А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды (1119119), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(14.3) Поскольку главные оси напряжений всегда взаимно ортогональны, то па косой площадке с нормалью 1(1ь 11, 11) вектор напряжения а, = Р"' ранен ах = а111 + аз(з+ аз)з = — РР, (14.2) 147 Идеальные ехидности и газы р( ! ~!) дам дх. с учетом того, дхи дх! что да да да! да! да! н!! =- — = — + о! —, дх! ~ дх! ' и! д! дх! принимают вид р а' — рХ! = — — Р (1 = 1, 2, 3), д! ' дх! (14А) или в векторной форме да р — — рР = — цгаб р. д! (14.5) Онн называются динамическими уравнениями Эйлера.
К ннм должно быть присоединено уравнение сохранения массы — +рб(чо = О. др !и (14.6) Система (14.5), (14.6) есть система совместных дифференциальных уравнении в частных производных первого порядка относительно вектора скорости о н скаляров р (давлепня) н р (плотности). Это незамкнутая система, так как для пяти функций координат и времени оь ом в,, р, р она дает только четыре уравнения указанного типа. Динамические уравнения Эйлера можно записать также в лагранжевых координатах.
Пусть, как и ранее, х=х(х. 1) — закон движения частицы, причем х=хье! ее начальный декартов радиус- вектор, а х = х (х, 1) = х -',— и (х, 1) ее текущий радиус-вектор (х=х;е;). Поскольку в момент 1 лагранжева система координат х;=сопз1 (1=1, 2, 3) является, вообще говоря, криволинейной, ковариантвые и контрвариантные базисы и метрические тензоры определяются законом движения — дх дх! з,= — =е —, д! = дх! ' дх! ' дх! дх! ' И!!И = б! ! = а!!з.
з! =- б! (14.7) Уравнения движения сплошной среды в рассматриваемых координатах (510) 148 кл»ссичесхие сгсды ггл. 1т. т. е. эь э', дц, ды выражаются через частные производные д»т дх, ' За искомые .функции можно принять либо к;(хо хихз,(), либо и;(хо хь хз, г), причем по и йн алгебраически выражаются через компоненты теизора деформации (в частности, дп=бп+2 во). Найдем выражения контравариантных компонент 5м тензора напряжений 5 в момент 1 в базисе эь По определению идеальной жидкости, вектор истинного напряжения па площадке, построенной на векторах э» и эь направлен по нормали к ией (а направление нормали совпадает с э') н равен давлению р, т.
е. рн> = ~ ~ь~ у'й»к р(п $/д~~ аналогично выражаются. У, У. Следовательно, 3' = У»э» = — рэ'. Умножая зто равенство на а' и учитывая (14.7), получим (14.8) яг'! ран (14.9) или снопа (14.3') Ь' = — рб, где 6 есть метрический тензор. Соотношения (14.9) являются про- сто преобразованиями соотношения (14.3) от базиса е, к базису э1, причем течзорная форма ззписи сохраняется; 6 один и тот же метрический тензор, Уравнения движения оплошной среды в лаг- раижевых координатах имеющие в~ил Ч,.яп+ р(Р— У) = О, преобразуем, учитывая (14.7), (14.9) и очевидные соотношения 7'(РУ ') — К" т 'р = Ы" др дх. 1 Р»=в=К~/Рэ —,=0~!Х» к»», дхГ дк» г д~х» дк» (14.10) дх~ др дху Аналогичные выражения получим для Рнч и Рш1.
Вектор напряжения У равен Идеальные жидкости и газы 149 где Хз, Ятз — декартовы компоненты (в репере е;) векторов массовой силы и ускорения. Имеем — д' — + рдг 1'Л; — — '1 — = О. Л др д/ врхок дхо дх ~ д1в ) дх~ Отсюда получаем лаграпжеву форму уравнений движения идеальной жидкости Здесь, конечно Фхь двив дхв , дио др др ' дх; ' дхв ' Уравнение сохранения массы имеет вид (14.12) и й~ нли. Р дху Мы снова получили незамкнутую систему четырех дифференциальных уравнений в частных производных для пяти функций координат хв и времени Е хь хм хз (или иь из, из), р,р. Эти уравнения имеют второй порядок по 1 (относительно х) и первый — по х; (отиоснтельно х, р). Идеальная несжимаемая жидкость — это идеальная жидкость, плотность каждой малой частицы которой во времени ие изменяется.
Если при 1=1о плотность ро была постоянной, то она в несжимаемой жидкости останется постоянной и при (>го, такая жидкость называется однородной. Если при 1=(о, ро=ро(хо хмхз), то она такой останется и при 1>1„т. е. р=ро(хь хм хз)'. Уравнения движения в форме Эйлера и условие иесжимаемости в эйлеровом пространстве имеют вид — — Р+ — цга6 р = О, дгго = О (14.13) Ро и представляют собой замкнутую систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных для четырех функций координат и времени: оь оь оз, р. В форме Лагранжа уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости имеют вид дх» (дхо Х~~ ) 1 др О(1 1 2 З) (1414) дхв ~ дЗв / ро дхв и — ( и,.; ~ = 1, или ~ — ~ = 1.
дхв ' В зтоы случае жидкость называется неоднородной. !50 КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ !Га. Л~, 1Г !Р Величина с =- 1у — ~ называется скоростью звука. 1' ар В начале курса па примере идеального газа мы уже встречались с уравнением состояния р=ттрТ, которое для изотермических процессов совпадает с (14.15), причем Р(р) есть однородная линейная функция, а для аднабатичеоких — приводится к виду (14.15), причем р(р) — степенная функция с показателем у>1, так что в обоих случаях Р=Ро~ ) Т>1. (! 4.17) Уравнения движения и сохранения массы (!4.5) (в эйлеровых координатах) нли (14.!1), (14.12) (в лагранжевых) замыкаются для баротроппой жидкости пятым соотношением (14.15). Введением функции плотности (!4.18) из (14.4), (14.5) получаем замкнутую систему для о, р — — Р+ йгайР(р) = О, — + рб!т о = О.
(14.19) пт ос Лналогичпая система в лагранжевых координатах получается из уравнений (14.1!), (14.12). Для слабо сжимаемых жидкостей прп небольших давлениях скорость звука с в ряде случаев может считаться постоянной. При этом Рк вт)пр; уравнение сохранения массы и динамические уравнения будут содержать только функции о н Р: ! кР—. — —, :Йч о = О.
ст ог Идеальный разреженный газ — это идеальная жидкость, подчиняющаяся уравнению состояния Клапейрона '. Р = )СРТ, (14.20) ' Длк такой жидкости употреблпетсн еще название — совершенный гаа. Идеальная боротропная ясидкость — это идеальная сжимаемая жидкость (газ), давление Р в которой является определенной функцией плотности р: Р = Р(Р). (14.15) причем (14.16) пр пр Идеальные жидкости и галы причем внутренняя энергия единицы массы прямо пропорциональ- на температуре: (14.21) Рби = 6'(~ + $с16есп так как ообо == ои = 61ч о, то нз (10.24) Из (14.6) абаи = о„о,16У =- — рд)ч оЖ.
1 др й!ч а = — — —. р дс Учитывая все это, закон сохранения энергии запишем в виде рби = 6'1~ —,'- р — ~, или с„рбТ = 6'9 + р — р . (14.22) р Отсюда следует, что с, — коэффициент теплоемкости при постоянном объеме (р=сопз1).
Внося в (14.22) соотношение 61пр = 61пр — 6!пТ, являющееся следствием формулы (14.20), получим р (с„+ )с ) 6Т = 6'1'„1 + бр, (!4.23) т. е. 'се+а есть коэффициент теплоемкостн ср при постоянном давлении (р=сопз1). Таким образом, получилась формула Майера с„— с, = )с. (14.24) и= сеТ. В начале курса 5 3) уже было доказано, что такимн свойствами обладает одноатомный газ при давлениях, нс превышающих созй теп атмосфер, причем в системе С1эЬ постоянная с„= — (й— 2сн к постоянная Больцмана, т — масса атома), Р= ас Многие инертные газы с достаточным приближением подчиняются уравнениям (14.20), (14.21).
Например, для воздуха тс=2,87 104 смЦсекэ град, Уравнение (14.20) является соотношением между напряжениями и деформациями для рассматриваемого тела. Выражение внутренней энергии и (14.21) через два единственных для этой среды независимых параметра состояния р и Т (и от р не зависит) получено в статистической механике и из опыта. Запишем закон сохранения энергии: 152 !г .'ьч, КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ Из первого и второго законов термодинамики следует далее р(би — Тбз') = р — ", 6р р откуда с учетом (14,21) имеем 65 = с„6Т Ьр т р т, е. определяется энтропия 5 = с 1п — .т- соп5! Р и т (14.25) Поток тепла д для большинства изотропиых сред связан с полем температуры Т законом Фурье д = — ХатабТ, (14,27) где А — коэффициент теплопроводностн, вообще говоря, известным образом зависящий от Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
