А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 26
Текст из файла (страница 26)
—, др Р д! где р через р» и х определяется законом сохранения массы При условии несжимаемости р=ро, П= — р система (15.22), (15.24) является заемкнутой и определяет функции хи хм хх и П в зависимости от х и й (15.24) ф 16. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Твердое тело, в вотором напряженное состояние в любой точке в любой момент времени 1 зависит только от деформаций в этой точке в этот же момент времени 1 (и от температуры илн Внося (!5.20), (15.21) в уравнения движения ~Р,Яп+ р(хт их) . 0 и учитывая свойства йл, ди при ковариантном дифференцировании дП ~;(П~п)=йРИ~~ П 6~Π— Ъ~. (Я~~йт»Ь )=-й«~йд"~у Фш (15 21 ) дх; ' дб»„ Чу 1 т» д — Гд» 1 «„— Гг» У«»» дхГ 161 Линейная теория упругости У !Б) других немеханических параметров) называется идеально упругим.
Оно называется еще и изотропным, если в любой точке все на- правления равнозначны в отношении упругих свойств, т. е. упругие свойства характеризц~отся только скалярными физическими кон- стантами. Тело называется однородныл» если упругие свойства (нри одинаковых значениях параметров 10) одинаковы во всех точках тела. В классической теории упругости рассеяние )т'0 предполагается равным нулю, свободная энергия предполагается фупкпней толь- ко деформаций и температуры (являющнхся парамстрамн состоя- ния) и деформации считаются малыми, т. е.
вектор перемещения и(х, 1) =х — х удовлетворяет условиям — '~~(6, 6<1 (1,1=1,2,3). дхт В этом случае свободная энергия ф(е», Т) представляется в виде ряда но псремснным е», Т, в котором ограничиваются квадратич- ными члснамп. Поскольку 4" — инвариант н тело изотропио, значит, ф зависит только от инвариантов О=с()си=в»6» и е»е». Плотность р в уравнениях дни>кенни считается постоянной, абсолютная тем- пература — равной То+О н не сильно отличающейся от некоторой постоянной Т,. Итак, Имеем Т=То+О с учетом (11.39) рооР = Ао — 50Т-', Воб + — '(ХОо + 2ре»в» — 2рОΠ— "" о дТ с,= — Т =-с — '=с, т, О дТо р, = А„+ — '().Оо+ 2рв»е»+ Ро~"), (16.1) То причем А,, 30 — несущественные постоянные.
При сделанных предположениях свободная энергия является потенциалом для тензора напряжений и потому напряжения а» определится соотношениями ໠— — — —— ХО6» + 2Ре» вЂ” й66» + Во бтт (1, 1' = 1, 2, 3). (16.2) е» Мы получили закон Гуки с учетом температуры, ~причем Во=О, т. к. предполагается, что нрн ⻠— — О=О также а»=О. Свертывая (16.2) с 6», получим закон объемной упругости (термоупругости) — о»6» ив о = К (Π— Заб), (16.3) 3 бт/о А. А.
Нпоооооо 162 [гк П1, КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ где К называется модулем объемного сжатия, а а является коэффиг(иентом линейного расширения К=Л+ — р, [1=8 К. 2 3 (16.4) Разрешая (16.2) относительно деформаций е„, получим 1+к Зт е 1 — — — а,1 — — ай" + абй,н Е л (16.5) где Х= « (16Л) (1+ о) (1 — 2т) Все модули упругости (го и, Е, К) имеют размерность напряжения, т — величина безразмерная. Закон Гука (!6.5) записывается (прп 6=0, т. е.
при постоянной температуре 7'о) обычно в виде 1 езг — —. — [а„— У(а„+ оа,)[, 2е„= —,опи Е 0 1 1 е„= — [ааа — т (ааа + аы)1, 2е„= — а,а, (16.8) Е о 1 1 еаа = — [ааа — т.(оп+ аза)[, 2еах = — а,„. Е О Все соотношения (16.1) — (16.8) при малых деформациях справедливы в любых ортогональпых криволинейных координатах, так как относятся к малому прямоугольному параллелепипеду, Внося значения аы (16.2) в уравнения движения в декартовых координатах — '+ р(Х, — (Р,) О дх1 ' Праанльнее было бы сказать «константами упругого телль, однако термин «упругие постокнныеа широко распространен. -'ЗХ+ 2р л (16.6) Х+ 1« 2 (Х+ р) Е называется модулем Юнга, т — коэффиг(игнтом Пауссона.
Постоянные Х, р.называются константами Лямг, причем 1«=6 называется также модулем сдвиги. Между упругими настоянными ' (только две пз ппх независимы) пмек1тся соотношения р=сз — е К )„+ 2р— 2(1+о) 3 3(1 — 2т) 163 Р Тд] Линейная теория упругости и учитывая выражения деформаций через перемещение й (16.9) Б пзотропгюм твердом теле теплопроводиость подчиняется закону Фурье (Л вЂ” козффиииент теплопроеодности) дТ »7 =- — Лйгад Т ~в), =- — Л вЂ” ) дхг ) (16.12) и поэтому из соотношения др,8 — =- — — д|ч а дГ То на основании (!6.1) получаем уравнение теплопроводности р,с — = ЛЛТ вЂ” рТ» —. дТ дО д! дт (16.13) Система уравнений (|6.11), (16.!3) для вектора й и температуры Т является совместной и замкнутой.
Теплообразованпем за счет дО Х объемной дефоРмации (()То — ) в (16.|3) часто пРенебРегают дт ) ввиду малостц; тогда уравнение (16.|3) самостоятельно определяет температуру Т(х, !), и в уравнении (|6.!1) член б пгад Т представляет как бы дополнительную известную массовую силу. Прп Т=сопз( система (!6.!О) называется уравнениями движения в форме Ляые. Значения термоупругих констант некоторых твердых тел даны в таблице. с б, ввл. кг с' л б. квл см сск С' Е кг/смв ох кг?смв Мвтврввлы О, !6! !Оо 0,920.|0» 0,504 ° |Ов 0,|5! !Оо 7,86 |О в 8,93.!О в 2,7 |О в (|,95 — 2,82) |О в (осе — 0,961.
ю- 2,! |0» 0,28 |,! |Ов 0 34 О,?5 |Ов 0,34 2,6 ° !Ов 7 — |О Железо Медь Ало»маний Мрамор Каучук 6»/ в О,!|3 0,093 0,2|7 0,2! получим (Л+ р) — + рЛиг+ р»Х» = ро ' + Д вЂ” (! = 1 2 3) (16 10) дхг О с О сяв дХ или в векторной форме, пригодной для любой системы координат: (Л + р) йгад д!ч и + рЛи+р»Р = р,— + р йгад Т. (16.11) о о д|а !г». г!н кллсс!о!ескпе сРГды Коэффициент Пуассона т для металлов близок к О,З, а вообще заключен в пределах — 1<ч<05. Прп м< — 1 из (!6.7), (!6.8) следует, что 6<0, т. е.
положительным сдвцговым напряжением (наприч1ер, ом)0) соответствуют сдвиги в обратном направлении 1 (ем<0) энергия сдвигов становится отрицательной. При т)— 2 имеем К<0 и, значит, такое жс положение возникает с объемными деформациями. При т — «0,5, К вЂ” со, а так как в теле действует консчнос напряжение а, то это возможно лишь при О 3аТ, т. е. когда материал является механически несжимаемым, а только способен получать тепловое рас!пире!и!е, В этом случае произведение К(0 — 3аТ) становится неопределенным, и потому функппя о должна быть принята за новую ! спзвесгпу!о. В случае Несжи»яаемого»патериала закон Гука заппсывас!ся в виде (16.14) ои = оби -,'- 2р (еи — абби), и уравнения движения принимают вид Игабо+ рйи+ рг" = р — + 2рацгадТ. (16,15) др К ним добавляется условие несжимаемости д(у и — Зай =- О.
(16.16) Система снова становится замкнутой для и, о, Т. Однородное тело называстся аниаотропныл, если упрумш свойства сто различны по различных! паправлециям, т. е. соотно- шения между оо и еи (мы попрежпсму рассматриваем малые деформации) определяются тснзором упругих «постоянных», компоненты которого изменяются при преобразованиях системы координат. Такими свойствами обладают кристаллы и конструктивно анизотропные тела. Среди пав слсдпих, например, стеклопластп- .<~;тххх=,~ '::::.' «"',"-.; ки, т.
с. тела, образованные густои ,«Г!>,1,1.,:г, ,и, . ' сеткой стеклянных нитей, скрепленных разлпчнымп полпмерамп (смолами), многослойные фанерке, !6.1 ры и др. (рпс. 16.1). В случае конструктивной апизотропип предполагается, что малый объем г(1> содержит достаточное число армирующпх элементов, т.
е, является представительным. 165 Линейная ~сория упругости Свободную энергию при малых изотермических дефорззацнях можно представить в следующем наиболее общем виде, содержащем 8! константу резр = сопз! . - — Ец, пепе „. (16.17) Из Условна симметРии тензоРа ец=вя следУет, что без потери общности в (!6.17) можно положить Ец „=Ецп, Ец,,= — Ед, „, (16.18) т. е, в (16.17) содержится 36 независимых упругих констант Ец, „. дитр для Кроме того, из условия = следует еще 15 соотнодзцдетп дззппдзц шений: (16.19) Ец,„п= Е пш и;;=,Е;ь„„в используя формулы преобразования (16.21) Пц !тз~ттозц ец !зт!!пети' ерт 7тр(певши и соотношение олг — — Емрее, получим Ец.тп = !тАг!тр!пдЕзьре, (16.22) т.
е. Ец, †действитель тензор 4-го порядка. б А. Л. Ильюшин и, таким образом, всего остается 21 независимая упругая постоянная. Закон Гука в этом наиболее общем случае упругой анизотропип имеет вид: дрь !з оц = — "' = Ец, етп = Егттпезз -,'- Е;„,зе„,-!- Ецлзезз-- Ет.вием+ ец -,'- Ецззезз чч Ец ззаз + Еглз1езз, Ецззезз+ Ецззе„, (16.20) Вследствие симметрии ац и ец, т. е., учитывая (16.17), (16,18) пз (!6,20), конечно, можно получить 6 независимых 6-членных формул, в которые войдет 21 независимая постоянная.Ееь Число констант для каждого частного типа кристаллов или вообще частного вида аннзотропии уменьшается в соответствии с имеющейся симметрией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
