А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тензор деформации 6= (Йц) при 1=0 имеет значение бе=Е= = (бц). Рассмотрим тензорную 4уннцию ) от тензора деформаций ац =ад 7 = 1(йм Йы~ Кзз Йм. Йм~ Йм Йз» Йм Км) и разложим ее в ряд Тейлора по Й'и около значений бц 7(Й ) — 7(6 ) =(к — Ь ) + дае,, Иелинедная теория упругости — — Ь вЂ” Ь +~(Вя 'чи)(И" Ь") д +'" даредй „ или аппроксимируем ее такого рода конечным полиномом.
Свободный член и коэффициенты при произведениях Йп с различными значениями индексов ~', 1=1, 2, 3 могут зависеть только от Ьсь так как предполагается, что никаких других тензоров-констант функция 1 не содержит. Каждое слагаемое правой части будет скаляром только в том случае, если коэффициент, (производная от 1) будет скаляром, умноженным на произведение соответствующего числа компонент Ьп с соответствующими индексами. Например, первое слагаемое (если ч~ 0 при Йи, = Ь ) будет скалядг дуре ром, если — = с~ Ьре, д1 дйре второе, — если дЧ = се дуре ди,пп или Ьри Ьеп причем только Ьр Ьп" дает новый скаляр, так как Ь™Ь " приводит к квадрату первого слагаемого, и т.
д. Прн этих условиях последо- вательные слагаемые содержат скаляры (17.5) Й~,л, Й,, ° ° ° Й н каждую из них представим рядом 1н (Йм ° ° ° Йзз) 1п (Ьм ° ° Ьзз) = (Йпчпь Ьечп,) д + доз еч нч т' (Й"ч * ° "'*)(Й'ь "") д д + . — Ь, — Ь, 2! п$~ ~пе пипи Для того чтобы 1п образовывала симметричную тензор-функцию 2-го порядка от тензора Йп, достаточно, чтобы каждое слагаемое правой части образовывало симметричный тензор 2-го порядка (это и необходимо, если соответствующая производная ФО). А это где ггаь тв ...
лзя принимают значения 1, 2, 3 и по всем повторякзщимся индексам идет суммирование. Рассмотрим теперь группу нз шести функций: 1м (Йм ° ° ° Йзз) 1зз (Йм. °, Йзз) 1зз(Йм ° ° ° Кзз) 1ге(Йм ° Йзз) = 1м 1зз(Йы ° ° - Изз) = 1а 1зз(Йм ° ° Йзз) = 1зз !72 гг,. пг, К'!лссичсскив сгвлы значит (если исключить повторения предшествующих слагаемых) что и соответствующие слагаемые имеют вид с! (и!! — Ьн), сз (ак, — Ьоч) (и!чу — Ььл), ° ° .
с+ (аЕА Ьы)(Ьь Ьм) (ай! Ьуз) где по повторяющимся индексам й!, Аь ..., йс=1, 2, 3 производится суммирование. Здесь сь сз, ..., с! — скалярные коэффициенты. Тензор (йоа Ьыь, ... Ь!,!,) является симметричным (по !1) и называется 1-й итерацией тензора (д!з) нли 1-ой степенью тензора 0 и обозначается 6'.
(17.6) 6' — (й' ы й~,м ° ° Я!!!). След (сумма диагональных элементов) каждого такого тепзора является одним из инвариаптов (17.5). Используя тензорное обозначение г = ()!,) для разложения тензор-функции г от теизора 6 (и единичного Е), получим ЕГ(6, Е) = с, Е - , '- с,6 + ст6' + ... =- с, 6' (1 = О, 1, 2,, ). (17.7) — 6'+ а0' — Ь6+ сŠ—.— О. (17.8) Это значит, что имеет место тождество й! й!, Д,н =- ад!„п,„з — Ьл,; + сби, где а, Ь, с — инварианты группы (17.2). Умножая (17.8) на 6' з, получим рекурентную формулу 61,.— а6! — ! Ь61 — з + с0! — 3 Следовательно, соотношение (17.7) приводится к виду 9'(6, Е) = зоЕ-!- зг6-~- хз6', где г! — некоторые полшюмы от ипвариаптов а, Ь, с, определяемые характером теизор-функции Гг'.
Поскольку контравариантный (17.9) Этот ряд может быть свернут на основании толсдесгва Га,!!платона — Кели. Собственные (главные) значения тензора д!!(1ьзм 4) удовлетворяют кубическому уравнению (17.2). Можно непосредственно проверить, что и тензор 6= (а!1) удовлетворяет этому уравнсшпо, т, е.
173 з 1?1 Неьинеааае теорие упругости тензор дм согласно (17.1) есть тензор-фупкция дгь значит, он тоже представится в виде (17.9). Формула (17.9) показывает, что три тензора Е, 6, 6е образуют полный базис. Значит, три любых линейно независимых тепзор-функции тензора (у;„) также образуют полный базис; в частности, таковымн являются контравариантпый базис Е (6»1) 6 — 1(ег/) 6, (е 6»ы'6»>') и обратный ему ковариантный базис Е = (бн), 6 =. (аи), 6 — ' = (а'"" 6; 6;„). (17.10) (17.11) Соответствующие базисы могут быть построены и с помощью тен- зора деформапцн (17.12) 2е„= да — 6».. Существенное удобство представляет контраварпаптпый базис, получающийся дифференцированием инвариантов а, Ь, с (1?.2) по ди нли по егр ац= =- — =-6", (а")=(66) =Е, дяи 2 дег> Ь' = = — =- абгг — а бее 6"' (Ь") = В, (17.13) дЬ 1 дЬ дзггг 2 дегг дс 1 де са =- = — — = дИгг, (сл) = 66 дазз 2 де 1 Тензор напряжений, являющийся, по предположению, функцией тснзора деформаций н температуры, в этом базисе представим в виде 5 == 2р(ф,Š—; фьВ+ ф,й6 — ') (17.14) где ф„, фь, ф, — некоторые скалярные функции, зависящие от инвариантов а„Ь, с=я н параметров и (температуры 7) и опреде- или через контравариантные компоненты 5»1 = 2р (ф, ай + фь6»1 -!- ф, сн) =- = 2р(ф,б" + фьЬ" +'Ф»ад»1) =р ( фа Чгь + ф» ).
да , дЬ дс де;у ' ден ден )' (17.15) КЛАССИЧЕСКИВ СРЕДЫ [гл. тп, рбз = —; 6'о ' Т (17.17) 2) компоненты тензора деформации вместе с температурой являются полной системой независимых параметров состояния частицы. При этом свободная энергия, являющаяся скалярной функцией состояния и — зТ =- 4>(еи.
Т), является потенциалом для тензора напряжений 5'~. Действительно, из основного термодинамического соотношения (! 1.32) р(бф лс з ЬТ) = ои Ьеи, (17.19) (17,18) следует ян — р дги Таким образом, если известна свободная энергия ф(еи, Т), то и внутренняя энергия и р=— Рв ~'а ' (17.20) только одна функция состояния— не только определяются энтропия з и =ф — Т вЂ”, дв дТ дв 3= —— дТ (!7.21) но и становится известной связь между напряжениями и деформациями. В случае изотропного тела ф зависит только от скалярных характеристик деформации, т. е. от инвариантов а, Ь, с ф = ф(а, Ь, с, Т), з(а, Ь, с, Т) = — —— в) и(а, Ь,с, Т)=ф — Т— д~) дТ (17.22) ляемые физическими свойствами твердого тела. Эти три функции мы будем считать заданными: ф,(а, Ь, с, Т), фь(а, Ь, с, Т), ф,(а, Ь, с, Т) (17.16) и, следовательно, (17.15) полностью определяет связь между тензорами напряжений и деформаций.
В действительности для области больших деформаций упругих тел, таких, как высокоэластнческие полимеры, эти функции изучены еще слабо н их определение представляет всегда сложную задачу. Существование потенциала внутренних сил доказывается на основании двух предположений относительно идеально упругого анизотропного и нзотропного тела: 1) функция рассеяния )~*б(= = РТбз — б'Я равна нулю, т.
е. 175 Нелинедяая теория упругости Следовательно, из (17,20) мы получаем снова соотношения (17.15), причем оказывается, что три входящие в них скалярные функции не являются независимыми, а выражаются через пр: — Ф = —. Ф,= —. д~р Гд~) д$ (17.23) т. е. между ними должны существовать соотношения — — — — — — (17.24) съуе д~ъ дФа' д~р„дФ» д$~ дЬ да ' дс да ' дс дЬ Действительно, приращение работы внутренних сил в изменяющемся объеме )т тела постоянной массы (с1М=рс()т) за время с(1 равно 6'ИУ = ~ Юд г(ест сЛ: = ~ — ол с(еп с(М. д р 6'йр = ЛУт, %т = ~ рФ Я'+ сопз(.
(17.25) Аналогично — в случае адиабатического процесса; при этом 6'Я=О и потому из (17.17) имеем а=сопз1, вследствие чего сн — с(еп = с((ф + зТ) = с(и, 6'((У = ЛГ„ Ж, = ) ри Жт+ сопэ1. (17.25) Работа внутренних напряжений в единице массы и во всем объеме тела будет за время с(с полным дифференциалом во всех тех случаях, когда в процессе деформации обеспечивается какое-нибудь соотношение между функциями состояния, приводимое к виду 7 (з, Т) = О, Оно и при условии (17.23) не будет полным дифференциалом, как и приращение работы в объеме единнчной массы — о' с(е„= с(еич =- пР, с(а+ ту» (Ь+ пР, с1с 1 г д$ дец поскольку полное приращение тР за Ф будет ЙЧг = — с(ен+ — г= — с(еп — ат(Т. де дф У~ дец " дт р Но в случае изотержического процесса (Т=сопз() это будут пол.
ные дифференциалы .чн — с(е, = вар, и 176 КЛЛССИЧЕСКИЕ СРЕЧЫ 1г. цп т. е. дающее определенную связь между энтропией э и температу- рой Т, так как при этом яц — Нец = ейР—,'- е(Т) КГ = е( ~ ф + ~ з г)Т), б'))т = йФ'), В'г —— ) р ~ф+ ) е е(Т) сУ+ сопз(. (17.27) (17.20), то сущест- Если существует потенциал напряжений вует и потенциал деформаций. Обозначая яц — яо Р (17.28) имеем из (17.19) бф+ збТ = 5лбе" = б(8пец) — ец М"!. Вводя термодинамичеекий потенциал Ф(оц, Т) =- ф — — ог)1ец — — )и — зТ вЂ” — ои ец (17.29) и предполагая, что за независимые параметры приняты Т, Бц, по- лучим ецб~ бФ+ збТг (17.30) откуда дФ е, = — =, д5Ц дФ Я=— дТ (17.31) Коэффициент теплоемкости с, при постоянных деформациях (бац=О) ОлрЕдЕЛяЕтСя ИЗ уСЛОВИя б'Я=рсибт=рс(и(Т, Ец).
СЛЕдО- вательно, на основании (!7.21) имеем 1ди(т, ец) Т дзФ(т, ец) дТ 'дти (17.32) д'Ф(хц, т) дт — О, ,)2,) дти Уравнения двеокения пзотропного упругого тела в перемещениях получаются подстановкой закона упругости (17,15) при заданной функции ф(ец, Т) в уравнения 17! У'+ р(Р' — ы>') =- О. (17.33) ди(Т, ХЦ) Аналогично можно получить с = †' . Отсюда следует, что дТ Нелиней>>аз гео!»>я у>г!>угости Система (17.33) при заданной ф(е!и Т) и заданном поле теь!- пературы Т(х, !) является замкнутой относительно перемещения и или вектора х=х+и согласно (17.20).
Если поле температуры не известно, то используется закон 'тсплопроводности, определяющий поток тепла' д через градиенты температурь! — )> ,1 =,)зД = — ЛЕ!'7,.Т и закон сохранения энергии или баланса энтропии — ) =- ~, ) = — — И Ч!т7т. (17.33) д ГдЯе>И Т) ! ! ! Л д! ~ дТ 1 еТ ' оТ ГЛАВА Ч СРЕДЫ СО СЛОЖНЫМИ СВОЙСТВАМИ 1 а= — опбн, о = и" — пб", 0 11 Н 1 ио =- оп — — с1 )ч о бсп в (Э) Механические свойства неклассических вязких жидкостей и твердых тел,,не обладающих совершенной упругостью, настолько переплетаются, что для тех и других нередко используются одни и те же соотношения между напряжениями и деформациями и в этих случаях основные дифференциальные уравнения МСС для них совпадают.
Важный пример таких сред представляют полимерные материалы (смолы, каучук). Технология их производства охватывает область жгщкого и полутвердого состояния, причем упругие и вязкие свойства являются существенными. Поведение этих тел прн нормальной ' температуре (ска. жем, в диапазоне — 20 + 100' С) определяют упругие, вязкие и пластические свойства. При пониженных температурах (ниже температуры стекловання) онн ведут себя как упругие (даже хрупкие) тела.
Поведение металлов в технологических процессах н в конструкциях в зависимости от диапазона температур определяются вязкими, ~вязко-пластическими, упруго-пластическими нли упругими свойствами. Установление связей между напряжениями н деформациями (50 еп) и замыкание системы уравнений МСС производится методами, изложенными в з 11, 12. В ряде случаев поле температуры Т предполагается известным и потому уравнения МСС становятся замкяутыми только на основании связей (50 ео). Для начально тнзотропных сред, которые здесь будут рассматриваться, существенное значение имеет постулат изотропии и некоторые дополнительные кннематические н динамические величины.
В этой главе конечные де4оргвации мы будем рассматривать только в декартовых ортогональных эйлеровых (Э) координатах (х;), таплые же де4ормации — в ортогональных декартовых Ааграввкевых (Л) координатах (х;). Тензор яа~пряжений в обоих случаях будем обозначать огл скоростей деформаций и вихря в (Э) — он н вн, деформаций1 в (Л) — ась девнаторы отмечать волной сверху: 1 /дзз дзт Х 2 ~дхт дх;) ('Ч.1) 1 е, =е" — — 06,, 3 0 = 6(ти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
