А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(23.27) Из (П),„путем подстановки в (23.22) вместо П~ ... П, и подбора (х„+, ... х ) могут получаться безразмерные постоя~нные, но они будут зависимыми от (П),; аналогично нз (П) ч могут получаться зависимые от (П), и (П) . Основной группой независимых безразлтерных переменных (П)„назовем те нз (П)с„по отношешпо к которым группа (П) является независимой. Аналогично основной группой независимых безразмерных функций (П)р назовем те нз (П) ч, по отношению к которым (П), и (П) „являются незавнсимымн. Подчеркнем, что независимость означает, что при подстановке вместо Пь Пм ..., П „параметров рассматриваемой независимой группы ~нельзя найти чисел х„+ь ..., х„, таких, чтобы получился параметр предыдущей независимой группы.
При таком отборе основных групп очевидно, что все независимые безразмерные параметры задачи (К) будут учтены, все уравнения (23.24) нриввдутся к виду гт, (Ф, у, Р) = О сгс. ш, методы теопии глзмапностьн и их решения будут иметь вид Ф=йу,)т), (23.29) где Ф вЂ” любая из Фю у — ~все у,, ст — все.йс. Если две краевые задачи (К)„н (К), таковы, что числа сг тождественно совпадают, переменные у имеют одинаковую область изменения и уравнения (23.28), т. е.
операторы У, совпадают, то безразмерные решения (23.29) будут одинаковыми; одна нз таких задач — (К), и называется задачей натуры, другая — (К)'„— задачей модели. Безразмерные постоянные )т называются пираметрами подобия, сами явления в (К) и (К)„— подобными. Выяснение параметров )т, независимых систем параметров у, Ф и приведение уравнений (23.24) к виду (23,28) называют иногда ревизионным анализом задачи (К).
Как видим, в математическом отношении это чисто алгебраический анализ теории размерностей, основанный на построении параметров Пь (23.23). Он выясняет критерии подобия и приводит задачу к безразмерному виду, т. е. упрощает задачу, так как исключает несущественные параметры. Я 24. ПРИМЕРЫ РЕВИЗИОННОГО АНАЛИЗА И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ 1 дас дас Х др дот Р1 +ос' ~=рус — — + — ' дг дхс х' ' дхс дх~ (24.1) содержат размерные величины х, 1, о, р, р, ои и Г, уравнения со- хранення массы — + — (ро,) = О др д дС дх; (24.2) не вводит новых .величин; закон связи между напряжениями и деформациями (24.3) (24.4) Рассмотрим некоторый класс изотермических задач с)4СС в декартовых ортогональпых координатах (хс, хь хз).
Уравнения движения й г41 Принеры реоиэионного аналиэа и некоторые эадачи где скобками отмечены .некоторые известные операторы по времени от указанных аргументов, делает систему уравнений МСС замкнутой. Пусть по начальным и граничным условиям некоторой задачи определены постоянный линейный размер 1, см (размер границы области тела н т.
п.), постоянное время 4о сгк, (период колебания части грашгцы, период изменения внешней нагрузки и т. п.), постоянная скорость по он/сек и две постояппыс, имеющие размерность напряжения, ро кг/сло и оо кг/смо (давление на градинке, амплитуда действующего внешнего напряжения н т. п.). Характерное постоянное значение известной массовой силы обозначим до см/секо, начальное или другое известное значение,искомой величины плотности — Ро кг.секо/смо. Начальнымп и граничными условиями, возможно, заданы н другие постоянные, но мы ограничимся здесь классом задач, в которых заданы только перечисленные постоянные илп еще другие, одинаковые с ними по размерностям. Трехмерный базис единиц измерения пр~имем СК,5 (например, сантиметр, килограмм — сила.
секунда). Перечисленные 7 постоянных 1о, /о, оо, до, ро ро, оо в трехмерном базисе, очевидно, образуют только 4 оснавных постоянных безразмерных параметра: оо о ~оно Роно Роно остальные (если заданы еще /ь Гь Рь йь рь ог) обозначим одной буквой гк' (Яг =/г//о, Йе=/~//о, ..., Яа =ог/оо). Независимые переменные хь хо, хо и / имеют размерности С н 5, и потому группа основных независимых переменных (П),н состоит из четырех: хг * у,пах'.= —, уожк = —, 1.=1, 2, 3.
го ~о (24.7) Искомые функции р, р, о, пп образуют два скаляра и один девиатор Р ° Р Р = — Фэ= —, Р =-Фа= —, Го Ро Внося значения хь / и р, р, оы из (24.6) и (24.7) в (24.1) и (24.2), учитывая (24.5), получим безразмерные уравнения: дро ~ да,, /с, „' —;- п; — ' =- — р'Р— )то —, — + Яо —, —.", д1* д.1.'. По Р дк, Р де; (24.8) 234 1гх. РЛ. л1етоды теогия РАзл1еРностег! Из (24.3), (24.4), (24.7) следует, что операторы Р, 511 долж- ны иметь размерность рю и аю, .мо это — характеристики свойств вещества, а не краевой задачи и потому они не могут зависеть от перечисленных выше постоянных 1ю, /ю, пю, Аюю, рю, рю, аю.
Этн операторы имеют свои безразмерные постоянные структуры Р„ а, с размерностью Кг/смю, т. е. они имеют вид Р = Р,Р'~р, — ~, 5,; = аю311 ~р, — ~, где Р*, 511 — безразмерные операторы по размерному 1 от раз- мерных параметров. Но такие зависимости возможны только прп условии, что вещество характеризуется еще по крайней мере двумя физическими постоянными: плотностью р, и временем г', или р, н 1ю„имеющей.размерность Кг сек/см' или другой парой независимых постоянных, таких, что вместе с Р, нли а, они со- ставляют трехмерный базис, получающийся нз СК,З преобразо- ва~нием структуры. Такой базис позволяет построить константы дю ю ÄЄ1А,. Тогда из них н функций р, — можно построить бездхю размерные переменные и функции 1ю ь Р Рю ~~, дюж йаю р1 ю р р дх„1 дхй (24.9) Пю ~~~ Пююю а дхю аю1ю дх„ Операторы Р' н 5;;, следовательно, обязательно имеют вид 1 ., —, 1 дю (11, х) 111га Р =-Р р (11,х),— ., Зч — Зч[ Ню Ню дх„~ю,=Ю (24.10) где обозначены )4 ю )~ юю ю )~ ю (24 11) аюгю 1ю Рю Рю Рюаю юююю аю причем в (24.10) могут входить еще и другие безразмерные физические постоянные; параметр Я, возникает из равенства а„а1; =- а,5;;.
Система уравнений (24.8), (24.10) представляет безразмерный вид уравнений (24.1), (24.2), (24.3), (24.4) вместе с,граничными условнямн, которые при использовании констант /ю, (ю, пю, дю, рю, Рю, а,,ю и параметров (24.5) станут безразмерпыми, они определяют (К).
Принероо ревизионного анализа и некоторые задачи 235 решение рассматриваемого класса задач имеет вид Р = Рор (г х гсм ° ° ° оесоо его гсо )ст) Р=рор И ) от=попо(1 ° ) пи="оотг(г л ° )~~ . тсо )~~) (24.12) Рис. 24.! Р=ро=ро=сопз1,'по=О, по=О, давление Р=Р,Р неопределенно и является искомой функцией (х*, оо). Заданы постоянные го, оо, йо, ро Параметры подобия (24.5), (24.11) сводятся к г оо ро Мо ' Р~Р Я,= оооо (24.13) Рг называется параметром Фруда. Давление в любой точке х в мо- мент г в воде равно РоФг Р— ЙгроооФг ( —.
— ' )~г»4г )~г). Чоо оо (24.14) Если движение установившееся (Ко ие задано), имеется свободная поверхность и задано только давление па ней р~ — -О, то ро не задано н остается взять ро=ройо!о, следовательно, тсг)ко=1. При этом в (24.14) Фг=Фг ( —, )сг), 2. Невесомый идеальный баротропный газ (рис. 24.2), движение установившееся: йто=О, по=О, о,=ц,=О; заданы Р„р, (сле- причем среда совершенно произвольна. 1.
Тяжелая несжимаемая идеальная жидкость (рис. 24.1) ' [га.тб МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ довательно, энтропия); уравнения (24.4) дают О, р р, ( ) , р, р, ( ) , ЗадаННЫЕ раЗМЕрНЫЕ ПОСтОяННЫЕ: 1о, О,, р„, р,, С'= тро (С,— СКО- рость звука при давлении и,). Постоянные параметры (24.6), (24.11) отличные от О, ОО: до оо Ро где Са — параметр Коши, обозначаемый часто через Мо н называемый числом Маха при р=ро. Истечение газа через сопло Рис. 24.2 приводятся к виду (24.9), (24.10) о;,=о, — ','+ —,' Параметры (24.5), (24.11) сводятся к )т„ б ааоо а )то, 1Р5 НЛИ К НЕЗЕВИСИМЫМ = — "' =)те, (24.17) 55 Ра Рогача Р Ро Нана И Лаваля с минимальным диаметром еа=(о из большой емкости, где р=р„р=р„в воздух, где давление ро, плотность ра определяется скоростью о=оооо и давлением р=роро: о* =- о'( — '", Р', М„~, р' = р' ( — ", Р*, Мо).
(24.16) 3. Вязкая невесомая (но =0) несжимаемая жидкость при установившемся движении в ней тела со скоростью о,; коэффиЦиент вЯзкости жидкости 15=на, плотность Р=Ро, хаРактеРный размер тела (о. Соотношения (24.3) / доа дОЗ ~ р — неопределенно, оц — — р( — +— ~ дха дх; й 241 Прил|ерм рееизионного анализа и некоторые задачи 237 поскольку ое ие задано, (1те, )ст по отдельности неопределенны). Решение этих задач имеет внд и| = оео;| Р = РоР еги = оп ° риз ео * ° / н .х е |е 8;; = Яй ( —, )те, )ч|з), (24.18) е(е называется числом Рейнольдса и вместе с Яз, зависящим от давления на границе области течения, определяет структуру потока. Сила сопротивления тела получится. интегрированием по поверхности тела проекции ом ма |направление скорости тела, т.
е. будет равна д = сйое1и + сзРеое1е Р' = Р'(е „), Ъ;1 = Бег(а „), ди,„, дие, диз дии |ни дхе ' дх», ' дхе| дхн (24.20) где хь хь хз — лагранжевы (при 1=0 — декартовы) координаты точек тела, связанные с вектором скорости о соотношением — = — о(х, 1), х = х -'-и(х, 1), Й (24.21) 1=0, и=О. Время 1 — вспомогательный параметр, константы 1м ое не зада- с = с(еге, егз), с, =- с,(ече, )чз). (24.19) При медленных движениях ое — 0 второе слагаемое выражения е'- исчезнет, первое при Яа-е-О, Рз-+со будет линейной функцией пе, коэффициент с будет постояв|ным. Для ша|ра (например, капли росы),У' =срое1о, 1е=е(, с=би (рис. 24.3). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
