А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(2.26). Система функций !н (2.26) называется полным интегралом уравнения Лиувилля (2.23), причем любая функция от всех 1и является решением уравнения (2.23), т. е. (2.27) есть общее решение уравнения Лиувилля. В действительности решения (2:25) нам неизвестны. Для каждой системы ансамбля Ял заключенной в объеме )т, из аналнти(а1 = — — Р.+ — д ~„~ — р; + — д;) = О, (2.22) и/ д7 . д7 ч 1 г д7 д7 дГ др дЧ ~, дрт ' дя; е=! или в силу закона движения (2.10) др до д( дН д7 Ш дч др др дд дН дт 1 дН дс ) 0 (2 23) ) дае дрс дрт дяс / с=-и [гя. т, СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ ческой механики нам известны только семь первых интегралов ти- па (2.26): интеграл энергии Н(р, д) = Е!"' = Сопз(ею (2.28) и два векторных интеграла: интеграл количества движения и ин- теграл момента количества движения (9 1), для простых систем имеющие вид Я = ~» р; =- Я! ! =- Сопз1!"!, 6=')" !); х р.
=6" =аопз1! ), т (2.29) Практически можно рассчитывать, найти (2.27) только в виде функции этих интегралов 7 =- 7(Н, 6, 6). (2.30) ЗА! Н(р, !)) = К+ 6, К = — ~~1 йтр!р;; (2.31) изменяются также выражения Я и 6. Для простоты в дальнейшем будем считать интегралы (2.29) несущественными. Если система ом заключена в неподвижном объеме )т, то 9=0; при некоторых слабых ограничениях на внешний потенциал !/" и на систему отсчеза ( х', хт, х') можно сделать пренебрежимо малым и момент .количества движения в подвижной системе, придав ей вращение вокруг центра масс; особенно просто это достигается за счет выбора очень малого объема )т. Практически вся равновесная термодинамика системы ЗА, состоящей из материальных точек, построена в предположении, что плотность вероятности некоторого состояния системы является только функцией энергии ~ = 7 (Н).
(2.32) Ансамбль систем 9~~э!(а = 1, 2, ..., ~' )) 1) был получен как ''' д! Величины Я, 6 имеют вид (2.29) только для системы 5А!, в которой каждую частицу можно с достаточной точностью считать свободной материальной точкой; в противном случае д! будут не декартовыми, а криволинейными координатами и функция Гамиль'тона, т. е. полная энергия консервативной системы ЯА; будет равна (9 1) О статистическом описании систем набор состояний системы 5н, наблюдаемых в течение времени т<та в интервале 1»~1(йо+тз при фиксированных физических условиях Ф. Вследствие малости тз сравнительно с очень малым макроскопическим приращением времени Ж~тв ансамбль 5>й' состояний системы 5н можно рассматривать как истинное макроскопическое состояние системы 5н в момент то. Действительно, мы 'тз могли бы в мыслимом опыте взять А = — )) 1 одинаковых си- Л> стем при одинаковых макроскопических физических условиях Ф и, включив в момент гр одновременно А регистрирующих приборов, получить А состояний (систем 5н >, (а = 1, 2,..., А).
Если ошибка «одновременности» включения приборов будет порядка тз, то, очевидно, сфотографированный ансамбль Яюй> совпадает с ранее найденным 5>>",~ в том смысле, что функция распределения 1(р, >)) системы по ансамблю совпадает с ранее найденной Ь, й) = ) (р, й). (2.33) Средним значением любой данной функции У(р, >)) по ансамблю 5~й> называется ("т (р, >))) =)5> (р, >))г(р, й)йрйа (234) г Таким образом, среднее по ансамблю (К> является математическим ожиданием У(р, д) при плотности вероятности )(р, >1). По построению средней по времени У (2.14) и средней по ансамблю (У> (2.34) кажется почти очевидным утверждение, называемое' эргодической' гипотезой: средние по времени и по ансамбл>о совладают: >,+тз У= — ' ~ К(р,д)йрЬ|=(К) =~5г(р, д)Др, а)йрй>).
(2.33) >~ г Эргодическая гипотеза является фундаментальным положением статистической механики. Для некоторых частных видов потенциалов взаимодействия частиц системы и условий Ф (т. е. некоторых физических сред) она строго доказана и называется зргодической теоремой. Допустим теперь, что физические условия Ф и постоянные пара >егры 1>, входящие в потенциал внешних сил (координаты внешних тел) и определяющие границу Гч, очень медленно изменяются при,переходе от момента 1=1« к моменту 1»+ "гю, причем так, что и в момент 1о и в момент (ю+Жо ансамбли равновесны и существуют функции распределения системы 5н по ансамблям, наблюдаемым 24 систвмл члстип и континхгм гю.
д в макромомент (ю и мнкромомент 10+На. Эти два ансамбля различны вследствие различия условий Ф и параметров р на величины порядка г((ь (если допустить, что определяющие их функции удовлетворяют условию Липшнца), значит, различны и функции распределения ())с н Щ,~ и,. Понятия ансамбля и функции ), как видно из предыдущего, физически бессмысленны, если время интервала для их определения меньше тз. Но можно рассмотреть функцию 1(1; р, д), непрерывную по Г и совпадающую с истинными значениями 1(р, д) на допустимых интервалах ее определения.
Поскольку конкретная система 5ф' ансамбля и моменты Г и 1+с(1 существует с равной вероятностью, то ?(à —, (1, р(1 (1), р((ч- ~1)) — ?(1 р(1) р(1)) — О Отсюда получаем д? д?, д?, д? — св — + р — -'; а — = О. Ш дГ др дч Учитывая уравнения Гамильтона (2.10), подробнее перепишем это уравнение в виде д) д? дН д?, дН д? д? ~Ч ( дН д? дГ дГ дд др ' др дч дГ Ь1~ дег дю ю=! дН д? ~ 0 (2.36) др; дги 1 Уравнения характеристик для (2.36) точно совпадают с (2.24), но теперь 1 уже не произвольный параметр (как это было для уравнения (2.23) ), а физическое время. Функция )(г, р, а), удовлетворяющая уравнению (2.36), называется плотностью вероятности распределения системы по ансамблю для неравновесных (квазиравновесных) процессов. Уравнение (2.36) также называется уравнением Лиувилля.
Для функции )(г, р, д) сохраняются нормировка (2.19), ее завлсимость только от интегралов движения ?ь..., ?е (2.2?), определение средних по ансамблю (2.34) и эргодическая гипотеза (2.35). Естественно, что средние по ансамблю теперь становятся функциями времени (~) =- У(1), (2.3?) так как и сами г(6 р, д) и )'(6 р, д) зависят от б Важно подчеркнуть, что средние ло ансамблю различных функций У(Г, р, а), например среднее значение координаты дь т.
е. (д;), среднее значение импульса (рг>, кинетической энергии (К(рь Ф) ) и т. д. будут действительно наблюдаемыми величинами если интервал времени наблюдения больше тв п если изменения 1(г, р, д), ь 1 У()", р, д) физических условий Ф н параметров )( за время порядка тв пренебрежимо малы.
В статистической механике существенно используется свойство граничных условий: вероятность выхода частиц системы Ен на границу области Г Гя+Гд равна нул)о, т. е. 1(1, р, д) равна нулю, если хотя бы одна координата д; или импульс р; принимает .граничное значение (р,=+со на границе области Г„нлп д; выходит на границу области Гч); кратко это записывается так: )(1, р, д)у 0 па границе области Г.
(2.38) Приведем некоторые употребительные понятия и терминологию. Движение конкретной системы Я~й) (а — фиксировано) прп определенных начальных условиях (2.11) определяется 2п функциями времени: р(((), д;(1), которые называют координатами 2п-мерного фазового пространства Ег,, при )=), начальяые условия рь("), ды") дают точку этого пространства, которая при 1)1ь с возрастанием 1 движется, образуя траекторию движения систем Вн .
(а) Если система равновесна, т. е. ансамбль систех(5н неизменен (а) и его функция распределения 1(р, д) стационарна (явно не зависит от (), то траектория каждой системы Бн ансамбля остается (а! неизменной в Ет„, граница области 1' определения ансамбля остается неподвижной и, значит, траектория замкнута, система по ней совершает циклическое движение.
Так как движение каждой ,системы он однозначно по времени (задача аналитической ме(а) ханики при заданных начальных условиях имеет единственное решение, кроме особых случаев), то траектории различных систем ансамбля не пересекаются и не сливаются, всюду плотно заполняя область Г; плотность систем ансамбля А1(р, д) остается постоянной вдоль траектории, число систем ансамбля, заключенных в неподвижной подобласти Г'Е Г, равно ~ А, ((р с(д = А ~ ~ (р, д) с(р г(д и постоянно во времени.
Произведение ((р()д называется элементарным фазовым объемом в точке (р, д) с Ех„. При неравновесных процессах картина усложняется, так как в каждой точке пространства Е2 с изменением времени происходят изменения состояния, граница области Г сушествовання ансамбля движется и изменяется. В МСС молекулярные механизмы процессов в средах не рассматриваются и все уравнения н законы строятся аксноматически с использованием макроскопических опытов. Но статистические трактовки и обоснования необходимы для понимания физическо- 1г, и систвмк чкстиц и континггм го смысла термодинамических параметров, функций, законов, для получения исходной информации о возможных видах уравнений состояния и т. п. Поэтому для МСС особенно важны те следствия введенных выше понятий, определений и уравнений Лиувилля (2.36), которые справедливы при самых общих предположениях относительно граничных условий, потенциалов, физических условий Ф и функции распределения.
Плотность массы, скорость движения и закон сохранения массы простой системы. Изложенный статистический подход к описанию движения системы при некоторых существенных дополнительных определениях и условиях в принципе позволяет получить из уравнения Лиувилля важные для МСС законы неравновесного и неоднородного в пространстве движения системы 5» как сплошной среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
