А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Положительную величину 8" = ~Ъ' — — 'у т~ > о ,) (11.29) называют иногда скоростью возрастания энтропии в единице объема за счет необратимых процессов (диссипации и теплопроводности). Для всех тел — ~'~(т > о, (1!.30) — ~ рзЛ'= — ~ — дХ+ ~ — грув+ Ж" — — т2,Т)ду, (11.27) ф т Ураенения еокранения энергии и баланса энтропии 131 4 П! т. е. тепловой поток направлен в сторону убывания температуры. Уравнения баланса энтропии (11.26), (11.27) с помощью величины Ое могут быть переписаны в виде нэ еят~ . РЧ Р— = — 7,~ — )+О" + —, и ~т) т' (11 31) — — — ~.2 +~(О*+ 'Ж) (У.
в У Обычно не учитывают теплообразования и изменения энергии за счет проникающего излучения, т. е. полагают др и все другие величины с индексом р равными нулю. В б(СС важную роль имеет совместное следствие закона сохранения энергии н уравнения баланса энтропии частицы бф —; збТ = — Япбе, т- — — ЯTЬ1, Р Р (11.32) ф= и — зТ, где ф по-прежнему называется свободной энергией. Значение соотношения (11.32) можно легко понять на основании приведенных выше гипотез. Допустим в соответствии со второй гипотезой, что: 1) мы знаем для рассматриваемой среды все независимые параметры состояния системы, например 1ко — — т, пы ..., 1к„; 2) приращения деформаций бео являются известными интегрируемыми (голономными) или иенцтегрируемымп (иеголономиыми) линейными дифференциальными формами по рз Ьеп — — Мн (И)бра (7е = О, 1„..., л); (11.33) 3) знаем свободную энерппо ф(1к) и 4) знаем функцию рассеяния: )Р-Ьг = )У'Ьр, > О, (11.34) где !!т"н — заданные функции р, р =- ~,..., удовлетворяющие услое!р тн вию неотрицательности формы )Г бри для любых Ьре =- — Ь1.
В та- Ф арн Ж ком случае, внося значения (1!.33), (11.34) и бф = — Ь1к д$ дрн 132 ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МСС ГГ*. тли в (11.32) и учитывая независимость брА, получим 3 = — — + — 5 !Мп — — ИT, дф, 1 г о ! дТ р р — Я%И~; = — т — , '— Ю» (й = 1, 2, ..., и). р дрь р (11.35) б"Я ~% пг = 1Рчй+ ЮТСТ+)(Гное,!, (11.37) где )У!, )Ут, )У'! функционалы (Т, еи1 Тогда из (11.32) получим з ~~т ! тт!т ! )у! у! р Р ! Зл = т" + 1 )рт!. (11.38) р р Таким образом, получены выражения энтропии, напряжений н связь между 1Р'* и свободной энергией ~р.
В частности, если б"Я=РЧ1, соотношения (11.37) дают выра; ження з,,з!! и )У" через свободную энергию <р. тут 3 '! РЧи! )Р' Чи (11.39) В соответствии с (11.30) зависимость д от Т обычно берут в виде закона Фурье: о = — м'чтт, (11.40) где Л" — матрица теплопроводности, Л'!Зиэ!'- О, ф 12.
СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ И ПОЛУЧЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ МСС Адекватность методов Лагранжа и Эйлера в МСС позволяет пользоваться любым из них и выводы считать общими. Здесь для Таким образом, получены выражения энтропии з через параметры Т, !Аь ..., !А„и РЯД соотношений, свЯзываюЩих тензоР напРЯжений Й с параметрами состояния, определяющих 5И и связь между Ми, )(тА н 5 !. Допустим теперь в соответствии с первой гипотезой, что: 1) свободная энергия известна иак функционал ф'1Т, е,!!э и ее дифференциал по параметру ! имеет вид йР = Ч'!г(!+Тртг)т+ Ч"!'!(Зп, (11.36) где Ч", Ч'т, Ч"! — функционалы 1Т, е;Д; 2) рассеяние имеет выра- жение э" !21 Связь между напряжениями и деформациями определенности мы будем следовать методу Лагранжа н систему координат х; в начальный момент времени считать декартовой ортогональной.
Тензор напряжений по-прежнему обозначим 5, тензор деформаций в, тогда пх компоненты будут, например, 5!! и вп, 2в!!=д!! — бп. Общие уравнения МСС в сокращенной записи суть: 1, Уравнения, выражающие тензор деформации е и плотность р через вектор перемещения ей(х, !): з = з [и[ = е (ис;), (12.1) р =. р [и) = — "е = р(иед). Эти уравнения алгебраически выражают зп и р через первые произдеи водные — =- ис!. дх 2.
Уравнения движения, которые эквивалентны одному векторному уравнению Ч!д+рр — ия!) =О, д„и =ия!, причем Г=Е(х, !) — заданная массовая сила. Уравнения записываются также в виде Йч 3+ рР= ри. (12.2) Структура этих трех скалярных уравнений, очевидно, такова: они линейно связывают между собой напряжения 5'~, их первые произ- и водные Я,я и вторые производные по времени компонент и; вектора и, т.
е. имеют вид Е.я( е!, 8",;, и,, ис;, и!де) = О, (12.2') причем коэФфициенты при 5,! постоянны (=1), при 5!! — зависят и от иь! и иь!я (через Г~ и де!), при й! — зависят от ьнд (так как контравариантные компоненты и получаются умножением иа э!). 3. В тех случаях, когда за независимые искомые функции принимаются деформации вп или напряжения Я!!, должны быть удовлетворены еще условия совместности 2т!„,ч = О, деи т — будем обозначать и н т. п. д!з !34 Фп.зичсские злкопы и НОстАновкА зАллч мсс 1тз. 11!, где индексы (трд имеют шесть независимых комбинаций (1221 и т.
д.). Тепзор кривизны Р1 „з алгебраически выражается через вн, е;;А п,е;„,А„„причем через вторые производные от Вн — линейно. Этн шесть уравнений кратко запишем в виде )т =-)т (Вц, В11АА, В11 А ) = О. (12.3) Существенно, что если, как мы здесь и сделаем, за независимую искомую функцию принять вектор перемещения и, то на основании (12.1) уравнения (12.3) обратятся в тождества и потому могут не рассматриваться. Следовательно, для вектора й и тензора напряжений 5 получается только одно уравнение (12.2), т. е.
для 9 функций 5м 5зз 5зз 51з 5зз 5зз 5зз 5зз 5зз) мы из (12.2) имеем только систему трех дифференциальных уравнений. Такая система называется незалзкнутои т. е. не позволяет найти й и 5, каковы бы не были граничные и начальные условия для й и 5. Это естественно, поскольку рассматриваемая нами сплошная среда совершенно произвольна, ее специфические физические свойства еще не учтены. Пусть теперь )А(х, 1) представляет совокупность пемехаиических и негеометрнческих параметров, влияющих на свойства среды, т.
е. для любого 1 и х известна совокупность р за(Т, ~,, рз, ...) Оа(Т, й). (12.4) Пусть прп (=1з нам известно состояние некоторой малой частицы, з т. е. известны й=из (следовательно, Вн = Вн), й=оз (следоваз з тельно, о11), 5=5'. Малую частицу рассматриваемой определенной среды прп 1=(з МЫ МОЖЕМ ВЫбратЬ В ВИДЕ КубИКа С МаЛЫМ рЕбрОМ (з, ПрнЧЕМ ребра совпадают с осями координат хь В любой момент ()(з форма этой частицы (как и любой другой в М) изменяется по законом аффиниого преобразования и полностью определяется тензором В. С течением времени 1, очевидно, изменяются тензоры деформации е, напряжения 5 и параметры р.
Мы будем говорить, что задан процесс деформации частицы М, если тензор В задан в виде функции времени, е=е(М,(), т. е. В11=В11(М,(), или что задан процесс нагружения частицы М, если задан 5=5(М, (), т. е, 5П=5м(М,(). С молекулярной точки зрения наша частица М (кубик прп (= (з) представляется как весьма большой объем, содержащий множество атомов, молекул или более крупных однородных элементов (крнсталлов или зерен в металле и т.
и.). Допустим сна- й 12! Связь между напряжениями и йефсрмапиями !35 чала, что наш элемент изолирован от других в том смысле, что «поток» энергии через его грани отсутствует при любом й Прн заданном е=е(!) тензор е будет единственным внешним параметром нашей системы (элемента М), и потому макроскопичсское состояние ее будет однозначно определению в каждый момент ! только молекулярными свойствами вещества и процессом е(0). Силы воздействия нашего элемента на окружающие (т. е. на грани элемента) зависят от состояния вещества, т.
е. от его природы и процесса е(!). Силы воздействия окружающих частей на иаш элемент, т. е, 5'!, равны и противоположно направлены указанным силам (по закону действия и противодействия). Следовательно, 5ц зависят от процесса е(Г) и физической природы вещества. Это рассуждение верно и для случая, когда задан процесс деформации е(!) и «поток» энергии через границу элемента. Следовательно, для среды, состоящей из вещества определенной физической природы, будет существовать функциональное соотношение (э 11): 5 (!) = 5 [е (('), р (!')], или 5д (!) 5д [е (! ) р (! )]~ !я < !' < ! (с, 1 = 1, 2, 3).
(12.5') Верно и обратное: если задан процесс нагружения 5=5(!) и р=!я(!), то деформации тем самым определяются однозначно е(!) = в[5(!'), !я(Р)]~~, или еп(!) = е„[5"'"(Р), р(Р)] „ (12.5») (и < !' < ! (с, ! = 1, 2, 3). Соотношения (12.5') и (12.5«) суть различные формы выражения одного и того же закона связи ткежду напряжениями и деформас(иями сплошной среды: (12.5«) есть решение системы (12.5') относительно е„„„(12.5') есть решение системы (12,5») относительно 5«яя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
