А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 33
Текст из файла (страница 33)
20.2 показан круг ра- Э ' эт Зт диуса э„'внутри которого деформаРис. 20,2 пни являются упругими (о=2 Оэ). Любой процесс ОА,А, сопровождается пластическими дефор. маниям,и о э<)=— 20 э<я = э — э<с', (20.!8) Продолжая процесс лз Аь обнаружим, что э для одних на<р) правлений А,А< продолжают з<зме«яться, но для других А,А<. сРеды со сложныын свойстВАМН 1ге. У, они будут оставаться постоянными. Граница, разделяющая область продолжающихся пластических деформаций от области, где они «заморожены», называется поверхностью текучести для процесса ОАеА| (20.19) Гол, = У'(э) = О.
Существует такое направление разгрузки А,О,А, (рис. 20.3), для которого упругая деформация в точке О) полностью исчезнет, и вектор 00, = эсе) будет представлять замороженную пластическую деформацию для перехода яз А) в любую точку М. Таким образом, всякий процесс движения точки М(эм) внутри 9 =0 яВЛяЕтСя уПруГИМ ОбратИМЫМ, ПРИЧЕМ Э1Р)=СОПЗ1=ЭеР)(А)); вектор О,М=эм~ представляет упругую деформацию в точке М. <е) Постулат пластичности: на всяком замкнутом в Ез по деформациям изотермическон процессе работа напряжений неотрицательна: А = ) аи е(ео = ф о'еЬ вЂ” )е ре(0 = ф а 0э > О.
(20.20) е Работа давления р= — КО исчезает, так -как — рт10 =- — е((О'). К 2 Из основного термодинамического соотношения ае)с(еп=рьЫф+ + )е'ег(1 для всякого замкнутого по параметрам состояния и(иь рь ..) процесса имеем Ф' ~~0, А)е ф)е аг»Е(ЕО=фйт«Ж)0 т.
к, интеграл от е(ф()А) равен нулю. Отсюда, однако, не следует (20.20), т. к. е;, при нластнческих деформациях не являются параметрами )А, т. е. процесс, замкнутый по еа, не замкнут по р н.потому А„ФА. Если предположить, что при Т=сопз( ))=зМ и УУет(1= аГ(Э1Р), тО т)ОЛуЧИМ а=20Э1«), аь(Э<Р)) О. Рассмотрим замкнутый по деформациям процесс МТРТМ ис. 20А), выходящий ма г(эт в точке Г за пределы поверхности =0 и потому дающий приращение пластической деформации дэ . Для прямого МТР и обратного РТМ путей э одинаково, ои е(э меняет знак на обратный л потому А = ~ (амт — атее) «Ь+ ~ (атР— агт) сЬ. (20 21) мт тР Упруго-плаетииеепие деформации твердых тел 207 Поскольку Тр=(1зт бесконечно малая, то и изменение ото †„т будет бесконечно малым и потому второе слагаемое в (20.21) И Р угад Г м и' Рис. 20.3 Рис.
20л может быть отброшено. На МТ упругая деформация обозначена э(+> иа обратном — э(' > их разность (е> (е> -(г> -(г> э(+ > э( > —— (т — (1э(р> 26 и потому — А = ~ ((э(р> ((э = сТэ(р> ~ (1э = ((э(р> МТ, 26 причем Ь(р> завяснт только от йвт и точки Т на Я' = О, но не от точки М. Следовательно, для любого вектора МТ внутри К = О: МТ ((э( > >О; (20.22) но зто возможно только при условии, если йр> имеет направление, совпадающее с нормалью к ~ в точке Т, т, е. йэ(Р> = 0 ига(1 етт (э) а(1(ч = О(ч ((е„ (20.2З) где Р— некоторый функционал процесса ОА( н точки Т (любой на т), Х вЂ” параметр, т — единичный вектор нормали в точке р=эт к поверхности У =О, ч=аечы чу =1, (2=1. 2...„5). Соотношение (20.23) называется ассоциированным с (20.19) зако- сРеды со сложными своиствАми 1Гл.
У. ном текучести, и оно является частным случаем общего выражения закона связи о э (!9.33), но содержит пе 5, а только 2 скалярных функционала: 0. и О. Поскольку деформация э связана с напряжением и физическим законом э=э!о), то при такой замене поверхность Зг (э) преобразуется к виду сг (в) = т (э(о1) =- )' (о) = О, )(о) называется поверхностью нагружения.
Теория Прандтля — Рейеса получается в предположении, что вектор упругой деформации вг' = Ф>, соединяющей точку 0« с Т, имеет постоянную длину «г" ~в1о~ = ~ э — в1Р11= сопз! = — = э, 26 т. е. АР' (Э В1Р))з Вг 0 (20.24) Отсюда дга«)Х = в — э1Р1 = —. 2«« Из (20.23) получаем «Ь 1 са — — — + о2., ! о' ~ = о« = сопя!, «и 2««с1 (20,25) 1 еи — — — оп+ «т«1Х, опон — — (о«)' . (20.26) и. представляют б независимых уравнений, связывающих оп с е«, и 2,.
Присоединяя к ним р= — ХО и уравнения движения р(й« вЂ” Х«) = о«гд получаем замкнутую систему. При разгрузке к = О. й 2!. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВЯЗКО-УПРУГОСТИ Линейная изогропная вязко-упругая среда — твердое тело со свойствами, которые в области малых деформаций весьма близки к свойствам полимерных материалов: натурального и синтетического каучуков, аморфных полимеров с малыми и большнмп «й где 1 = — — неопределенный параметр.
В девиаторной форме сощ отношения (20.25) имеют вид э ет'1 Линейная теория еяоко-улруеости молекулярными весами н других. В зависимости от температуры для этих материалов характерны стеклообразные состояния при низких температурах, когда они почти идеально упруги, и высокоэластическне состояния при повышенных температурах, когда они значительно деформируются при малых напряжениях и имеют сильно выраженные временные свойства (релаксацию, ползу- честь).
Таким образом, все промежуточные состояния относятся к области практически распространенных температур. Рассматриваемая среда является линейной, т. е. в общем представлении функционала У' ($ 19) сохраняется лишь один линейный функционал К,. Применяя такое представление к девиатору ом и среднему давлению р, получим основные соотношения линейной теории вязко-упругости: пп(Г) = ~ Г(1 — т)еп(т)е(», ем(0 — ) = о„(0 — ) = О, (21.1) Ь— р(1) = ~ Г,(1 — т)0(т)е(«. Функции Г(à — т), Г1(à — т), универсальные для данного вещества, называются соответственно ядрами сдвиговой и объемной релаксации. Вместо двух аргументов (т, т) в них входит лишь разность (т — т), что является следствием предположения о независимости свойств от начала отсчета времени (Го=О, ГоФО).
Рассматривая (21.1) как интегральные уравнения Вольтерра относительно деформаций ем(!) и 0(г) и учитывая их разрешимость (ядра Г, Гь таковы, что они должны быть разрешимы, так как задание процесса нагружения ом(Г), согласно постулату, вполне определяет деформации), получим ! еп ® = ~ ~ (г — «) по (') «» (2!.2) — 0(г) = (' К,(à — т) р(т) о(т. о— Соотношения (21.1), (21.2) в качестве частного случая должны содержать обычный закон Гука.
Мало тото, если процесс деформации или магружения производить очень быстро, в интервале 0 (-т.О+, то рассматриваемые материалы обладают идеальной упругостью. Таким образом, если деформацию еп мгновенно (т-од+) увеличить от нуля до ксонечной величины ось то должно быть оп=2 бем. На основании (21.1) это возможно только 210 СРЕДЬД СО СЛОЖНЫМИ СВОИСТВАМИ !г.д в том случае, если ядро Г обладает свойством 6-функции Дирака, Соотношения (2!.2) справедливы для произвольного процесса нагружения, Полагая оо(!) =соб(!), — р(д)=сб(!), где сеь с — постоянные, находим из (21.2) е,; (!) = сиК (!), О (!) = сК (!).
Внося все зтн значения в (21.1) и сокращая постоянные, получим интегральные уравнения, связывающие между собой К и Г: ~ К(т) Г(! — т) д!х = 6(!), (21.3) ) Кд(т) Гд(! — х)д(т = 6(!). Легка проверить, что если бы мы внесли значения ем, 8 (2!.2) под интегралы в (2!.1) н потребовали бы, чтобы последние стали тождествами при любых ом(!), о(!), мы также получили бы интегральные уравнения (2!.3). Теперь можно исключить особенности в ядрах К и Г, по- лагая К(т) = — '-6(!)+ К(!), (21.4) Г (!) = 266 (!) — Г (!), К (!) = — 6 (!) + Кд (!), К Гд (!) = К6 (1) — Гд (!), (21.5) ои = 2бед; — ) Г (! — т) е;; (г) д(т, о— (21.6) — р = КЕ- ~ Г,(!- ) 6(т) !т, где К, дд — постоянныр, называемые мгновенными модулями, .К, à — регулярные функции.
Из (21.1) получим 211 Линейная теория вявио-ииругости Из (21.2) получим ец= о'с + Г К(1 — т)осс(т)с(т, 26 (21.7) — 6= — "+~ Кд(1 — )и() 1«. к Интегральные уравнения (21.3) для регулярных ядер примут вид С КЯ = Г(1)+ К(т) Г() — т)с(т, (21.8) Кд(с) = Гд(Ф)+ ) К,(т) Гд(ю — т)сс«. Ядро К(1) можно найти из опыта ка лолзучесть, после чего резолввеиту Г(С) — из (21.8). Но резольвенту Г(1) можно также найти из опыта на релаксассшо и проверить соответствие опыта и теории. Ядра Кь Гс определять трудно, так как полимерные материалы мало сжимаемы.
При условии несжимаемости (К=оо, 81«и.=О, следовательно, ец=есс), пренебрегая объемной ползучестью (Кс —— Гс =О), будем иметь первые из соотношений (21.6), (21.7), (21.8). Рассмотрим случай простого растяжения образца вдоль. оси хь когда пес=О при всех С1, кроме д=)='1, причем ее.=езз= 1 = — — е„, остальные ец —— О. Обозначая од — — оц — растягивающее 2 напряжение, ем=ес — удлинение, из (21.6), (21.7) найдем а, (С) = Зддед(1) — — ( Г(С вЂ” «) ед(т) с)«, 2,) (21.9) ед (1) = — + — д К(С вЂ” «)од(т) СС«. од(С) 2 Г зо з д) В опыте иа ползучесгь быстро прикладывается н поддерживается постоянное напряжение о~ — — сопз1 .и наблюдается рост деформации е1 (С).
Из второго соотношения (21.9) при этом находим З йв (С) 2од ж 212 СРВДЫ СО СЛОЖНЫМИ СВОЯСТВАМИ 1гл, ю К(г) =П'(г), К,(г) =П;(1). (21.12) т. е. ядро К(!) — пропорционально скорости ползучести, причем оно не должно зависеть от Величины приложенного напряже- ния о1 (т. е. К одинаково при а,', ан ...). В опыте на релаксацию мгновенно удлиняют образец до деформации В1=сопэ1, которая сохраняется постоянной, и наблю- дают падение напряжения. Из первого соотношения (2!.9) находится Г(!).
Найденные в этих опытах К(1), Г(!) используют- ся во всех задачах МСС для данного материала. 2 1 В модели Максвелла принимается — К(1) = — = сопз1, з зоб причем постоянная г„называется временем релаксации В этом случае второе уравнение (21.9) имеет внд 1 36В,— а, = — о;; решая его относительно а„найдем ~-т а, = 36В, — — ! е ~ ет (т) дт. '36 е ~т о Следовательно, ядро релаксации Г=2 6~1„ехр( — !/1„). Ползу- чесгь (а1=сопз!) этой модели идет с постоя~якой скоростью е1=сопз1, а релаксация напряжения (при В1=сопз!) — экспонен- циально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
