А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Некоторым вопросам взаимосвязи трех наук: аналитической механики, стати- стической механики и МСС вЂ” посвящена зта глава. $ 1. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОИ МЕХАНИКИ Рассмотрим свободную от связей систему У=п/3 материальных точек, обладающую, следовательно, и=3)ч' степенями свободы. Прямоугольные декартовы координаты любой й-той.точки обозначим Г~ = (хвн — ги хвх — ! хвх), ти(х! = — тизл — т =- тизн — ! = кчв! ее масса Движение системы определяется законом Ньютона: т! — '" =К! (1=1,2, ...,и) йи (1,1) и непотенциальной г'!. Функцией Лагранжа системы называется Е(х, х, 1) = — К (х) — У(х, (), в ъ-~ ! — х., 2 (1.3) где К вЂ” кинетическая энергия системы.
Уравнения (1.1) можно переписать в виде уравнений Лагранжа 2-го рода: — — 2! — — =Р! (!'= 1, 2,...,п). и l д!. Ч дс. ат ~ дх! т' дх! (1.4) Внутренние силы (взаимодействня частиц) х; предполагаем цент- ральными и имеющими потенциал ср(х, 1), внешние же — частич- но потенциальными: ю' 5"! =,— — + р!. дх; Пусть сила 9 с= — (т !"!-,".т с, состоящая нз сил взаимодействия с другими точками системы ст!' н с внешним полем — 97, складывается из потен-- циальной Ут, =- — —, (/ =-(т(х„..., х„,1) ж 0(х, т) (1.2) д»с СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КО»ПИНУУМ Переписывая (1.1) в векторной форме т(»!г, =У!»>+У!»! = Я !»! (й = 1, 2, ...,)У) (1.5) и суммируя (1.5) по всем й, получим теорему о движении центра масс системы Мтс = У', (1.6) где М=Хгл!»! — масса системы,У' — главный вектор всех внешних сил, 㻠— радиус-вектор й-той точки, гс — радиус-вектор центра масс: хт! р» Г с Внутренние силы в (1.6) сократились вследствие равенства действия и противодействия каждой пары частиц.
Умножим каждое уравнение (1.5) векторно на соответствующий гм Замечая, что и учитывая свойство внутренних сил, после сложения всех полу- ченных уравнений найдем е!о е — = Г.', ей (1.8) где 6 — кинетический момент системы, б — главный момент всех внешних сил А' се =' ~ г» Х т!»!о», о» = г», »=! Л'= Хг» х У!»!. (1.9) Уравнение (1.8) представляет теорему о кинетическом моменте нли о моменте количества движения. Функция Лагранжа полностью характеризует рассматриваемую нами систему в отношении снл взаимодействия между частицами и потенциальных снл, действующих на них со стороны внешнего поля.
Поэтому составление выражения функции Лагранжа представляет основную задачу механики системы. Все необходимые дифференциальные уравнения движения находятся форьчальпо из уравнений Лагранжа (1.4). Основы аналитической механики Введем новые переменные — импульсы и координаты: р,=тпсхс, д!=х;; тогда л дУ ~!а дч! (1.10) Легко видеть, что р! = †. (Е = 1, 2, ..., п). дд! Функцией Гамильтона, зависящей от координат !1! и импульсов рь называется (1.12) 1;(х„х,,...,х,,) = 0 (1'=1,2, ...,п,— п).
Тогда я-ч дх! х; = у — !!1а, 1=1,2, ...,п, (1.1З) дч е=! х! — Х! И! ° ° Чл) и потому получим л, и!х! '2 е=! !'=! л, м' ! да! да! 1=! (1,14) При этом предполагается, что система п уравнений (1.11) разрешена относительно е)! и эти выражения подставлены в функцию Лагранжа и первую сумму формулы (1.12).
В случае декартовых координат построение функции Гамильтона системы является элементарным. Более удобными для анализа динамики систем сложных частиц, состоящих из двух и более атомов, являются криволинейные координаты. Пусть п=ЗН независимых криволинейных координат (называемых также лагранжевыми координатами) опреде.чяют все декартовы хь число которых п!>и вследствие существования конечных склерономных связей (например, постоянства расстояний между парами): 12 снстемл члстнц н контннгим 1г.
Д Следовательно, кинетическая энергия остается квадратичной однородной функцией скоростей д!, но коэффициенты йп зависят от координат д!. Обобщенные непотенциальные силы Щ, соответствующие координатам д!, находятся из тождественности выражения виртуальной работы в декартовой н криволинейной системе координат л, л л !) ' Р„бх = ~)„9,бд„бил = — !1' — лл б!1!, и л= ! 8=! !=-! л л, и '1~' ~,У "" бО,. = '~'(Ч ~,— ")бд, =-'~',Ц!бдо л=!;=-! !=! л=! ! =1 откуда находим и, ()!=-У~,ф. л =-! 'Можно доказать, что уравнения Лагранжа (1.4) прп замене координат сохраняют прежний вид — — — — 1. = 1. (г)о д, () = У~ — К (1.16) д гдг.
х аг. д! ~де! ) ди Построение функции Гамильтона. функция Лагранжа Е=Е(д, д, !) уже выражена через координаты д! и скорости д!. Назовем обобщенным импульсом, соответствующим координате Ч!, величину — й,) (! 1,2. „) (11у) аг- ак ч-, дЧ! дП у=! При построении функции Гамильтона Н переменные дь р! принимаются за новые независимые между собой искомые функции времени (2п функций от Г). По определению Н (д, д, !) н свойству однородных квадратичных форм' с учетом (1.16) получим функцию Гамильтона системы, выраженную через обобщенные координаты, импульсы и время л Н = Н(р, д, () = ~ р;!!, — т. = — г(+ и(д, Г), (1.16) !=1 где К выражается явно с помощью матрицы !г!!ч обратной Й;;: л 'Г! дК ! ~ р!д! = ~„— д! = гк. дд! е !'! Основм анолитнкесной механики '0 л '),'й,.й,.=бн==~ '~!; ж= ~ ЪнР,Ру (1.10) т=! !.!=.1 (би называется символом Кронекера).
Теперь и уравнений Лагранжа (!.!6), определяющих координаты и представляющих каждое — дифференциальное уравнение второго порядка по времени, можно привести к системе 2п уравнений первого порядка для Гм и р! (при !и! 0): дН дН !/! = —, р,. = — — (! = — 1, 2„..., п). де! дй! Эта система 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по г, разрешенная относительно первых производных от координат и импульсов, называется уравнениями Гамильтона. Найдем полную производную по времени от функции Гамильтона l дН . дН дН йН= !' — р,.+ — '/!+ — ~й/. ~до! ' до! ' ' д! У' На основании (1.20) имеем дН дН д! д! Рассматриваемая нами система называется консервативной, если силы взаимодействия между частицами и силы внешнего поля имеют потенциал, не зависящий явно от времени: (/=(/(!/).
В этом случае (/ представляет потенциальную энергию системы и согласно (1.18) Н(р, !/) — полную энергию, причем дН/д/=0. На основании (1.21) получаем закон еохранепия энергии; Н = К+(/=Е =-сопи!. (1.22) В декартовых ортогональных координатах для консервативных систем этот закон имеет выражение Н = У.— р; '+ С(д) = Е = сопи(. (1.23) ! и!! [=-! Уравнения Гамильтона (1.20) дают повод рассмотреть некоторый класс функций Др, !/, г), удовлетворяющих уравнению в частных производных 1-го порядка '. л !=! ' Это уравнение играет фундаментальную роль в статистической механике.
й г1 0 статистическом описании систем Отметим, что па концах траекторий сравнения (1 г', 1=1а) только вариации координат бд=тр обращаются в нуль, а их скорости могут быть отличны от нуля. 5 2. О СТАТИСТИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ Обозначим Зтт замкнутую систему из большого числа У фиксированных частиц, определяемых п)ЗтУ лагранжевыми координатами дт и импульсами р;(т=1, 2, ..., п). При п=Зттт каждая частица представляет свободную материальную точку и в этом случае система Ятт называется простой. При тт>Зйт некоторые или все частицы имеют более трех степеней свободы, т. е.
обладают сложной структурой и внутренними степенями свободы. Например, одноатомный газ с хорошей точностью представляет простую систему; газ, состоящий из двухатомных молекул, представляет простую систему молекул только при небольшой плотности, а точнее— сложную систему, в которой каждая частица (молекула), кроме трех поступательных степеней свободы имеет, например, еще две вращательные (тт=бтт), т. е. моделируется двумя скрепленными на некотором расстоянии точечными массами и т. д. Для простоты мы не рассматриваем в главе 1 так называемых открытых систем, в которых число частиц и их структура могут изменяться с течением времени (при структурных превращениях, изменениях агрегатного состояния и т.
п.). Допустим, что наша замкнутая система Зтт заключена в некотором неизменном объеме (т, ограниченном непроницаемой для частиц и отражающей их неподвижной поверхностью. Не уточняя характера взаимодействия частиц с поверхностью, допустим, что оио определяется некоторым потенциалом, действующим на частицы (отталкивающим) только на расстояниях порядка диаметра частиц. Пусть система 5л консервативна, силы взаимодействия ее частиц определяются потенциалом У'( тть дт, ..., д„), силы внешнего поля — потенциалом т т', потенциальная энергия Ън ц (т'+ це (2.1) Потенциал 0' зависит от координат дс системы и «координат» внешних тел 1ти, раоположенных вне объема )т и взаимодействующих с Зл; иначе говоря, потенциал Уе, кроме координат дт определяется некоторым количеством постоянных параметров )ть.
Пусть г(х', хэ, х') — радиус-вектор любой точки объема У и уравнение поверхности, ограничивающей объем )т, пусть будет (2.2) Р(хт, х', хм) = Р(г) = О, ~Гл. г . 16 СИСТГМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ причем для точек г, лежащих внутри )л пусть Р(г)(0. Вследствие существования связи между декартовыми и криволинейными координатами д; частиц условие непроницаемости поверхности (2.2) для частиц приводит к некоторым неравенствам, ограничивающим изменение координат д; и задающим область Г: Р,(,)) < О, (1 =- 1, 2, ...). (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
