А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следовательно, его можно выразить через два первых инварианта группы (8.39) и записать в виде д Л' = ~) г о а' = — (о, -!- пг + о,) = и г (8.41) 1=1 (так как в главных осях касательные напряжения отсутствуют, т. е. о;;=О при 1~1). Это нормальное напряжение Ж=ег одинаково на всех восьми гранях октаэдра, т. е. как и в идеальных жидкостях, давление ( — о) одинаково по всем граням; но в произвольной среде на этих гранях кроме равномерного давления действует еще одинаковое по величине, но с различной ориентацией касательное напряжение т, называемое окгаэдрическим напряжением. Поскольку из (8.38) имеем на каждой грани октаэдра вектор напряжения Р~">, то 102 КПНЕМЛТИКЛ И ВНУТРЕННИЕ НЛПРЯЖШ!ИЯ ГГ3.
ЕП 1 1 1/= где через оц обозначены так называемые компоненты девиатора напряжений Вз. о. =о — об 33 33 (8.43) 33 33 32 ' 23 + 93' )33 2 .. 2 3' (8.44) ГДЕ таа НаЗЫВаЮтСЯ ГЛаВ~ЫЗП1 КаеатЕЛЬНЫМи НаПРЯжспиЯМи. ИХ физический смысл как экстремальных значений касательных напряжений оп (3чь)) будет выяснен. Эти напряжения равны полуразпостям главных напряжений: О3 — ОЗ Оз — О, ОЗ вЂ” О, т12 =' ., Тзз =, озз =" 2 2 2 (8.45) Третий инвариант дсвиатора бз равен ( он ! = озо2 оз„ где од — главныс компоненты .бз, выРажа3озциссЯ фоРмУлами (8.43): оз=оз — о, й=1,2,3. Девнатор 0В и его два основных инварианта о и о играют фундаментальную роль в МСС, так как отражают наиболее сушественпое отличие внутречпнх сил любой среды от подчиняющегося закону Паскаля давления в идеальной жидкости, которая может быть определена как среда, в которой о= — р, о— = О.
Рассмотрим в главных осях тснзора напряжений 5 произвольную площадку с нормалью п=пзе;з, причем через е;9 обозначим единичный репер главных осей. Вектор силы на ней имеет компоненты (8.37), причем оп=О (3~1), оп=о,, ом=ом озз=оз, .3(а) аа 33 = сапа еаь Его первый инвариант равен пулю, опбп=о3+оз+оз=О, второй называется квадратом модуля депиатора напряжений, так что мо- дуль о равен 108 Тензар нанрнзеений квадрат касательного напряжения, очевидно, равен з з тЗ ф~(н!' ф!н!е ~н 62ИЗ (%' б ИЗ)З с з=! з=! (8.46) причем з '~.' и' = 1.
з=! ИанРЯжениЯ бз в РассматРиваемой точке фиксиРованы, и мы можем найти экстремум т' по переменным из при указанном условии, 2 т. с. найти соответствующие направления и. Обозначим и! = х, из = у, из=-1 — х — у н перепишем (8.46) в виде = (о! 63) х + (62 63) У, 63 — [(бз б ) х г (бз Оз) У ! Оз1 (8.46') Условия экстремума дт' дт' д сз дне — = — =-0 и,— =и,— =0 дн1 днз дх ду дают два уравнения и! [Оз! — Оз — 2Л!!"! (Оз — аз)[ = О, и, [с, — бз — 2Л'!'! (а, — аз)1 = О, (8.47) где 4! — 'з (бз бз) Х+(бз бз) У + бз. (8 48) При о!=аз=аз величина Л!<н7, т. е.
х, у.остаются неопределенными, т=т а =0; такое состояние возможно в различных средах, по только нри особенно простых внешних воздействиях. При условии бз ~!"з-~бз (8.49) не ограничивающем общности рассмотрения, в (8.47) должны положить либо и!=О, либо из — — О, т. к. в противном случае получим противоречивые уравнения для Л!!н!, если только а,~бз. Прн изз — — У=О находим из (8.47) а,+6,— 2[(б,— аз)х+аз[ =О, откуда х = из = 0,5, из = 1 — из = 0,5, т. е. искомая площадка проходит через ось е„и расположена под углами 45 к е!з и ею.
1!а этой площадке согласно (8 46') 104 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ [тх м, т. е. Т=Т1з (8.45) является наибольшим касательным напряжением в рассматриваемой точке тела. Полагая теперь п21 =К=О и затем 2 пз =О, найдем, что два других экстремальных напряжения равны тзз, тз, (8.45) и действуют на площадках, делящих пополам углы между главными плоскостями (2, 3) и (1,3). Наибольшее касательное напряжение, равное ты=та„х прн условии (8.9), в других случаях будет наибольшим по модулю пз всех тьв (8.45): е та 2 Ттах (8.51) 1ааз Хая причем на основании выражений (8.45) г12 + таз + тз1 = О. Следовательно, — г = )/1 + аз + Ь', 2 причем (6~< ~а~<1, 1+а+Ь=О; при этих условиях, как легко видеть, число г заключено в границах 1 > ' > ы О 865 2 зУ 2 и, следовательно, положив г-0,878, мы можем допустить ошибку <7%, (8.52) т,„=- гпах т„а.
(8.50) Оно определяет наибольшую силу сдвига в среде и потому может приводить к разрушениям твердых тел, изменениям режимов течения жидкостей и газов и т. п. В МСС обычно находят не только закон движения и(х, 1) илн о(х, 1), но н компоненты тензора наПряжЕНИй П;;(Х, 1) ИЛИ Озт(Х, 1) И друГИЕ. НО дпя ВЫЧИСЛЕНИЯ Тз„х надо вычислйть главные напряжения он пз, оз и выбрать наибольшее из (8.45), что связано с решением и анализом корней кубического уравнения. Важным преимуществом обладает октаэдрическое напряжение Т„(8.42) или модуль девиатора а, имеющие про- СтЫЕ ВЫражЕНИя ЧЕРЕЗ П;; ИЛИ ПО И раВНОПраВНЫЕ С т,а„В ФИЗИКЕ явлений.
Причина такого равноправия в первую очередь состоит в том, что с точностью до почти постоянного множителя числа т„и тазах или о и т,ах равны между собой независимо от характера среды й процесса ее движения. Действительно, отношение, например, т„/тщах определяется дробью 2 2 2 тм+ззз+зз1 й а) Нанряхеения и деформации в произвольных координатах 105 Проведенный выше анализ напряжений в точке тела, не зависящих от систем координат, тождественно переносится на теорию деформаций и частично уже был сделан в $ 7, Например, главные сдвиги через главиыс удлинения выражаются формулами (8.45), если заменить буквы о на е и т на Т/2.
ф 9. НАП РЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМА ЦИ И В ПРОИЗВОЛЪНЫХ КООРДИНАТАХ Введем в эйлеровом пространстве наблюдателя криволинейную систему координат (ф), взаимно однозначно связанную с ортогональной декартовой системой координат (х' или х;): е)г= 7г(х, Х) = бз'(х, Х), х=х(е)', Х)ю ф(д', )ь), (9.1) где ) — некоторый параметр; базис дг и метрический тензор ее выражаются формулами %2(д) = 7едз (9.2) (РеДзм = бм е7 = Д~ енй (9.4) и любой заданный вектор х(х, 3,) =х(4, Х) (например, г илн гв) можем представить через его компоненты г= г;еге= теде, определяемые как функции (р формулами а'(7) = з ~'. ге = гР. = г' 7 ..
векторов базиса ц( представим, подобно (6.68), дат Если производные в виде дц; дег м „, м ТН Ч~н Гцен Е) уи = ТП,НЧ (9.5') и квадрат линейного элемента Ыха формулой дхя е), е(4е г(4! (9.3) Находим контравариантные метрический тензор ди и базис е)' по формулам 1..ы, КИНЕМЛТИКЛ П ВНУТРЕННИЕ НЛПРЯЖЕНИЯ то получим, подобно (6.71), 1 / дч!Л д!122 2 'х дЯУ дч! дчЛ )' (9.6) т. е. найдем уелх и у2! как функции координат !) и параметра Х. Различные системы криволинейных координат бывают удобны для решения частных задач МСС в зависимости от формы области, занятой телом, той или иной симметрии действующих внешних сил и т. п.
Например„для области, имеющей при любом 1 форму пилиндра, ограниченного перпендикулярными оси плоскостями, удобны цилиндрические координаты (», !р, г), связанные с радиусом вектором х, (х', х', хз) соотношениями: хх =гсоз!р, хх = гз1п<р, ха=.г, !)'=-г Ч'=!р Ч =з* г(хх = йх+ г22йр~+ Д22, Из (9.4) находим метрические тензоры: !72! = 1 922 = ~ !722 — 1 !7" = 6 (! Ф 1) после чего нз (9.6) находим символы Кристофеля; ,2 2 2 у!2.2 =ум 2=2; у!2 = ум = —, остальные у!!.л=у!1 = О.
(3) Г 2 !! п,л — бы в! = э! я2! В $8 введен основной тензор напряжений 5 с компонентами 5п в криволинейных лагран>кевых координатах х! (в точке х) и компонентами по, являющимися истинными напряжениями в точке х (оп=— о22, так как х22 х! — декартовы координаты); при этом точка х должна соответствовать х, т. е. х и х — связаны законом движения (5.4) х=х(х, !). Закон движения (5,4) запишем в виде х = х (х, 1) = !р(х, 1); х = х (х, г) =- Ф (х, г), (9.7) сохраняя прежние обозначения для соответствующих реперов и метрических тспзоров в! =, =.—,, а! =- —.—.— —. —.
(9.8). дх !1!р дх дх д!р д!р дх! дх! ' '! дх' дхт дх! дх 2, э' 91 Напряжения и деформации в произоольнах координатах 197 н Гнли Г„по формулам (6.71), (6.69) через метрический тень зор й;;. При этих условиях все результаты и формулы, полученные раисе, сохраняются. Для одной и той же физической точки тснзор напряжений 5 с компопснтамн он в эйлсровых декартовых координатах х' и компонентами Вн — в лаграпжсвых координатах х' (при 1>(ю, являющихся криволинейными) является одним н тем жс физическим объектом.
Это значит, что.па одной и той жс площадке с единичной нормалью т=п, представленной в реперах э; и еь 7=а, т,=нао и;=Псо (9.9) физические векторы нсгппных напряженки Р<7> (8.8) и Р<и1 (836), (8.37) тождественны: Ров =Рпеь= пни, с, = сель = Рии=У7 =ВН7;эр (9.10) Отсюда и были получены формулы (8.34), (8.35) ОН = Бп'" А,'„А„', Он = О и В,'„В~ (9.11) где теперь дх~ дйп в,' = —, =— дх' дцф дхт дхт ' (9.12) причем де7нудх~, так же как п А';, вычисляются из (9.7).
Все выписанные величины могут быть выражены как через х, так и через ер = х. В рассматриваемой физической точке (х), х=~р(х, 1) в момент Г новая криволинейная система координат (ц')„определяемая уравнением (9.1), имеет характеристики, даваемые формулами (9.1) — (9.6), причем сами координаты ф имеют значения аг = иг(х) =- д'(<р (х, 1)). (9.13) йт 17 (Х)7 = ~ 47 ! (/ 477 Направление нормали к координатной площадке, построенной на векторах (ььх)и = ~7и ь(ц" и (ь(х)в = дв ь(дв, определяется единичной нормалью ())7.. 108 КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ !гл.
ы, Все рассуждения начала $8 относительно представления тензора напряжений 5 на косой площадке с единичной нормалью», которую теперь обозначим Х: А=»=П, (9.14) можно повторить, но компоненты 5 в репере д; будут отличны от 5'~, он=а;; и других введенных в $ 8; обозначим контравариантные компоненты тензора 5 в репере д; через Я'~. Тогда формулы (8.9) для вектора истинного напряжения на площадке с нормалью у=Х псрепишутся в виде Ур(А1,— ф7 Я~ -- ф д. (9.15) где Х, =- Хд,.-ф.у,. —.чэи (9.16) Заметим, что при а=у=Х ковариантные компоненты их в реперах е„эь вь обозначаемые пь тч и Х, соответственно, различны, почему и приходится одну и ту же единичную нормаль обозначать различными буквами. Это относится ко всем векторным н тензорным величинам. После приобретения навыков при расчетах н выкладках необходимость различных обозначений отпадает. Физический смысл компонент (~' и Яи тензора 5 устанавливается формулами (9.15), так как Р<А! — физическая величина, обозначающая вектор истинного напряжения на единичной физической площадке с единичной нормалью Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
