А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Из свойства симметрии тснзора 5 следуст закон взаимности напряжений па основных площадках (УХа; умножая 5а (8.7) на эз и учитывая (8.7) 5а — — 5а!в )у о.аа Р(а) Э получим выражение компонент 5ар через основные векторы истинных напряжений и единичный базис нФ: 5аз )/ аеаааовв Р(а)(ЕВ Ьв (зз( (8.17) ИЗ СИММЕтрИИ 5ав =- 5ра НаХОдИМ ЗаКОН ВЗаИМНОСтИ р(а)аьэ р(В) ьа.
(8.17') проекция Р(а) на направление эв равна проекции Р(8) на направление эа. улля тепзора напряжений 5(1 можно, как и для тснзоров ен, пп, построить соответствующую поверхность второго порядка, най- ти главные осн напряжений, главные напряжения. Площадка с единичной нормалью о будет главной, если Р(т)=Й. На основании формул (8.3) получим ' Р(") — Лт =- (5(1 — Лцл) т,э) == О, (8.18') (51 — Лд'1) т, = О () = 1, 2, З). откуда Коэффициенты кубического уравнения относительно Л, получаемого из условия равенства нулю определителя этой системы: 1 ~ 5л — Лдг) ) = — Л' + 7)Л' — 7зЛ + 7з = О, И (8.18) ' урааиения (8.18') получаются также, если искать максимум Х" (8.10) ио у, ири )слоник т т'" = тьпт;акмэ= 1.
Моменты т и тз по граням ((Х' н ((а'з аналогичны, и потому усло- вие т =та+ в)а + тз = О принимает вид 96 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ (ГА. П, будут инвариантами тензора напряжений, а корни — его главными значениями. С помощью метрического тензора я н аффинора Х теизор напряжений 5 можно представить другими компонентами, как например, ковариантными и смешанными: (8.19) причем вектор напряжений Рео согласно (8.8) при замене э; = э"д ; и у; = у"д(„получит выражения Р(') — 5 уз — 5 у"э =5луэ, Ш (8.8') Вектор г('), определенный равенством Г(У) Д2 = р(У)(12=5( Д2 (8.21) назЬ)вается условным напряжением на площадке Ю с нормалью у; он колинеарен Р'").
Заменяя нз (8.20) у) ()(Х на )Гдп(((Х, преобразуем (8.21) к виду 1(У) = 5()(' аи(, (8.21') т. е. существует вектор 1(, такой, что, подобно (8.8), 1(У) = Рп, 1( = )/а5(. Вектор г( можно представить в начальном базисе е( через его ком- поненты (8.22) т(= Фе. (8.23) Напряжения, отнесенные к недеформированным площадкам. Пусть начальная элементарная вектор-площадка дХ = (1М и с единичным вектором нормали и = п,е, в результате деформации превращается в вектор-площадку ЫЙ = ((Б с единичным вектором нормали у = у,э(= и;е,. Тогда, очевидно, что ((у'( в репере е) равна ((тп(и потому, полагая в формуле (8.2) ((В" =- (12 и умножая обе части (8.2) на э, (с учетом э'э, = 6,'), получим ЫХТ) = (Я~;(1Х, —,у) =)/дп( (8.20) АА Тепла)) напряжений Формула (8.22) для с( с учетом (8.9) и (8.23) принимает вид гс (сне 1/ алс Яе!а Я)( ~Я (8.24) дх( Отсюда, заменяя х = х„е„, э, = Аде», находим связь между компо- нентами тензора (н и ос)': с() )/ас А() си (8.25) Тензор )с> вследствие определения его на основании (8.21) называется тензором условных напряжений.
Как видно нз выражения компонент г() (8.25), тензор (() не является симметричным. Связь компонент тензора условных напряжений р) с истинными векторами напряжений Р( ) на деформированных вектор-площадках Жа, которые при г=гп являлись .о координатными (12а, находится нз (8.21), если нормаль т площадки ИЕ совмещать с направлениями за (а=1, 2, 3), а нормаль и о площадки й(Х вЂ” соответственно с е„; тогда согласно (8.2!) )(а) р(а) Да ' и потому на основании формул (8.1), (8.7) ((сс) — (/ ~~н~а р(а) — ~/йс яа $(а) (а (а)Е ))е~~аи Р(сс) )/асс Яа (8.28) откуда получаем выражения компонент га)) через Р(«) саз = )/яйаа р(а)ев = )/дяаез.
(8.27) Здесь ясно видна несимметрия компонент по индексам (а, ()); с точностью,до множителя >/ляаа на площадке с нормалью вдоль эа компонента гав равна проекции. вектора истинного напряжения Р( ), приложенного на ней, на направление оси х(). Физическими компонентами тензора напряжений паз называются проекции векторов Р(а> по осям з(. Они определяются из равенств р(а> '~~ ~р(ап ~~. ~ ')' о Ян ~э)) )=) (8.28) 4 я. я. ильюппю Единичная нормаль и начальной площадки йХа в репере е, равна н„= еа; с учетом (8.22), (8.23) имеем кинемлтикл н внэтвенние нлпеяжения <г. ы, где й; — единичный базис направлений э;, А„= <э„< Как следует из (8.7), физические компоненты тепзора напряжений связаны с основными контравариантнымн компонентами напряжений В<в следующим образом: ивв Га (8.29) Ф Вт сии' В механике сплошной среды существенное значение имеет теизор мгновенных истинных напряжений, определенный в неподвижной точке х пространства наблюдателя компонентами пи=он в декартовых координатах (х;).
В объеме <(Р=<(хохл<(хх (или а<х'<(хха<х') в момент < находится физическая частица — параллелепипед с координатными гранями, определяемыми векторами- НОрМаЛяМИ ги; Прн <=<а Эта ЧаетИца бЫЛа ПЕКОтарЫМ КОСОуГОЛЬ- ным параллелепипедом с направлениями и размерами основных ребер 'Я)ь удовлетворяющими соотношениям (6.6) — (6.10), в которых надо заменитьр-+(р)и = <(х г; следовательно, волокну (р)„ соответствует — дх Я)„= — с(х„, = В„е< <(х„, дх (8.30) координатной площадке ЫК, = ги <ххВ <(х, — площадка <(У вЂ” (Д)в Яу] = с(хв <(хт ( дхв дх (8.31) Полная сила, действующая на с(,".х, равна У<и~ й<хи, где ЫГи = =- «ха с(хт.
Площадка а<<хи по отношению к реперу а< является наклонной с нормалью т=г„, и потому вектор напряжения у'<ю совпадает с Р(ю (8,8) при ч = г„. Но дх„ т. = э.е„= — = А~, дх< т=э =а<т<, следовательно, Р<ю = ВиА; э; = У~АлА';го (8.33) Вектор истинного напряжения на физической площадке, которая в момент г совпадает с ЙЯ„, обозначим Р("', его компоненты в репере г; обозначим о <, так что фЖ»> =- ои<г< (8.32) Тензор напряжений Сравнивая (8.32) н (8.33), находим выражение ап через компо- ненты 5п тепзора напряжений 5 о"'=- а; = 5'и"А" А',.
(8.34) Поскольку 50=5п, то и оп=ад, т. е. компоненты а,; тепзора мгновенных напряжений симметричны, Формулы (8.34) позволяют фактически вычислять истинные мгповеппыс напряжения ап, если нзвсстны закон движения среды х=х(х, (), по которому согласно (6.7) находятся А,', н компоненты 50(х, 1), так как (8.34) прн этом определяют а;,(х, (), а значит, и ац(х, Г). Обратные соотношения получаются нз (8.34) если их умножить на В„Ве и просуммировать по а и е. Учитывая своиство умножения (6.8) В7А) = 6» = 6»;), получим (8.35) При заданных ап(х, е) п законе движения в обратной форме х=х(х, Г) из (6АО) находим дх"' В„= — =В, (х,(), Эян а следовательно, и В,'"(х, Г), после чего (8.35) дают 5»'(х, ().
Обозначим и — единичпую нормаль к некоторой площадке в точке х в момент г: и = и;е,= н,э', т, =- пэ; =- п»А, и найдем выражение истинного вектора напряжения Р(н1 на ней через а;,:, обозначив Рн декартовы компоненты Р'"' =- Р,ее. (8.36) Полагая в (8.8) т = и, Р1н> = ,т'<н>, найдем Р„'ее = и 5' Аг, откуда по.тучаются простые формулы для напряжений на косых площадках: Р» = апп,. (8.37) Онп очевидны и пз простых соображений: прн (=(е координаты х» и х" совпадают, так как при »=ее, э;=еь ип=беь А„= 6„"', и потому из (8.34) а е = 5н'; из (8.8) сразу находим (8.37). Отме- 4* 1ОО кйнамхгикА и Внутеешше нАПРяжания <Гк тим, что при 1=сопз1 вообще все свойства преобразований ом, связанные с преобразованием репера е;; совпадают тождественно с соответствующими свойствами при малых деформациях.
Теория напряжений в декартовь<х координатах одинакова для малых деформаций в лагранжевом и для любых — в эйлеровом пространстве. Если деформации малы, то <и<,5)(6«1, 1е<5(«1 и поэтому д<5=655, с ошибкой 6«1. Тензоры 555=ш5 совпадают и для напряжений на косых площадках имеют место формулы (8.36), (8.37). Нормальное напряжение Л'<ю на косой площадке равно РО'5 а, т.
е. 65<ю = Р„'т<; = о<5а<а э (8.38) откуда по обратному признаку тензора непосредственно следует, что он в компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат. Квадратичная форма 2Фа = ппх;х; с точностью до обозначений совпадает с 2Ф, 5 7, н потому очевиден ряд свойств, вытекающих из уравнения поверхности напряжений Коши 2Ф,=сопя(, если радиус вектор х=х<е, направить по нормали а некоторой косой площадки а= — ", Л=-!х~, а;= <. Р Перечислим некоторые из них. Находим ягайФэ = о<,х5е, = ВР<"5, т. е. вектор Ро'5 направлен по нормали к поверхности Коши, т.
е. существуют три ортогональных главных направления тензора напряжений и они находятся из условия Р'5=оп, т. е. из системы (пц — об<,)а = О„ а главные напряжения оь пм пз — из решения кубического уравнения 1п»5 — 6<5о~ =О, три коэффициента которого суть инварианты ортогональных преобразований базиса еь о,5655 = о, — ((о „) — о<5<5551 ~ о;5!. 5 Следовательно, инвариантами являются также 1О1 Танзер напрягееннй 3о = ог„— — ом, пгг + оее = ог + пг дз, г, г г, г г г г .г г опон = оп + огг + огг + 2 (о ге + огз + оз1) = о1 + ог + оз, — ен т (8.39) где коэффициентами еоь являются так называемые е — объекты, т. е. величины, равные нулю, если два любых индекса из (11й) оди- наковы, единице, если (1!й) образуют круговую (четную) переста- новку (! 2 3), и минус единице, если — нечетную перестановку О, если(=1; (=й; 1'=и; 1, если (111) — четная (1, 2, 3); — 1, если (1!й) — нечетная (1, 2, 3).
ем — — ал =— те (8.40) Напряжение о=Чз(оп+огг+озз) называется средним гидросгагическим по следующей причине. Мысленно выделим в среде частицу, которая имеет форму правильного октаэдра, главные оси которого совпадают с главными осями тензора 5. В первом октапте его грань имеет нормаль и, равнонаклоненную к главным осям и потому пг = 1/$~3. Нормальное напряжение на этой грани согласно (8.38) равно Напряжение т„, конечно, является инвариантом, так как главные напряжения оь ог, ог — инварианты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
