. Рис. 24.6 Рис. 24.5 Приведем примеры решения задач 61СС или их упрощения, получаемые ~на оонове п-теоремы. Внедрение жесткого конуса с постоянной скоростью и в идеально жидкое или идеально пластическое несжимаемое невесомое полупространство (рис. 24.6). Даны плотность среды р, предел текучести а, кг/смт, угол раствора конуса а. Вместо времени / примем за независимую переменную глуби~ну погружения й=а,й Найдем площадь контакта е и силу сопротивления Р. Полная группа безразмерных параметров; постоянные сводятся к дв) и а,/ра' и а; переменных нет; искомые Ф1= Р'/ра~й', Фз=е/йт. Согласно и-теореме Фь Ф, зависят только от а,/роз и а, т.
е. получаем формулы 'У' = Р~РЙЕФ,1 — ', а1), з = Ь'Ф,( — ', и), (24.28) функции Фь Фз можно ~найти теоретически и из опытов. Для жидкости а,,=0, и потому Ф,, Фт — постоянны 1зависят от а). Сосредоточенная сила У' статически действует на границу упругого полупространства (рис. 24.7), найти перемещение й н напряжения ап в любой точке М(г, ~р). Безразмерные: одна по- з 241 Примеры ревизионного анализа и нелиеии иии Ф =й/г, Фм= стоянная ч; две переменных гр, йг/26гз; функции = оп/2 6. Следовательно, г су' 2 ~ 2 и=-гФз~, ~р, ч, г= )г "1+ хз+ 26гз 6=26Ф„.(,~, р, ). Но при малых деформациях й и он зависят от Р довательно, х' (24.29) линейно, сле- ср и = г „Ф(ог, ч) = — Ф(гр, ч), 26гз 26г (24.30) о т" о о, = 26 —, Фр(чг, ч) = — Фп(ог, ч). 26гз ~ ' гз На границе ~р=+л/2 перемещение и н напряжения определяются (24.30) с точностью до постоянных множителей, зависящих только от коэффициента Пуассона ч.
Из закона Гчка г Л ом — — 26~ — б(ч ибп+ згт) находим тензор ФП через вектор о Ф(Фг Фз Фз): Рис. 24.7 Фи=г ~ — б(ч ' Ьмт — ° — ~ — Ф;)+ з зГ Л . Ф(~р,ч), 1 д ( 26 д (1 Ф)1 (24.31) Вектор Ф (гр, ч) находится из дифференциального уравнения Ляме: 1 + — 71 Ягаб б)ч ~ — г1 + гз ~ — ) = О, (24.32) 6 ) которое приводится к обыкновенному линейному уравнению вто- рого порядка для вектора Ф(гр, ч). МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕИ 242 1Г г Ет. Решение задач МСС, получаемые на основе и-теоремы путем уменьшения числа независимых переменных и функций, называются автомодельиымп, например, решения (24.28), (24.30). й 25. ОБ ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИИ МСС Ф'~х, у, — — ~ = 0 (з = 1, ..., Ж) ду Т дх у (А) (через х и у обозначены соответственно хт, ..., х" — А и у', ..., уу), ,например, уравнения теплопроводности дГ ди дТ вЂ” — — =0 — — е ги=-0 д1 дх дх (25.1) (х, =- х, х, = (, у, = Т, у, = и).
Рассматривается группа б взаимно однозначных преобразо. наний с определенными свойствами (локальная группа Ли) евклидова пространства точек х (х', ..., х"), образованного переменными, входящими в систему уравнений (А) (для 25.1 — 1, х, Т, и): б (х' =- ~'(х, а' ... а"') (1 = 1, ..., и)). (25,2) Фу~нкции )' †непрерыв дифференцируемы по совокупности х, а.
Каждая совокупность значений ,параметров а~ = ау~ переводит точку х в некоторую другую точку х'. Группе преобразований б ставится в соответствие некоторая система дифференциальных операторов вида х, = Ц (х) — (1 = 1, ..., т) д дх, (25.3) (алгебра Ли инфинитезнмальных операторов). Совокупность функций е)(1= 1... п) при фиксированном1образует контрава- Автомодельные решения задач МСС, получаемые с помощью теория размерностей, принадлежат к более широкому классу инвариантмых решений, получаемых методами теории групп. Ниже без доказательств приводятся некоторые основные результаты, которые используются при решении частных задач.
Пусть имеется система (А) квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, к которой принадлежат и уравнения МСС: Об инвариангных решениях рианъный вектор в и-мерном пространстве. Операторы (25.3) удовлетворяют условию (х,х,) = с~',и, (25.4) где с~~,— константы, удовлетворяющие некоторым соотношениям, (х~х„) — коммутатор, определяемый следующим образом: ~,. д1',',. д1, '~ д (х х,) = ( К вЂ” '.
— Ц вЂ”. ! —. дх' дхт ! дх' (25.5) Функция 7(х) называется иивариа~нтом группы б, если она остается неизменной при всех преобразованиях из б. Условие х7=0 (7=1, ...,и) (25,6) является необходимым и достаточным для того, чтобы 7 была ннвариантом 6. Система (А) допускает оператор х, если хФ'= О (в =- 1, ...,)т'), (25,7) х =х —,'-3П вЂ”, х = 3е д., К; = Р;($'„) — р~Р1Д',), др', дх' / д,, д дде Р~ — — — +р! —, р'=— дхт ' С дд~ ~ дхт (25.8) з'= ~ре(х, с', ..., с'") построим базис (25.3), полагая в (25.8) с1 = О, 1 чь р, ся = 1. Для системы (25.1) операторы (25.3) будут д д д д д х, = —, х, =- —, х, =- 2е — - + к — — и— дГ ' дх дВ дх аи ' (1 = 1, ..., л), 1 = 1, ..., и — й; г = 1, ..., й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
