А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(3.15) о, Мы потребовалп по существу, чтобы введенные количества 6'Я,З н О, удовлетворяли второму закону феноменологической термодинамики обратимых процессов, так как (3.15) имеет форму выражения этого закона. Поэтому вывод может казаться неправомерным. 2 к,жни Тело, представляемое ансамблем системы Ян, в этом случае называют заключенным в адиабатическую оболочку, процесс изменения состояния его — адиабатическим. Изменение внутреннейэнергии при этом согласно (3.12) равно работе внешних сил: 6Й=6'А. В общем случае равновесного процесса из (3.12) следует, что 6ЙФ6'А; величина 6'б1 (3.13) называется количествохс тепла, сообщаемого телу извне.
Это количество в феноменологической термодинамике определено независимо и до создания статистической теории. Формула (3.13) позволяет вычислить его теоретически, если известны функции Н и 1(Н, О). Ввести понятие энтропии тела, представляемого ансамблем системы Ен, можно различными способами. Назовем энтропией Е тела величину, пропорциональную среднему значению по ансамблю логарифма вероятности 1: Е(р, О) =-- — Ус(1п~(Н, 0)) = — й ) )!п~с(рс(а, (3.14) !' где а — константа (постоянная Больцмапа). Один из параметров Ов назовем темпсратурой тела О! и потребуем, чтобы количество тепла 6'Я (3.13) имело интегрирующий множитель Π—,' и с этим множителем представляло полный дифференциал (по параметрам и, О) энтропии 5: 34 СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ ~гл. к Но ведь и количеством тепла выражение ~ Нб~йрй4 'г названо тоже из сопоставления 'формулы (3.12) с выражением первого закона термодинамики.
Необходимо еще проверить, при каких условиях справедливо уравнение (3,15), так как количество тепла 6'(е уже определено выражением (3.13), вариация 65 может быть найдена из (ЗЛ4), параметры Оа еще не определены. В статистической трактовке, т. е. с учетом (3.13) и (3.14) уравнение (3.15) должно быть тождеством, как и уравнение (3.12), выражающее первый закон. Из (3.14) находим вариацию 65: 65 = — й ) 6(~1п~)йрд4 = — й ) 1И Ядр до — й ~ б~йрйу г г г или, учитывая (3.9), 65 =- — Ф ~ 1ИЯйрйй. г (3.18) Внесем выражения (3.13), (3.10) в (3.15) и перепишем полученное уравнение в виде ~й!пГ(Н, О) + — Н~ 6~йрйу = О. О г Чтобы для любой вариации 61 этот интеграл равнялся нулю, в соответствии с (3.9) необходима и достаточна независимость от (р, о) подыптегрального выражения, стоящего в квадратных скобках.
Обозначая это выражение через От/Оь т. е. лО, 1п )'+ Н =- О,, (3.18) и усредняя (3.18) по ансамблю, получим О, =. Н вЂ” 0,5. (3.17) В макротермодинамике такое соотношение между внутренней энергией Й, энтропией 5 и температурой 01 известно как выраже- ние свободной энергии Гельмгольца От= †черсз внутреннюю энергию Й, энтропию 5 н абсолютную температуру 01 — — Г в градусах Кельвина, если в выражении энтропии (3.14) множитель й является постоянной Больцмана. Таким образом, уравнение (3.15) действительно выражает второй закон термодинамики, если функция вероятности 1 имеет вытекающее из (3.18) выражение и — ч лт (3.20) Термодинамика замкнутых равновесных систем где Т вЂ” абсолютная температура и ф — свободная энергия $ = Й вЂ” Т5. (3.21) Последняя, конечно, может быть функцией внешних параметров р„и температуры Т. Ансамбль системы 5н, определяемый функцией распределения 1 (3.20), называется каноническим.
Другой подход к получению второго закона термодинамики основывается непосредственно на рассмотрении канонического ансамбля. Пусть функция распределения 1 имеет вид (3.20), где й— универсальная константа, ф и Т вЂ” не зависящие от (р, д) параметры. Найдем из (3.20) ф=н+йт)пр (3.22) н усредним это равенство по ансамблю; получим ф = й-, '-йт(1пУ). Сопоставляя это выражение с выражением свободной энергии Гельмгольца, заключаем, что если Т трактовать как абсолютную температуру, то — й<!и)> должно представлять энтропию 5.
При такой трактовке параметров второй закон термодинамики получим непосредственно пз выражения (3.13) количества тепла 6'Я. Подставим выражение Н из (3.22) в (3.13), после чего получим Щ = ~ (ф — ИТ 1п Т) ЬТ е1 р е1е1 =- тР ') ЬТ е)р г(е1 — йТ ~ 1п ТЬТ' е1р ей); г 'г первое слагаемое правой части равно нулю на основании (3.9), во втором же ~ 1п Я й р Йу = 6 ~ ~ 1п ~ е)р е(е) = 6 (1п Т); г следовательно, 6( — А'1пД = —, 6'Я Т т. е.
Т вЂ” интегрирующий множители количества тепла 6'(,1 и потому — й < 1п~> есть энтропия 5. Третий вывод содержит соображения, относящиеся к обоснованию канонического ансамбля (3.20) для равновесных систем с функцией распределения, зависящей только от Н, т. е. вида (3.2). Выделим в теле два соседних малых макроскопических объема )те и )те, составляющих равновесные изолированные системы 5нь 5не. Энергию первой системы обозначим Нь второй — Не,.их функции распределения обозначим 1(Н1), 1(На), считая функцию 2" 36 системз члстиц и континггм [гл.
г 1(Н) одной и той же, так как обе системы состоят из наборов из одинакового типа частиц, отличающихся только числами Уь Уь Внутренние силы в системах предположим близкодействующнми (на расстояниях порядка размеров частиц), внешнее же поле— мало изменяющимся в пределах объемов Рь )гь Приведем теперь обе системы в контакт по некоторой общей границе объемов. Обозначим Н энергию объединенной системы и 1(Н) — ее ~функцию распределения. Поскольку линейные размеры областей, занятых 5ль 5ль предполагаются весьма большими сравнительно с диаметрами частиц и оба числа Хь У2~1, то в окрестности общей границы контакта систем окажется относительно малое число частиц и потому энергия Н объединенной системы в силу названных выше условий, наложенных на силы, будет мало отличаться от суммы Н,+Ня (энергия взаимодействия систем на границе будет мала сравнительно с Нь Н,).
Рассматриваемые системы являются слабо взаимодействующими, события, происходящие в них, почти независимыми. Поэтому вероятность состояния объединенной системы с энергией Н=Н, +Н, приближенно равна произведению вероятностей состояний системы 5х с энергией Н1 и системы 5„~-, с энергией Н,: 1(Н) =.1(Н,)1(н,), Н вЂ” Н,—,-Н, Единственным решением этого функционального уравнения относительно функции 1(Н) является выражение (3.20), называемое еще каноническим распределением Гиббса.
Действительно, возьмем вторую смешанную частную производную д'/дН,дН2 от логарифма правой и левой части равенства (3.23); получим У 1 ~(Н) У 1п~(Н) д'1а((НВ ~ д'1Я((НВ дН~ дН. дН' дНг дН, ' дНг дНз Следовательно, — 1п ~ (Н) =- С„!п ~ (Н) = С, Н чь С, дН Сравнивая последнее уравнение с (3.22), находим постоянные 1 Е С,=- — —, С,= — —, ЙТ ЬТ и наше утверждение доказано.
Существу1от и другие методы, поясни(ощие правильность канонического распределения (3.20) для равновесных систем с близкодействующимп межчастнчными силами. Но их мы рассматривать не будем. Одна из основных задач статистической термодинамики состоит в нахождении уравненпй состояния тела, т. е.
связей между внешними силами Р, и внешними параметрами р„п температурой Термодинамика оимннутых ривновееных еиегем Т, а также в определении энтропии 5. Покажем, что если свободная энергия нзвестна,как функция р, и Т, т. е. ф=ф(р, Т), где, как и прежде, р — совокупность (рь рм ... р„...), то уравнения состояния и энтропия вполне определены. Для этого перепишем уравнения (3.12), (3.15), выражающие два основных закона термодинамики, в виде бй =- У Р„бр, + бф г (3.24) ТЬБ = Ь'О и используем их следствие ЬН вЂ” ТЬЬ = ~',Р,бр,.
l Внося в это уравнение выражение бй, вытекающее нз (3.21), ЬН =- бф+ ТЬЬ+ БЬТ, получим основное термодипамическое соотношение Ьф+ габт =- ~Р,Ь|.„. е (3.25) Отсюда получаем выражение для энтропии и уравнения состояния системы: 5= — ~, Р,= —" (г=1,2,3, ...). (3.2б) дт дие что при р„=сопз1 следует из (3.24); при этом и» обозначает массу системы. На основании (3.21), (3.26) получаем Мнс„= Т вЂ” = — Т вЂ” '.
де4 (3.27) дт дт' Итак, основная задача сводится к определению свободной энергии ф(1е, Т) по заданной функции Гамильтона (энергии) системы Н(р, 7, н) и для конкретных физических сред это,почти всегда очень трудная задача. Выражение ф через Н в виде функции интеграла состояний 2(1х, Т), определяемого интегралом по всей фазовой области Г формулой Теплоемкостыо системы прн постоянных значениях парамет-- ров р, называется количество тепла, необходимое для нагревания единицы ее массы на один градус Кельвипа б'Я 1 дН си м бт и дт 38 1Г. Ц СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ НЬд,а2 Л(р, Т) = е ' г(рг(1), (3.28) находится просто из условия (3.3) нормировки функции г' (3.20) и — ч ) е 2(рг(о=е Л=-1. г Отсюда Интеграл состояний представляется в виде произведения двух ин- тегралов: одного — по области Гч от функции, зависящей только от д, который обозначим им.ю 2 0(р, Т) = () е 2й1) г, (3.30) и интеграла ЗТТ т'(Т) = ( е ' 'г(р, г (3.31) причем, конечно, ~~'2 ~'(Ч1 ~'(')2 ' ' ' (ТВФ т(р= г(рзйр ...
т(р„, и= 31У. Обычно предполагается, что область Гу изменения импульсов бесконечна, т. е. каждый импульс р1 изменяется от — оо до +со. Поэтому интеграл Т (3.31) представляет произведение и=312' интегралов вида 2 Рз т'1(Т)= ) е 'Ат"'т т)р = 7г2пИТл21, ф(р, Т) = ' — еТ1п2(р, Т). (3.29) Но вычисление интеграла состояний (3.28) для конкретных заданных физических сред всегда крайне сложно. Большие трудности представляет и составление выражения. функции Гамильтона Н. Для простых систем, т. е.
состоящих из частиц, которые достаточно точно представимы материальными точками, выражение интеграла 2 (3.28) несколько упрощается, так как для них з -зи и= ~)' " +и(д,„). 2И1 Термодинамика замкнутых ровновеснык систем т. е. равен г м зу 1(Т) = (2п1гТ) $егс П тз = (В,Т), (3.32) г=! где П вЂ” знак произведения, В~ — константа системы, зависящая только от масс частиц. Таким образом, зм Л((г, Т)= '(В Т0(р, Т)1 ' (3.33) н потому для простых систем согласно (3.29), (3.21), (3.26) гр =- — — ЫйТ (!и Т + 1п 0(р', Т) .,'— 1п 2яй В,1, 2 (3.34) Н =- гр — Т дгр дт ззг г l" 1У ~ гтгг = 1 с(гггс(ггзгтг1з ° . с(г1зм = (( с(ггг гг1ггз сМз) г г так как в произведении йг1 каждое последовательно одно за другим расположенное произведение трех дифференциалов декартовых координат различных точек образует дифференциал объема сЛ/ с("' = с1Чг с(с1з с(т1з = с(Чь с(с(ь с(Чь = и все координаты изменяются в пределах всего объема К Следо- вательно, з )с з (3.35) причем гг='ьт — единственный внешний параметр системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
