А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е..как приращения внешних параметров, равны Уравнения сохранения энергии и баланса энтропии 125 У Н) тониан Н является функцией еп(1). Поэтому функциями еп(1) будут н коэффициенты уравнения Лиувилля для функции распределения 1: ду до ду, до ду О (11.З) д~ дд др др дч обращающейся в нуль на границе системы Вк. Следовательно, )— функция илн функционал еп(у), заданных на интервале (1е .1). Таким образом, согласно (11.2) внутренняя энергия и и энтропия э, вообще говоря, явля|отея функционалалси процесса, т. е. определяются дефорлгациялти еи(Р) и температурой Т(Г) на всем интервале (1е 1).
Это утверждение записывается в виде и = и(Т(1'), еи(Р), Щ, з =- з (Т(г'), еи (г'), р1от, (11.41 поскольку входящая в (!1.2) плотность р выражается через начальную ре и тензор деформации ($ 5). Для определенности отметим, что здесь и далее функционалом функции тр(у), заданной на интервале го~у(у, называется определенное прн с'=с число, зависящее не только от значения <р в момент г'=с, но от значений тр на всем или па частя интервала. Если кроме внешних параметров (Т,ем) и тепловых. потоков даны другие физические пдраметры ~ь 5е, ..., являющиеся функциями (х, 1) и существенно не изменяющие состав, массу и число частиц системы Зн, а только изменяющие внутренний потенциал ст', то в (11.4) правые части будет зависеть также от 5, что и отмечено (под р понимается совокупность всех рь -, )эь ".).
Утверждение, что фунмцпп состояния и, э, ... являются однозначными функционалами только внешних параметров Т, еи н параметров р не термомеханической природы, в МСС называется гипотезой макроскопической определииости системы. Если рассматриваются только механические п тепловые явле. ния в среде под действием сил и потоков тепла, то никаких других кроме макроскопнческих внутренних (Т) и внешних еи параметров частицы не дано, т, е. Т, еп образутог полную систелу параметров; они называются параметрами состояния только в том случае, если и и э являются их функциями, а не функционаламп более общего аида.
Термодинамическая гипотеза МСС о функциях и параметрах состояния утверждает, что всегда существует некоторый (н не один) полный набор независимых параметров состоянии р(ре, рь ... 126 физические законы и постановка задач мсс г>е»>, (11.5) ..., Р>,), таких, что внутренняя энергия и энтропия являются одно- значно>ли> функция.пи з> их паралиетров> и =- и (ро р„... Ра) = и (р), з — з(рм Р> ° Ре) ~з(Р) Обе указанные выше феноменологические термодинамические гипотезы пе противоречивы и пс тождественны.
Первая явш> ука- зывает перечень параметров тсрмодпнампчсской природы (Т, е„) для любой среды, от которых зависят и н,ч. Вторая утверждает, по всякая систетиа допускает яак»оскопи>евку>о реалмшаиию различ- ных процессов р(1) перехода л>обод систе>пы из с(н>ксировинного состояния Л(рл) в >1>иксированное состояние В(ри), так что >>н ив ив — ил — ( ди, зв — з,> .— — ( с(з (11.6) ий ил пе зависят от пугп перехода р(1) от ра до 1>и. Без трсбовапия о рсалпзацпп при>щнппально исключалась бы возможность опреде- ления числа п типа параметров р пз опыта. Применительно к конкретным телам трудности представления тсрмодинамнческпх функций в виде (11.4) связаны с определением функцпоналов и(Т, ео, р1, я(Т, е>„р), а главные трудности представления их в вн- ге (11,5) — в отыскании параметров р, которые суть также функ- ционалы Р ' Р [Т еи.
ан1о. (11.7) Существенно отмстить, что макроскоппчсское ускорение пере>>о носного движения системы — = ю может Г>ыть практически >>г как угодно велико. Оно,.однако, должно быть значительно мспьшс ао)>/ Л', где и — флюктуацпонная скорость атомов (молекул). зт— >()т — минимальный размер (сЛт — объел>) представительной ' системы 5к Ц 4). Папример, для газа прп нормальных условиях а)в Я 3) и — порядка 1 кл>1сек, рт сйт — порядка 10 ' сеа и, значит, 1 и> ~ >Т; а Ь' с()т, т.
е. (ю( '(10ы си>сека, г. е. допустимо уже 1О'о (д — ускорение силы тяжести на Земле). По в каждый момент 1 оно должно мало изменяться в пределах системы о» (частицы рИ'), т. е. в разных точках системы иметь значения, отличающиез,— ся от постоянных по объему на величины порядка >т а>)т илц меньше, а за макроскоппческн малое время д1»т (ь 2) изменяться по времени на малую порядка с(1, В этом случае изменение со- стояния системы будст сменой равновесных состояний. Важно ' То есть системы, статистические свойства которой описаны е $ 2 и 3. Уравнения сохранения энергии и баланса энтропии 127 б ы] также отметить, что смена плавно меняющихся равновесных состояний отнюдь не означает макроскопической обратимости про.
цесса. Работа напряжений, действующих по границе ма единицу объема частицы (с произвольной формой границы) за время с(! равна 6'А, — Л с(1 — ЯЛ с(е, . — 5~1'р, с(Г (11.8) Через параметры состояния и работа всех внешних спл представляется в виде 6'А =~~„Р" дря. (11.9) Энергия, сообщаемая системе иа единицу объема за время Ж, обозначаемая 6'Я п называемая прпгокоси тепла, состоит из притока тепла 6'Ят за счет теплового потока, характеризуемого векторож с7 потока тепла, и притока энергии, соответствующей параметрам р. Предполагается, что последняя эквивалентна некоторому дополнительному притоку тепла 6'Яр= †.рс)ас(1 п, может быть, дополнительной к 6'Ав работе внешних сил 6'Аа, которую запишем в виде 6'Ар =- Вг с(Т вЂ” ' В" с(е; + В'с!(1, + В'Ш. (11.10) Полная работа всех внешних сил получает выражение 6А=6Аг 96Аа.
(11.11) Полный приток тепла в единице объема частицы за время Ж запишем в виде 6'Я = 6'Яг т Рс!а с(! (11.12) где 6'Ят — приток тепла за счет вектора теплового потока о. Из тождественности величины работы 6'А (11,9) и (11.11) получим 6'А = Р'с(ря ю ВгсЕТ+(Вп + В")сЬ„+. В'сф,-1-В'Н. (11.18) Из связи между р, 7', еп, р (11.7) следует с учетом независимости между собой вариации температуры Т, деформаций. еп и парамет- ров 6, что' полные дифференциалы р (11.7) по параметру ! могут быть представлены в виде с!ин — — Мн с(т+ Мя' деп+ Мя (Ф, ~ ЛЗФ сй (11Л4) для тех рн, дифференциалы которых входят в выражение работы (1!.9).
Внося (!1.!4) в (11.13), находим соотношения между коэффициентами М, В и 51г.. 128 ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МСС !Гя, 111, ремт Ят ргали п1! ! 5н рАМ,=В !'и,= В1. (11.15) (11.16) Преобразуем интеграл по Х, входящий в (11.18): ) ртйаг = 1 1)1т1атсЖ = ) Ч1Ч1ЙЛг. Учитывая произвольность )1, отсюда находим приток тепла в единицу объема Ь'(гт = — Ч1О1 1!! (11. 17) и'потому пз (! 1.! 2) — полный приток за время Ж М =( Ч11) + Р1)а)1(!. (11.18) Закон сохранения энергии утверждает, что изменение внутренней энергии в системе за время г(! равно сулеие работы внешних сил и количества сообщенного тепла рг(и = б'А + И~. (11.19) Иа основании (1!.1!), (1!.8), (11.10), (1!.12), (11.!8) получаем дифференцнальноо выражение закона р — = 51!)1,; — Ч,а1 + )Тга + рда, еи (11.20) где У,! = — '(ЧЗУ1. + Ч1Ч1), (11.21) )Р, =Вт — "+ВЧ„.+ — '" +В.
1и 1 1а Тепловой поток. Пусть за счет теплообмена между различными частями движущейся среды (за счет теплопроводности) в момент ! существует лоле вектора потока тепла д(х, г) (количество тепла„передаваемое в единицу времени через единицу площади сечения, нормального к д и разделяющего две. соседние частицы). Тогда через элемснт площади дЕ поверхности Х, ограничивающей произвольный объем Ч, за Ж поступит тепло дтг(г1!! и в весь объем Ч поступит тепло Уравнения сохранения энергии и баланса энтропии 129 3 п) Умножим (11.20) на йЫс и проинтегрируем по объему всего тела. Выражение Фи И р сел р — дУ = — ~ рийУ =— и ась я и й представляет производную по времеви от полной внутренней энергии всего тела гл'= ) рийУ; интеграл (11.22) есть приток тепла через всю поверхность тела; интеграл ) (Ф'а+рда)йУй1 = 6 За дает приток энергии за счет нетермомеханнческих воздействий.
Согласно теореме о механической энергии (5 10) интеграл В результате получаем закон сохранения энергии в интегральной форме: й(К + 0) = 6'А + Щт + 6'За, (11.23) причем 6'А — работа массовых и поверхностных сил 6'А = ~ ран сЫ йУ + ~ Рио о М йХ. (11.24) Обозначим 6"Я=)ива величину, называемую некомпенсированным теплолс в единице объема среды за время йс' и учтем, что за счет потока через границу и проникающего излучения объем йУ получит тепло 6'ЯйУ (11.!8). Энтропия возрастает на рсЬ.
Второе начало термодинамики утверждает: р сЬ вЂ” — 6'Я = — 6'Я > 0„6"Я = Я7е Ш. Т Т (11.25) Величина )е'в называется рассеянием Я 2). Для обратимых процессов %'в=0, для необратимых величина )Уе>0 понимается как часть мощностц внутренних сил, необратимо переходящая в тепло.
б л. л. и в 1ЗО ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МСС (г~. (и. Дифференциальное уравнение баланса энтропии, вытекающее из (11.25), (1!.!8), имеет вид рТ вЂ” = — А7,.у(+ рдвт )р', Я7' > О. (11.26) А' Умножим (! 1.28) на — и проинтегрнруем по произвольному т объему У с поверхностью г.. Учитывая очевидное преобразование У~у "к =Ъ„Ч( ак — ') ЧЧ~ "1 = ~ +) — Ч7((к 1 ( Г Ч( Г ( 1 ГЧ'и«П~ т 3 т ~ т .1 т 3т к г г е получим интегральную форму 2-го закона термодинамики для сплошной среды где слева — секундное изменение энтропии тела в объеме $', сла- гаемые правой части дают приток энтропии через поверхность тела и в объем; выра- жение ~ — '()Р" — — 'о,.т) 67 > 0 (11.28) дает секундное приращение энтропии в объеме У за счет днссипации (Я~') и теплопроводности между частицами объема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
