А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. линия, определяемая дифференциальным уравне- нием йс = о(к, 8)й)., — ' = — '= — ' = сР., (7.41) с1 сь сз где Л вЂ” параметр. Решение этого уравнения х =У(х„, х, г); х; =-~,(х„х, с) (1= 1, 2, 3) (7.42) р о тс(Х = ~ роя йВ, у где т — нормаль, от=о, — нормальная составляющая скорости о, с(Х вЂ” элемент площади поверхности. Вектор скорости о лежит на поверхности трубки тока, и потому поток массы среды внутрь трубки равен нулю. Рассмотрим в фиксированный момент г внутри области движения среды произвольный объем )г, ограниченный замкнутой поверхностью Х, Проинтегрируем по )У умножен1юе на й'у'=ох,йхгс(ха уравнение (7.36); получим — (ро,) йр = — ~ — йр.
д сдр дм ',) дг Р Но по формуле Грина — Остроградского — (' УА~ Мч А г(Р— 1 — ' с(о = ~ А т с(В. д дАТ У е (7.43) является параметрическим уравнением линии тока. Если в момент г=сопз1 рассмотреть какую-нибудь линию х,=ср(1А), то из (7.42) получим х=7(р, й), т. е. уравнение поверхности. Если линия хе=~у(р) замкнута, то поверхность х=1()А, А) называется трубкой тока. Потоком массы среды через любую поверхность У называется секундный расход Малые и бесконечно малые деформации Ф т) Следовательно, (7.44~ т.
е. поток массы через любую замкнутую (иеподвижную или движущуюся) повсрхность В равен секундному ее изменению в объеме )е с обратным знаком. Из определения вектора вихря Й (7.32) следует — дпй б1ч(з = — '= О. дтч (?.45) Внося ье вместо А в (7.43), получим теорему Стокса (7.46) т. е. поток вихря через любую замкнутую поверхность равен нулю. Если У вЂ” незамкнутая поверхность, ограниченная замкнутым контуром Ь, то поток вихря через ет равен интегралу по т от Ячеек.
Но для любого вектора В по формуле Стокса ) го(В а= (ВИ, у ь (7.47) где Ю обозначает вектор-элемент длины дуги контура 7.; выраже'ние, стоящее в правой части (7.47), называется циркуляцией вектора В по Ь. Полагая В=о, получим ~Йч"~= д осЖтГ, т, е. еще одну теорему Стокса: поток вихря через незамкнутую поверхность Х равен йиркуляции Г вектора скорости по ограничивающему т контуру 7.. Отметим еще важное для дальнейшего свойство интегралов от различных функций ер(х, г) по объему Уе фиксированной массы среды, т. е. ограниченному замкнутой поверхностью Ее, состоящему нз неизменных физических частиц. Найдем полную производную по времени от интеграла 1 = ) ер(х, г) р (х, т) й)т.
(?.49) (7.48) Так как область интегрирования в (7.49) меняется со временем, .то на основании закона движения частиц х=х(х, е) преобразуем / к лагранжевым координатам; тогда получим из условия сохра- нения массы физической частицы р сЛ~ = о (х, с) с(хс с(хе с(ха =- ре сЛ'Р '= ре (х) с(хсс(хе с(хз и на основании закона движения ср(х, г) = )((х, 1). Область изменения х для фиксированной массы нс изменяется со временем; обозначая ее (се, получим 1 = ) рсрЛ'== ~)((х, ()о,(х) с()'„ и, следовательно, дХ(х, С) Переходя обратно от х к х(х, с) и учитывая, что для неизменной частицы дх(А, с) дч (х, с) получим — ~ср(х, ()р(х, ()с()с = ~ е ' р(х, ()сЛс. У (7.50) Если объем (с н граница области Х фиксированы и неизменны в эйлсРовом ПРостРанстве, то обозначаЯ их (сс, Хс, полУчим конечно, й 8.
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ Основная идея теории внутренних сил в МСС уже изложена в $4. Мысленно выделим в некоторой точке М(х) среды в деформированном состоянии бесконечно малый тетраэдр МАВС (рис.8.1), основные ребра которого МА, МВ и МС колинеарны вектораи репера эь эм э,; в недеформироваппом состоянии репер э; совпадал с еь 90 кинечАтикА и ВнутРенние нАпРяжения (гл. и, Теиэор напряжении Обозначим площадь треугольника МВС через — с(Х, треуголь! 2 ника МАС вЂ” через — ИЕЯ, треугольника МА — через — с!а, а треу- 1 8 2 2 гольника АВС вЂ” через — с(Е». Единичные векторы нормалей площадок 1 2 е(2", очевидно, колинеарны векторам в" (а = 1, 2, 3).
Величина этих площадок определяется через начальные 112 с( 2 = — е(ха с(хт 2 соотношениями (6.27) (В~ = )/дд~~ (~к~. (8.1) Напомним, что по греческим индексам суммирование не происходит. Вектор- площадь треугольника АВС подсчитывается по формуле (6.32): с(Х». » = )/йс !1Всэс, (8.2) яе где ч — единичный вектор внешней нормали к площадке АВС: у=уса =и Эс, Эс =эссИ Эса эс йссс (8.3). причем т! — ковариантные, т' — контравариантные компоненты т. Рпс.
8.1 Из формул (8.1) и (8.2) находятся выражения с(Х" через с(Х» нж асти, '1/~па ч <1Я» (8.4) Как установлено в $4, взйимодсйствне рассматриваемой памп -астнцы-тетраэдра с окружающей средой реализуется за счст векторов внутрснннх снл, действующих по граням, с точностью до малых порядка )ах), равномерно по нпм распределенных. На каждую из площадок с!В действует поверхностная сила плотности а на площадку асХ» — поверхностная сила плотности Р!'!. Эти векторы называются векторажи внутренних напряжений. С точностью до малых высшего порядка, силы, действующие по граням тстраэдра, равны: — Р!и! г(Хи — ' 0( ~ асх !э) (а = — 1, 2, 3) (ч.б) 92 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ (Гз.
П, (Мы здесь учли, что векторы внешней нормали к площадкам йХа направлены в обратную сторону по отношению к векторам э ). Очевидно, элементарный объем тетраэдра дГ = — дХ" Ь, где й— 1 з величина перпендикуляра, опущенного из точки М иа йХ'. Учитывая еще равенства (8.4), (8.5), получим на основании принципа Даламбера (8.6') причем слагаемое порядка Й учитывает силу инерции и массовую силу Г, действующие на частицу.
Сокращая на йХ' и устремляя Ь-+.О вместе с (йх ~, получим условие равновесия бесконечно мало- го тетраэдра: р(з) ),тазг р()), )ст зз р(г) „( )/~зз р(з)т — 1)с ~/йсст р(ц(т Э) (8.6) Эта очень важная формула называется выражением вектора истинного напряжения на косой площадке с нормалью т через основныс координатные векторы напряжений. Она доказывает, что вектор внутреннего напряжения Р(' на площадке с нормалью т является линейной функцией т с коэффициентами, не зависящими от т. Формула (8.6) справедлива как для внутренних площадок йг,', так и для площадок, расположенныж на границе Х области движения среды; из закона равенства действия и противодействия заданная на границе тела сила Р, „равна Р('), имеющей выраже(з) ние (8.6): Естественно, что Рв еми может быть любой функцией координат и (з) нормали т на Х.
Тензор напреееений Обозначим векторы, называемые основными контравариантпыми векторами напряжения: 5( )/~п Р(') 5е )/ ее р(2) 5а >/~из р(з> (8.7) Как видим, векторы 5" не зависят от т и отличаются от векторов истинных напряжений, хоть и колинеарны иы, так как д"" ~1 при всевозможных значениях 1. Из (8.6) с помощью новых обозначений получим роя=5(, =5от а.
Р(ю ( 5а з"'е> (88) (8.9) т(.> )/ (Р( >)е (Лч >) . (8.11) Так как в (8.7) множитель )/д"'" при Р('> а, то выражение Р"> в репере а; Р(а) — Р(а!) з различен для разных (8.12) приводит к объекту Р(п), не являющемуся тензором.
Тензор 50 симметричен, поскольку приложенные к частице внешние (массовые) силы дают момент относительно центра частицы, явля>ощийся величиной, малой более высокого порядка сравнительно с бесконечно малым объемом е(*т'. Обычно рассматриваемые в механике силы, как уже указывалось ранее, обладают этим свойством. Доказательство симметрии компонснт 50 следует из уравнения моментов для параллелепипеда (рис. 8.2), если учесть, что при этом вектор 5' мы представили в репере з; 5( 5лз, 3 Нормальная составляющая вектора Р('> на площадке ((Х" является скалярной величиной и с учетом (8.3) имеет значение й((н) .„Р(н) 5е>,, з 5л.„„ >' (8.10) Поскольку т — вектор и Л((н> — скаляр, то из (8.10) следует (по обратному признаку тензора), что 5п представляют контравариантные компоненты тензора напряжений 5.
Касательная составляющая Р('> равна 94 кинел>АтикА и ВнутРенние нАпРяжЕния <Гз. 11, момент векторов сил Р< > <(Х", действующих по всем шести граням, должен ранняться нулю с точностью, включающей малые порядка <<'>>. Прн этом напряжения Р<"> следует считать равномерно распределенными по соответствующим граням и, значит, векторы .»> А~' р г г> з1 Рис. 8,2 Р<ч> <(~'" — приложенными в центрах граней параллелограмов. Иапример, вектор р<з>(Хз приложен в точке с координатой (отно- 1 сительно М) г,= — (эз«х'т эз«х ) на нижней площадке «Х' и 2 равный ему (с точностью до малых высшего порядка) — в точке 1 с координатой гз = — (эз<(хз —,' эз<(хз) + э,<(хз — на верхней «Хз.
2 С точностью до малых высшего порядка момент сил, действующих по нижней и верхней граням <<Хз равен <р<з> (тз .'1 (р<з> ~тз . 1 <р<з> (.' . )1 <гз =- (р<" „) « 'ы. (8.13) Чо <>Хз = 1/д3' йзз«хг<(хз и потому, учитывая(8.7) и (8.9), получаем э>з — — 1Я <(х> <(хз<(хз фз эз1 = а>Ю>1 (э<эз1. (8.14) Тензор напряжений 98 в 8] т = ((и' (5'1[в эз[ -4-5з) [э эз[ + 5з([э эз[) = (й'5П[э), в,) = О. (8.15) Учитывая„что [э(э)[ = — [э;э([, из (8.18) имеем (5)з 5м)эз 1 (5зз 5зз)в) 1 (5м 5гз)эз=О, (816) откуда и следуют условия симметрии 5О=5п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
