А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При этом окрестность каждой точки х аффинно преобразуется в окрестность соответствующей точке х. Теория деформаций, следовательно, опирается на дифференциальную геометрию, соответствующую преобразованиям координат (5.4), (5.5). Согласно закону движения физическая точка х в момент ! находится в точке пространства х=х(х, г)ы соседняя физическая точка х'=х+$, е(х=$, находится в точке х'=х(х+$, г), и потому вектор-волокно йх= $ преобразуется в вектор-волокно р=х' — х, Деформация окрестности.
тонки сплошной среды 63 и оператор дх!дх, называемый аффинором. В точке х в момент 1 можно построить репер е; (путем параллельного переноса из начала О системы координат) и в нем изобразить векторы $ р $ = $гео р = рге,. (6.6) Тогда преобразование (6А) нолокна с в волокно р через их декар- зовы координаты с', р' представится линейными соотношениями рг = Аф/, А,' =- — ". (1, 1 = 1, 2, 3).
(6.7) Поскольку $ — любое волокно в точке х, причем А'; не зависит от с, то (6.7) представляет аффинное преобразование окрестности точки х в ее окрестность в момент времени б Обратное по отношению к (6.7) преобразование можно получить либо разрешая систему (6.7) относительно а', т. е, умножая р' =- Аф па обратную ~,'А';)! матрицу 1В";~ь т. е. матрицу, опредсчяемую равенствами ВгА) =бч= — 6„(й, 1=- 1, 2, 3), (6.8) либо непосредственно из закона движения в форме (5.5).
По определению, — — — — дх — дх $ =.— х (х + р, (); — х (сс, 1) = = о = — — р', дк ' дкз (6.9) откуда следует ч . дхг $г = В';рг, В, = ' —. (1, 1, й = 1, 2, 3). дк' (6,10) Справедливость (6.8) легко проверяется ца основании (6.7), (6.10): я дхн дк' дхн ВсА; =-— дкз дхт дхт А~ Аз Аз В1 Вз Вз Вз Вяз Вз В~ Вз В3 1А,'1 = !'в,'~~ = А А'А 1з Аз,4з (6.11) дк дх Как видим, аффиноры А = — и обратный ему В =- — опредх дк деляются соответственно тройкой векторов э, (6.5) и тройкой векторов е,=дх,'дх', т.
е. матрицами 64 кинемАтикА и ВнутРю!ние НАпРяжения !гс. гг, Произведение определителей А = ) А,'~ и В = ! Вс~) этих матриц равно единице по свойству умножения матриц и на основании (6.8): АВ= ~А,'~ (В~с( = ~АсВЭ~= 1. (6.12) Прямое и обратное аффинные преобразования р=-А$, $=Вр, (6.13) рассматриваемые в фиксированный момент 1, представляют соответственно: аффинное преобразование окрестности физической точки х и аффннное преобразование окрестности геометрической точки х. Отсюда следуют все свойства аффинных преобразований, в частности: 1, Частицы, при 1=1з лежащие на прямой, остаются на прямой и после деформации. Наприя!ер, прямолинейное волокно $= Э!с! параллельное оси хс, перейдет в прямолинейное волокно ! зо = А$сег = я! Ае = $'(Асе! + Асе, -с- Асез) = $сА!ес, так как Асе, — постоянный (при данном г не зависящий от $) вектор.
2. Плоскость переходит в плоскость. Например, плоскость э!=сонэ(=с! переходит в плоскость, согласно (6.10), имеющую уравнение ! Вср =-.С„ а параллельная я!=с! плоскость я! = С! — в плоскость Всо! = С,, параллельную указанной. 3. Так как параллельность линий и плоскостей сохраняется, то прямоугольные параллелепипеды переходят в косоугольные параллелепипеды. 4. Множество частиц, расположенных при с=1э иа сфере е'=С~, гереходит в множество тех же частиц, расположенных на поверхности эллипсонда, определяемого уравнением з ~г В,".В,"рр =С', сс=! Обратное преобразование $=Вр отвечает на вопрос — каковы начальные физичсские элементы среды (при с=сз), соответствующие элементам, произвольно выбранным в момент ! в точке х пространства наблюдателя. Так, векторы (р),=зс(х*, (р)$.--3,(х, (р)3--эз(х' 65 лтефориацип окрестности тонки сплошной средв> н точке х в момент с представляют соответственно те волокна, которые в точке х при с=Го были координатными, т.
е, ($), = етйх', (й)з =- еос(хо, ($)а = еас(хз. Действительно, если, например, вектор-полонно (й)> —— $'еь имеет координаты $'>О, йз=йз=О, то соответствующее ему по закону ~6.4) будет (р), = эД' = (А~ет + А>ет — ', А,е„) й', ! 2 3 (йх)2 =— р' = — —. с(хсс(хГ= д;>в1хЧхг = дДМ. (6.14) дк> дхг Скалярные произведения векторов э,э, (1,1= 1, 2, 3) з дх дх ЪЧ т ы й" = э, = э,э = — —.
= ч Ао А> дкс дх' (6.16) образуют так называемый ковариантный метрический тензор, так как он в момент г определяет изменение длины любого волокна $, взятого при 1=1о в точке х; этот тензор симметричен. В силу начальных условий, которым удовлетворяет закон движения: х=х(х,1), 1=1,, х=х, хо=- х'(х', х', х', г), 1=-1, хо= х', — о (6.16) метрический тензор до„ при г = со равен дк дк о (уи)в=к =- = —. = й'н = е;е; = бп. дх> дкэ (6.16') Заметим, что совокупность величин й„(с, 1'=1, 2, 3) действительно представляет теизор нторого ранга й (по обратному признаку ' тснзора), так как в соотношении (6.14) слева — скаляр, справа >ке — квадратичная форма по й', причем $ — вектор. ' Коэффициенты инвариантной квадратичной формы по компонентам вектора образуют симметричный теизор второго ранга. 3 А. А.
Ипыошон причем длина его )(р)т! = 52 ~у э,э, = в>~э,(, т. е. скаляр оп =эхэ является коэффициентом изменения длины йг, т. е. является метрическим коэффициентом. Квадрат длины любого волокна, которое при г'=1о определяется вектором $, согласно (6.4), (6.5) ранен кинсмАтикА и В11утРвнпие ИАНРяжения гг .ы, Разность оз — $' однозначно определяет изменение длины волокна о ьв момент й причем согласно (6.1), (6.14) она равна р' — Р =- (д11 — д1~ ) Р~1' =- (я1, бп) К1 (6,17) и, следовательно, совокупность девяти величин е,, =- ен = — (Р.„— б„) (1, 1 = 1.
2, 3) (6.18) на основании обратного признака представляет тензор е, называемый гензором деформации. Он симметричен и равен нулю (т. е. все его компоненты равны нулю) при 1=1о. Обратим внимание на то, что квадратичная форма (6.1), (6.!4) и вытекающая из (6.17) форма рз — $з =- 2е;ДЯ' (6.19) й1бй1» — — 6» (1,1, й=-1, 2, 3). э'411г —— э;; Следовательно, э', д1 основной определитель (6.20) находятся по известным формула»1 через Йм Ыгз Югз Й'»1 Кзз Ызз Ы»1 Ызз Йзз (6.21) записаны в декартовых ортогопальпых координатах »1 (1=1, 2, 31 о в репере еь и потому компоненты метрических тснзоров ди, д„. и тензора деформаций е1, представляют тензоры ро, К и е в репере е„т.
е. в декартовых координатах, так нче как н компоненты а1, ог представляют векторы $, о. В точке х в момент ~ векторы э; (1=1, 2, 3) образуют косоугольный базис или репер, в который преобразуется репер еь Если с базисом эз связать декартову систему координат, то она будет — дх косоугольной. Три вектора э, =- —. в точке х(х, 1) будем назыдхз вать местным ковариантным (индекс 1 — внизу) базисом.
Для определения деформаций физическцх объемов и площадок удобными являются векторы контравариантного базиса эз и компоненты метрического тензора у"', однозначно связанные с эз и д11 соотношениями: 67 Деформация окрестности томки сплошной среды В 61 и его миноры; обратный определитель д '= ~д~[ находится нз условия а. а ' = — ! а; ! ~ и"'! = 1 а;;а'"1 =! б'1 = 1 и равен 1/д; вектор з" равен эи = — ' [э»з»Ь р'а (6.21) где числа (а, 6, у) образуют четную (круговую) подстановку индексов (1, 2, 3); компоненты у'ч имеют выражения дя д |од (6.22) д диац дйс» Отметим еще вытекающие также из (6.20) формулы эпэв б", эи = э снсс Уп = этэт Р.И снч (6 23) Начальная координатная физическая' площадка прямоугольника, образованного координатными волокнами ф„= чае и (я)» = я»е» представляется вектором с( 2~» = [(ь) (з)»1 = с(~» [е ев) = с(~г»е», с( 2,» = РБ» = с(хас(х».
(6.24) ДХУ вЂ” ' [(о) (р)в) = с(Х» [э э»1 или на основании (6.2!) †вектор с( 2',» = [лс д с(~'»э» = с(Ъ'»(»),, (6.25) где вектор единичной нормали к этой площадке (»)» равен — э » (») = =- э», [лс Л»» (6.26) Следовательно, величина площадки с(3',» в результате деформации станет равной ~у» . [л'ос,,»»с(у» (у = 1, 2, 3). (6.27) 3ная закон изменения координатных площадок (6.25), (6.27), найдем его и для произвольной наклонной (косой) площадки с(~, К моменту г' площадка с(2,» преобразуется в площадку с(~» параллелограмма, образованного векторами (р)„= $аэ„, (о)» = я»з», представляемую вектором 68 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ '!Гл.
еь проведенной при 1=!э в точке х и имеющей единичную нормаль т . Для этого рассмотрим, координатный тетраэдр, !построенный иа век- торах (е)!, (е)ь (е)м так что площади его треугольных координат- ных граней представляются векторами ! Т(~чз ~ (~з 2 2 2 а наклонной грани — вектором — г(~, 'Т = — с(~ у, 2 2 (6.28) Поскольку поверхность фигуры замкнута, то суммарная вектор- площадь поверхности равна нулю Д~'а — () а-! если все векторы-нормали этих площадок внешние (или все внут- ренние).
Но для площадок Ы~ча нормали отрицательны ( — е!, — Вз, — ез) и потому на основании (6.28), (6.24) получаем з !!2,'"Рай~"~ = ~~ Щ'Еа, а=! (6.29) Отсюда, умножая на ез, находим связь между размерами началь- ных площадок: Д~. т — Д~;У м (6.31) где э единичная нормаль; тетраздр преобразуется в косоугольный теграэдр, для,которого из соображений замкнутости его поверхности на основании (6.28) получ!!м з д~ )~ъ, ~/", ~~,~ !(~~аэа (6.32) а=! !(~Э= е!~'тв ъЪ= т ев (р= 1 2 3). (6.30) В результате деформации векторы ($)! превратятся в (р)о площадки д 2'„а — в Ы ~'", площадка л ~' — в 69 Лефориация окрестности точки сплошной среди ,(~а = )/ ...,,аэ,( ч э )/'йэа,(~ч, „, чэ=тээ, и=и,ос=~'э, (6.33] Здесь ча — ковариантная компонента вектора единичной нормали т. Поскольку изменения в результате деформации любых физических вектор-волокон и вектор-площадок найдены и выражены через метрический тензор 67 и, следовательно, через тензор деформации е, нам остается найти изменения малых объемов и дать наглядную трактовку компонент тензоров й, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
