А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 35
Текст из файла (страница 35)
с. предполагают, что вы~полнены соотношения (22.9) при р=е=1, и пренебрегают током смещения — в уравнениях (22.3). Уравнения МаксвелдЬ 1 сЕ с сс с ЗС ла (22.2), (22.3) принимают при этом вид 219 у гэ! Влияя е электромагнитного поля а пондеромоторная сила Р„действующая на среду со стороны электромагнитного поля, определяется соотношением Рт = Р,Е+ — [1 ХН] е (22.13) уравнение сохранения массы Ф вЂ” +рг(!чо= — О, ен (22.!8) уравнение состоя~пня (22,15), уравнения Максвелла (22.!1), ае и называется силой Лоренца.
Система уравнений (22.11), (22,12), (22.4), дополненная уравнениями механики сплошной среды (с учетом силы Лоренца) и джоулева тепла (22.6), составляет замкнутую систему уравнений. Например, в случае баротропной жидкости, для которой уравнение состояния имеет вид р=р(р), уравнения движения н сохранения массы ао ! — + угад Р (р) = Р + — ( Ре Е + — (1 х Н) ! — +рг)(чи= О ! Р(р)= ( — ~! (22.14) ец .1 р/ совместно с уравнениями Максвелла (22.1!), (22.12) и законом Ома (22.4) дают замкнутую систему пятнадцати уравнений относительно тринадцати функций о, р, Е, Й, 1'. В качестве примера среды, требующей для описания ее движения привлечения закона сохранения энергии, рассмотрим идеальный разреженный газ с уравнением состояния р = ЯрТ.
(22.15) В этом случае пз закона сохранения энергии с учетом джоулева тепла (22.6) имеем уравнение р — = — 61чд+ (Е+ — (о х Н1 ) (!и — р,о)+р "~ . (22.16) а! и / М Использчя выражения энер~гин и закона Фурье и = с„Т, д = — Л угад Т из (22.16) получим уравнение теплопроводностн.
Это уравнение, а также уравнение движения — = рР+ (Р,Е+ — !1 х Й1) — цгай р, (22.17) СРЕДЫ СО СЛОЖНЫМИ СВОЯСТВАМИ гг~. ю 220 Е= — 1 [охн[, С (22.19) а из первого уравнения (22.3), ~пренебрегая током смещения, — 1В = го1 Й. 4п —. С (22.20) Уравнения Максвелла (22.1) принимают вид — = го1[о х Й[, 61чН= О. д1 (22.21) Отметим также, что для бесконечно проводящей среды в силу (22.19) джоулево тепло (22.6) равно нулю. Еслв известны напряженность магнитного поля Й и скорость среды о, то напряженность электрического поля Е и плотность тока 1 вычисляются по формулам (22.!9), (22.20).
Замкнутая система уравнений магнитной гидродинамики получается теперь следующим образом: к уравнениям (22.21) добавляется полная система уравмений механики (которая является замкнутой при отсутствии электромагнитного поля), при этом все уравмения (в том числе уравнение сохранения энергии) остаются неизменными, кроме уравнения движения, в которое добавляется сила Лоренца Г~ (22.13), определяемая в да~ином случае в силу р,=О и соотношения (22.20) величиной Р, = — [го1 Н х Й).
(22.22) 4п В,полученную таким образам замкнутую систему помимо функций, определяемых уравнениями механики, входит лишь одна векторная функция — напряженность магнитного поля Й. (2212) и закон Ома (22.4) составляют замкнутую систему для определения функций о, р, Т. Е, Н, 7 Аналогично получаются замкнутые системы уравнений для других моделей жидкостей и газов. При решении практических задач магнитной гидродинамики используют различныс упрощенные системы уравнений. В магнитной гидродинамике, как правило, в виду малости распределечиых зарядов полагают р,=О.
В ряде случаев, например, для сильно .ионизированных газов, можно считать также, что среда имеет бесконечную проводимость а. При этом упрощения уравнений оказываются весьма существевными. Для бесконечно проводящей среды из закона Ома (22.4) в силу конечности плотности тока 1 получим р,=О, о= СО Влияние электромагнитного ноля 221 Аналогично мапнитной гидродинамике строится зама»путая система уравнений магнитоупругости, при этом учитываются, однако, явления поляризации и намагничивания тел. Ограничимся рассмотрением малых деформаций изотропного идеально- упругого тела. Предположим, что полезную систему .независимых параметров состояния системы составляют тензор деформации егл температура Т, векторы электрической Р» и магнитной В» индукций.
В этом случае свободная энергия»р является функцией этих параметров в лагранжевых координатах »р = ф(еп, Т, Ро В,). (22.23) получим Ф=р з= —— д4 д4 деп дТ Е' = 4пр — т, Н' = 4пр— ~д4» д»(» дР» дВ» Раскладывая свободную энергию (22.23) в ряд и ограничиваясь, аналогично (16.1), квадратичными членами, найдем 1 рф = роФ = А роТ+ (ХО'+ 2бе»1е;; — 2рб6— (22.26) — '+,— Р; Р» —;- В» В; + — л»), (22.26) Те ' 4не ' 4н1» ' ' 4п откуда в силу (22.25) в декартовой ортогональной системе координат для тензора напряжений по=5»1 и векторов Е» — — Е', Н»=Н» имеем пп — — 106»1+ 26а», — рЬЬ... Е, = — Р»+ЬВо е Н = — В,— , 'ЬР;.
1 р» Обычно в линейной магнитоупругости полагают 6=0. При этом законы поляриза»аии и намагничивания с учетом скорости о запип»утся в виде Р = еЕ+ 1' (оН1 В =1 Н вЂ” — "' (пЕ1 (22.28) с с где е и р — константы. (22.27) При этом из основного термодинамического соотношения типа (11.33) р(6»р+ зЬТ) = Фба»1+ — (Е'ЬР»+ Н'ЬВ,) (22.24) 4н 222 сРеды со сложиыл!и свопсгВАл!и [Гл. У. — 4п - 1 дТ! го1 Н = — ) т —,' дг, Йч О= 4ир,: (22,30) Соотношения (22.29), (22.30) совместно с уравнением движения в перемещениях (с учетом силы Лоренца (22.13)) ().
+ 6) огай йч и + 6 й и+ р Р -'г- р, Е + — [) х 8] = с =р — +рдгаг(Т д' и др (22.3!) и уравнением теплопроводности с учетом джоулева тепла (22.6) рс — = ШТАТ~ — (Е+ — ~ — х НД ~) — р, — )— — [)Т,— Йчи (22.32) составляют замкнутую систему пятнадцати уравнений линейной магнитотермоупругости относительно тринадцати функций и, Т,Е,Й,)'. Рассмотрим упругое тело бесконечной проводимости, пренебрегая током смещения и полагая плотность зарядов р, равной нулю.
Тогда, делая упрощения, описанные ранее, получим замкнутую систему семи уравнений: (А+6) вегас(с(Учи+ бйи+ рР+ — [го1 Н х Н] = р 4п др — =- — го1 ~ д! х Н~, ЙУН = О, (22.33) для векторов перемещения й и ~напряжен~ности магнитного поля Й в случае Т=Т, и замкнутую систему восьми уравнений: При малых деформациях вектор скорости о выражается че— ди рез вектор перемещения и соотношением о = — и потому закон Ома (22,4) запишется в виде !'= а(Е+ с ~ д! Х Н]) +рл д! ~ (22,29) а уравнения Максвелла (22.2), (22.3) с учетом (22,28) примут форму го1Е =- — —, й(чВ = О, дй с дГ длинное элекгромагнагного ноля 223 ().
+ 6) ргали г)) ч и + ОЛ и + р Р + — (го( Й х Й) = 4я = р — + )эогаг1Т, дга дег ~В ~ Гд. — = — го( — х Н, ЙчН= О, д1 дТ д рс — = А ЬТ вЂ” ()То — (г((ч и) дС дС (22.34) (22.35) для функдий ц, Т, Й вЂ” в случае термоунругости. Напряженность электрического поля Е и плотность тока 7 вычисляются после решения системы (22.33) или (22.34) по формулам — 1 Г ди — 1 4Я Е = — — ~ — х Н ~ — /' = го( Н. дг ГЛАВА Ч1 МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ 3 23. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ Все уравнения МСС и граничные условия суть уравнения, связывающие между собой различные размерные величины Я;; среди них — механические: координаты и перемещения (х, й=х — х), время (1), скорость (о), ускорение (щ), векторы базиса (э;), массовая (г) и поверхностная (р< >) силы, напряжения физические (о', оп), компоненты тензора напряжений (5о), деформации (е;,), скорости деформаций (оп), работа (А), мощность (й), кинетическая энерпия (К), различные механические константы среды — модуль упругости (Е), коэффициент вязкости (1х) и ряд других; термодинамические: температура (Т), количество тепла (1Е), тепловой поток (д), внутренняя н свободная энергии (и, ф), энтропия (г), рассеяние (В'"), козффнцненты теплоемкости (с), теплопроводйостн (Х), расширения (а) и т.
д. и величины (р) электромагнитной (Е, Н, В, Ъ, е...) и другой природы. Система единиц С6$ необходима н достаточна для построения МСС (и всей физики) и содержит трн независимых параметра: длину 1 (сантиметр), массу и (грамм), время т (секунда). Размерности 111=С, (гп)=0, (т1=5 (23.1) можно рассматривать как действительные числа, для которых определена коммутатнвная операция умножения и .возведения в степень, т. е. определена группа величин Я; (1=0, 1, 2,,) при Яь=1, размерность которых (Щ равна (О1 = С'~би 3ч~ (23.2) причем Хь рь тч — числа, называемые показателями размерности 9ь Любая величина 1е, называется безразмерной, если л,=р,=т,=(), т. е.
(Щ=1. Для группы Я~ определена размерность произведения: ,О,О,) = 1О,) (О11 = С' +" а" +"~ Ю' +'. (23.3) В соответствии со свойствами всех уравнений МСС (лообще физики) операция сложения двух величин, отличных от нуля, определена только для величин с одинаковыми показателями размерности, т. е. для однородных величин: из равенства Основы теории размерностей и подобия 223 0,.+0,,=О [И =%1, (23.4) следует (23.5) Л,=Л>', р~=р~, 'т;=у. Примеры размерных величин; координата к, перемещение й, длина 1 имеют размерность С: [к[= [и)=[1)=С (Л=1, р=- =О); Вектор скорости о, его компоненты в декартовой ортогональной системе координат о;=о', скорость звука в воздухе св имеют раз- мерность [о1=[о,)=[се[=-С5 ', (Л=1, р=О, т= — 1); физическое",напряжение оп, энергия единицы объема У,: [о„['=- [1)т [ == С-' Ы-"-, (Л .= — 1, р = 1, т = — 2); массовая сила Р, ускорение те, ускорение силы тяжести йт Я= [со)=[й)'=С5 — г (Л=1 р=О т= — 2) объемная сила рР, удельный вес у: [рР['= [у[ = С вЂ” и 65 — т, (Л =- — 2, р = 1, т = — 2); кинетическая энергия К, потенциальная энергия У, количество телла Ь~ тела: [К[=[Ц=[6Я=Се65 — е (Л=2, р=1, и=' — 2); — йх 0=:— йЕ уравнения движения в декартовых координатах х: — р — '+ " +рХ,=О, й дкс средняя «кинетическая» температура (3.34) Т„„„ = — йТ (Т вЂ” в гра- 3 дусах Кельвина): [Тиии[=-[К[=С О5 ' (Л=2, р=1, т= — 3) Примеры соотношений: кинематическое соотношение между х, о, 1 226 МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЯ 1Гз.
Рн [р ~~' ~ = ~ — "~ = (рР ] = С вЂ” ' 65 — ' связь между внутренней энергией ри, свободной энергией рзр, энтропией рз и температурой Т в единице обьема в системе С65 для кинетических температур и энтропии 2 3 = 3 ЗА имеет вид р(и зр АТ) = р(и — зр — ЕАТА) = О, и потому (рзр] — ]рз„] ]ТА] =]рзТ]= С ' 65зе = ]оп] и С вЂ” з6 (и] =1зр] = ]ЕНОТА] =С'5 з, з ] ] Сз5-з(Т,] — ~ =6 — 1, т.
е. энтРопия з, в С65 имеет размерность единицы, деленной на массу. Преобразование масштаба единицы. Кроме базиса (системы единиц измерения) С65 с независимыми параметрами 1, т, т применяется базис МК5 с па~раметрами 1 (метр), т„(килограмм-масса), т, (секунда), который отличается от С65 только масштабом основных параметров: 1м =-10 — з/, т =10 — звз, (23.6) Это значит, что времена совпадают, некоторая величина, имеющая 1 единиц длины системы С65, будет иметь 1„=0,01 1 единиц длины системы МК5, масса, имевшая т еднппц в С65, будет иметь т„=0,001 т единиц в МК5. Единица длины одного и того жс отрезка аЬ в С65 равна 1/1, в МК5 — 1/1„, и, следовательно, 1/1 = 10'1/1, 1/т = 10з 1/т, 1/т, = 1/т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
